Grundprobleme einer allgemeinen Dimensionslehre: Hierzu gehört grundlegend das Finden einer kleinsten einfachen homogenen Einheit für den Betrachtungs- oder Untersuchungs- zweck sowie die Zusammenhangs- und Beziehungsanalyse unterschiedlicher (heterogener) Sachverhalte: Analyse heterogener und Synthese homogener oder heterogener Gruppen. Ein Problem ist hierbei, dass in bestimmten Fragestellungskontexten einfach homogene Basiseinheiten gewählt werden, die unter anderen Gesichtspunkten betrachtet keine sind, Beispiel Brot im Alltag.

Qualitaet, Merkmal, Dimension
Sachverhalte oder Objekte können unterschiedliche Merkmale oder Qualitäten haben, was man als Dimensionen interpretatieren kann. Letztlich könnte man demnach alles qualitativ Unterscheidbare als Dimension interpretieren. Das sinnliche Erleben hat so viele Haupt-Dimensionen, wie es Sinnesunterscheidungen gibt, also mindestens fünf, wahrscheinlich mehr. Aber es gibt Millionen von Gerüchen. Nur einen Bruchteil davon riecht der Mensch, sein Hund erheblich mehr.Soll man die unterschiedlichen Gerüche auch als Dimensionen unterschieden und bezeichnen?

Das Dimensionsthema in der Enzyklopaedie für Wissenschaftstheorie (Mittelstraß 2005)

"Dimension (lat. dimensio, Ausmessung, Berechnung), in der Bedeutung Ausmessung bzw. Ausdehnung des Raumes Terminus der Philosophie, Mathematik, Physik und Physiologie.
(1) Euklid bestimmte die Dreidimensionalität in der Körperdefinition seiner »Elemente<<, wonach ein Körper ist, >was Länge, Breite und Tiefe hat<. Aristoteles suchte in >>de coelo<< zu beweisen, daß es außer Linie, Fläche und Körper keine weiteren Ausmessungen gibt, da alles vollkommen und daher nach pythagoreischer Auffassung (iPythagoreismus) durch die Dreizahl geordnet sei. Weiterhin seien nur die dreidimensionalen Körper nach allen Seiten hin stetig und teilbar. Dieser an der Ausmessung von Körpern orientierte D.sbegriff wird erst in der Neuzeit (seit R. Descartes) durch die Vorstellung verdrängt, daß unter D. die Anzahl der Koordinaten eines Punktes zu verstehen sei. ....
Um 1900 führten Untersuchungen der Cantarsehen tMengenlehre zu der Erkenntnis, daß die seit Descartes übliche D.sdefinition durch Koordinaten nicht mehr ausreicht. So kann die Punktmenge M aller Punkte der x-Achse mit rationalen Koordinaten zum einen die D. 1 haben, da sie wie die Gerade selbst überall dicht ist, zum anderen aber auch die D. 0, da zwischen zwei rationalen Punkten aus M immer noch ein nicht zu M gehöriger irrationaler Punkt liegt wie bei einer endlichen Punktmenge. H. Poincare regte 1913 eine induktive Definition des D.sbegriffs an, die nur von topalogischen Grundbegriffen (>Topologie) Gebrauch macht."

"Dimensionsanalyse, Analyse zur Bestimmung der >Dimension einer physikalischen Größe. Eine physikalische Größe setzt sich aus dem Produkt eines (reellen) Zahlenwerts und einer physikalischen Einheit zusammen (z. B. 3,5 kg). Eine physikalische Einheit ist entweder eine Grundeinheit oder eine abgeleitete Einheit. Die Wahl der Grundeinheiten ist im Grundsatz willkürlich; eingeführt ist das >MKJA<-System, das Meter, Kilogramm, Sekunde und Ampere als Grundeinheiten umfaßt. Grundeinheiten müssen eindeutig und einfach (iEinfachheitskriterium) reproduzierbar sein. ... "

Dimensionsanalyse Ereignis
Zu jedem Ereignis gehört ein Raumzeitpunkt an dem es stattfindet, wobei seit Einstein das mit der Zeit so eine Sache ist. Wir können fragen: was ereignet sich? Wie ereignet es sich? Hat es Anfang und Ende?  Soeben, 22.02.2018, 14.34 Uhr fährt ein Fahrradfahrer vor unserem Haus vorbei. Das ist eigentlich kein Ereignis, sondern ein Geschehen, sozusagen fortgesetzte Ereignisse. Dem üblichen Ereignisbegriff haftet im Sprachgebrauch etwas Diskretes, Punktuelles an.
 

Eine mathematische Interpretation: einfache lineare Größen werden meist in der ersten Potenz, die man üblicherweise weglässt, geschrieben: x, y, z. Mehrfach homogene Größen werden mit Exponenten ausgestattet: x2, x3, ...xn. Zusammengesetzt homogene Einheiten wären dann z.B. x+y. Und mehrfach heterogene wären Polynome etwa der Art x3+y2+z.

Beispiel Physik Die allgemein bekannteste Dimension ist die Länge. Für die  mehrfach homogene Dimensionierung ergibt sich als nächstes die Fläche und danach das Volumen. Diese drei  dimensionale Konstruktion entspricht unserem Wahrnehmungs-, Erfahrungs- und leicht vorstellbaren Raum. Bei der Geschwin- digkeit werden der Weg und die Zeit in Beziehung gesetzt. Und in die Kraft geht die Beschleunigung mit s2 (Quadratsekunde) ein.

Beispiel Psychologie: Die Einteilung der Gefühle ist in der Psychologie ein schwieriges Feld, das bislang noch nicht befriedigend gelöst ist. Eine frühe Dimensionsanalyse stammt von Wilhelm Wundt, der drei polare Dimensionen vorsah: Lust-Unlust,  Erregung-Beruhigung, Spannung-Lösung. Unterschiedliche Elementargefühle bilden dann eine einfache Heterogenität. Zufriedenheit kann als höherdimensionierte Einheit gedacht werden. Und das Befinden setzt sich aus vielen verschiedenen, auch höherdimensionierten Einheiten zusammen.

Weitere Beispiele Alltag, Chemie, Texte, Wirtschaft
 

Die Anzahl der verschiedenen Elemente in der Chemie könnte man als stoffliche Dimensionen interpretieren.

Zunächst seien einige, auch ungewöhnliche Beispiele für erste Näherungen betrachtet:

Dimensionen in der Alltagssprache
In anderen, höheren Dimensionen sein "er bewegte sich in anderen Dimensionen"; in anderen Dimensionen denken; auf eine andere Ebene gehen.

Dimension im Bedeutungswörterbuch des Duden (1970, S. 168):

Vierdimensionale Verabredung

Quelle S. 291: Schneider, Hermann & Leo (1989). Lexikon Naturwissenschaft in der Alltagssprache. Krüger.

Dimensionsanalyse des Alltagsraumes
Dieser ist uns vertraut, da fast jeder die drei Dimensionen des Raumes: Länge, Breite, Höhe (Tiefe), also Volumen, eindimensionale Begriffe (z.B. Gerade), zweidimensionale Begriffe (z.B. Fläche), als geistige Kategorien zur Verfügung hat und sich den dreidimensionalen Raum der alltäglichen Anschauung leicht vorstellen kann [Nichteuklidische Geometrie]. Auch wenn wir meistens intuitiv die Koordinatenachsen des Raumes paarweise senkrecht denken und vorstellen, so muss das natürlich nicht so sein. Auch die gerade Form ist nicht zwingend, sie kann ebenso mehr oder weniger gekrümmt, stetig oder unstetig usw. gedacht werden. Die Vielfalt kann man sich leicht vorstellen, wenn man sich z.B. einmal überlegt, wie viele Varianten von Dreiecken es gibt.

Dimensionsanalyse einer Küche und ihrer Funktionen.
Kerndimension einer jeden Küche ist das Kochen. Damit sind die primären Dimensionen vorbestimmt, nämlich: was braucht man zum Kochen? Doch wird in Küchen nicht nur gekocht. Es wird gebraten, gegart, gedünstet, gedämpft, frittiert. Eine Küche ist gewöhnlich ein Raum, der offen oder geschlossen sein kann. Die Küchengrundfläche hat eine Form, meist viereckig, was nicht zwingend ist, und eine Höhe, sie könnte aber auch keine Decke oder Dach haben und damit nach oben offen sein: so etwa eine „Küche“ in der freien Natur: als Lagerfeuerstätte hätte sie gar keine klaren Begrenzungen. Davon ausgehend kann man sagen: typisch für Küchen sind Kochstätten oder Herde. Damit gibt es die verschiedenen Dimensionen der Energiezufuhr: Elektro, Gas, Holz, Kohle, Öl, Mikrowelle. Es gibt Großküchen und Kleinküchen. Die meisten westlichen Küchen haben auch einen Kühlschrank, mit oder ohne Gefrierfach oder zusätzlich eine Gefriertruhe. Sehr wichtig für die meisten Küchen sind auch Spülen oder Waschbecken, um die Küchengeräte oder das Geschirr zu reinigen. Damit braucht man Wasserzufuhr und Abflussmöglichkeiten. In „Naturküchen“ muss es zuweilen auch ein Eimer oder Bottich Wasser tun. Das Dimensionsprinzip heißt hier Reinigung. Die Multidimensionalität einer Küche und ihrer Funktionen kann man z.B. sehr schön dem Duden Bildwörterbuch (1992) entnehmen:

Dimensionsanalyse eines Backsteins
Der Backstein selbst hat drei Dimensionen: Länge, Breite, Höhe. Zudem befindet er sich an einem raumzeitlichen Ort, der durch ein entsprechendes Bezugssystem und Ortskoordinaten angegeben wird. Außerdem befindet er sich bezüglich eines Betrachters in einer bestimmten Lage. Der Backstein hat eine gewisse Geschichte und ein Alter, eine bestimmte stoffliche Zusammensetzung, Dichte, Masse und Gewicht, Oberfläche und Farbe. Hinzu kommt, dass er für verschiedene Ziele und Zwecke Anwendung finden kann und je nachdem auch einen bestimmten Wert oder Preis hat. Wie man an dieser Ausführung sehen kann, hat ein Backstein eine vielfältige Dimensionalität. [Bilder: Google: 1, 2, 3, 4,]

Dimensionsanalyse eines Löffels.
Ein Löffel dient zum Löffeln und gehört neben Messer und Gabel zu den drei Grundbestecken, die gewöhnlich beim Essen benutzt werden. Ein Löffel kann unterschiedliche Größe haben, besteht aus unterschiedlichen Stoffen, Plastik etwa für gekochte Eier und aus Metall für Kaffee oder Suppen. Um seine Grundform herum variieren kleine Veränderungen, mehr rundlich, mehr länglich, tiefer oder flacher, mehr oder minder gebogen, mit diesen oder jenen Verzierungen und am Haltestengel mit diesem oder jenem Stoff verschalt, z.B. um die Wärmeübertragung zu dämpfen. Wie der Backstein, ja überhaupt alle ausgedehnten Objekte dieser Welt, nimmt er einen dreidimensionalen Raum und einen bestimmten raumzeitlichen Ort ein, er hat ein Alter, eine Geschichte. Mit ihm sind womöglich spezifische Erinnerungen verbunden u.a.m.  [Bilder: Google: 1, 2, 3, 4,]

Dimension im Brockhaus 1892

Dimension im Brockhaus Naturwissenschaft und Technik 1989

Allgemeine, traditionelle Mathematik
Aus Anwendersicht sind hier in der Hauptsache drei Dimensionsbegriffe zu unterscheiden: (1) der allgemein vertraute der Geometrie,  (2) der Dimensionsbegriff in der linearen Algebra, gewöhnlich durch den Rang eines Vektoreraumes oder einer Matrix gegeben und (3) der für Außenstehende ungewöhnliche Hausdorffsche Dimensionsbegriff  der Topologie, der auch gebrochene Dimensionen wie die fractale Geometrie zulässt.

Aus: Der kleine Duden Mathematik (1986, S. 98 - 99):

Siehe auch: Wikipedia: Dimension in der Mathematik. [URL verändert 404]

Spezielle Dimensionsbegriffe in der Mathematik
Die moderne Mathematik ist für außenstehende AnwenderInnen weitgehend unverständlich und kaum zu nutzen. Im ersten Band des 6bändigen Lexikons der Mathematik (2001) gibt es folgende Einträge:

• Dimensionen des Anschauungsraumes
• Dimension einer Algebra
• Dimension einer analytischen Menge
• Dimension einer Codierung
• Dimension eines Moduls
• Dimension eines Rings
• Dimension eines Vektorraumes
• Dimensionsformel
• Dimensionssatz für lineare Abbildungen

Literatur Dimensionen in der Mathematik

• Carathéodory, C. (1914). Über das nichtleere Maß von Punktmengen - eine Verallgemeinerung des Längenbegriffs. Nach. Ges. Wiss. Göttingen 406-424.
• Pasch, M. (1925).  Dimension und Raum in der Mathematik. Zeitschrift Annalen der Philosophie und philosophischen Kritik. Heft Volume 5, Number 1 / Dezember 1925, 109-120

 

Tabellen und Datenbanken können als Felder mit n Zeilen (Datensatzeinträgen) und m Spalten (Rubriken, Bereiche) aufgefasst werden. Im Schüler Duden Informatik (1991) gibt es zwar keinen Eintrag mit "Dimension". Implizit steckt der Dimensionsbegriff aber im Begriff des Feldes, das bei den meisten Programmiersprachen bevor es genutzt werden kann, "dimensioniert" werden muss, d.h. gewöhnlich, die Anzahlen der zu reservierenden Zeilen und Spalten müssen festgelegt werden (Auszug aus S. 192):

Der Dimensionsbegriff in der Physik
Wesentlich für eine Dimension in der Physik ist der Begriff der Größe. Eine Größe besteht aus Maßzahl und Maßeinheit, wobei in der Maßeinheit die Dimensionen stecken.

Dimension aus Brockhaus abc Physik I., 1972, S. 258:

Siehe auch: Wikipedia: Dimension in der Physik.
 

Rudolf Carnaps Konzept physikalischer Größen
Sehr interessant sind auch Rudolf Carnaps Ausführungen in seinem Büchlein "Physikalische Begriffsbildung". Wissenschaftliche Begriffsbildung hängt bei ihm sehr stark von einer Theorie und Messbarkeit ab. Der Begriff "eindimensional" wird im Sachregister fünf mal erwähnt (S. 19, 22, 26, 32 und 38). Der Begriff der Eindimensionalität taucht im folgenden Text (S. 22 ff) auf:

Querverweise: [, Wikipedia: Nomenklatur_(Biologie, ).

Eine Unterscheidung ("Dimensionsunterraum") betrifft die verschiedenen Kunstrichtungen und Objekte: Bildende Kunst (z.B. Architektur, Graphik, Malerei, Bildhauerei; Träger, Material, Form, Farbe), Darstellende Kunst und Musik (z.B. Ballett, Tanz, Theater, Oper, Operette, Musical, Konzert, Gesang, Film, Fernsehen, Unterhaltung), Literatur (z.B. Roman, Novelle, Kurzgeschichte, Anekdote, Fabel, Märchen, Lyrik). Die Lebenskunst (Lebensformen, z.B.: bürgerlich, großbürgerlich, kleinbürgerlich, bohemien, elitär, revolutionär, anarchistisch-autonom, proletarisch, eigen-sonderlich) wird im allgemeinen nicht zu den Künsten gezählt, obschon man sie mit guten Gründen - auch als Alltagskunst - dazu rechnen könnte. Ein Film ist in seiner Vielfalt kaum dimensionsanalytisch zu erfassen. Betrachten wir uns aber z.B. die Präsentation eines Films, so werden meist folgende Dimensionen genannt (siehe z.B. Das Buch Eva): Hersteller, Regisseur, Schauspieler, Drehbuch, Musik, Kamera, Bauten, Effekte, Schnitt, Kostüme u.a.m. Rein formal lässt sich ein Film wie folgt "dimensionieren":

Struktogramm oder formale Dimensionierung eines Films

Filme kommen dem Leben ziemlich nahe, es fehlen ihm noch die Sinnesqualitäten Geschmack und Geruch, wobei durch Identifizieren, Einfühlen und Mitgehen ziemlich viel Erleben bewirkt werden kann.

Aus alltäglicher Sicht gibt einen sehr guten Überblick das Bildwörterbuch des Duden, eine Informationsquelle, die die Psychologie des Wissens sehr gut nutzen kann.

Viele psychologische Werke enthalten keinen Eintrag zum Dimensionsbegriff. Eine rühmliche Ausnahme ist:

Dimension im Psychologischen Wörterbuch von Dorsch 1994

Dimensionsanalyse psychischer Grund-Funktionen.

Psychologie wird gewöhnlich definiert als die Wissenschaft vom Erleben und Verhalten. Hiervon ausgehend kann man fragen: was sind nun die grundlegenden "Dimensionen" des Erleben und Verhaltens?
 

Zu den psychischen Grundfunktionen des Erlebens zählen wir: Antrieb, Energie. Befindlichkeit, Stimmung. Begabung ("Intelligenz"). Brauchen, bedürfen. Denken. Erinnern. Fantasieren Fühlen, Empfinden, spüren. Zufriedenheit. Lenken. Lernen (merken). Mögen, wünschen. Vorstellen. Wahrnehmen. Wollen.

Siehe bitte auch.

Dimensionsanalyse des Selbstbildes.
Dimension Identität * Dimension Körper und äußere Erscheinung * Dimension Herkunft, Familie und Sozialisation * Dimension Anlage und Begabungen * Dimension Fähigkeiten und Fertigkeiten * Dimension Bildung, Ausbildung, Arbeit und Beruf * Dimension Vitalität und Vitalbedürfnisse * Dimension Wünsche, Interessen, Ziele, Träume * Dimension Charakter und Werte * Dimension Lebens- und Wohnformen * Dimension Erfahrungen * Dimension Haben, Geld und Besitz * Dimension Sozialbeziehungen * Dimension Entspannung, Erholung, Freizeit, Spiel, Sport, Muse, Muße, Vergnügen * Meta-Dimensionen: Wertigkeit * Stabilität * Kongruenz.

Dimensionsbeispiele aus der methodologischen und Test-Psychologie.

Dimensionen von Quantoren oder verschiedener Ausprägungsqualitäten:
Auswahl_Quantoren (Qualität) * Begrenzungs_Quantoren * Beschleunigungs_Quantoren * Dauer_Quantoren * Geschwindigkeits_Quantoren * Häufigkeits_Quantoren* Intensitäts_Quantoren * Komplexitäts_Quantoren * Kontinuitäts_Quantoren * Mengen_Quantoren * Meta_Quantoren * Ordnungs_Quantoren * Periodizitäts_Quantoren * Beeinträchtigungs-Quantoren.

Das Dimensions- (Untertest, Skalenformations-) Problem.

Siehe dort auch: Items  in ihrer nominalen und realen Bedeutung.

Dimensionen von Vektoren und Matrizen in der Testpsychologie

Grundlagen und Probleme von Dimensionen in der Psychologie - Aus Wottawas (1979) "Einleitung
    Die Worte "Dimension" und "dimensional" werden in der Psychologie gerne gebraucht. So spricht man von Dimensionen der Persönlichkeit, Dimensionen des Verhaltens, Dimensionalität der Wahrnehmung, eindimensionaler bzw. mehrdimensionaler Messung, ein- oder mehrdimensionalen Modellen, Dimensionalität von Tests, mehrdimensionaler Skalierung u. v. a. m. Was bedeutet "Dimension" eigentlich?
Das Wort "Dimension" kommt aus dem Lateinischen und bedeutet Ausmessung, Ausdehnung. Demzufolge wäre ein Objekt soviel "dimensional", als es "Ausdehnungen" hat. Geht man davon aus, daß man zur Kennzeichnung jeder dieser "Ausdehnungen" eine und nur eine Maßzahl benötigt, wäre ein Objekt soviel dimensional, als Maßzahlen zur Kennzeichnung der "Größe" dieses Objektes erforderlich sind. Wieviel Maßzahlen man benötigt, hängt außer von den Objekten auch vom jeweiligen Kontext ab. Die Auffassung, daß die Anzahl der Dimensionen festgelegt ist durch die Anzahl der Kennzahlen, die jedem Objekt zugeordnet werden müssen, ist der Konsens, der allen im folgenden besprochenen Dimensionsbegriffen zugrunde liegt.
    Die einzelnen Ansätze unterscheiden sich wesentlich in der Art der Konstruktion von Dimensionen, der Bedeutung und Interpretierbarkeit dieser Maßzahlen und insbesondere auch hinsichtlich der Rolle, die der jeweils zu definierende Kontext spielt. Da der Zusammenhang, in dem die Kennzeichnung eines Objektes durch eine oder mehrere Dimensionen erfolgen soll, die Art und Anzahl der Dimensionen wesentlich mitbestimmt, muß dies bei der Interpretation bedacht werden. Daraus ergeben sich gewisse Schwierigkeiten dimensionalen Denkens im Rahmen psychologischer Hypothesen. ...
    Versucht man die formalen Ansätze, die im Rahmen der Psychologie besonders häufig zur Konstruktion von Dimensionen verwendet wurden, zu ordnen, so erhält man im wesentlichen drei Gruppen. ..."

Dimensionalität aus Krauths Testkonstruktion und Testtheorie (1995, S. 33; fett-kursive Hervorhebung von mir).
"Da psychologische Konstrukte bzw. latente Variablen nach Definition nie direkt beobachtbar sind, macht es naturgemäß kaum Sinn, für solche Variablen von einem Skalenniveau zu sprechen. Jedoch kann man sich überlegen, wenn man die latenten und die manifesten Variablen durch ein Modell verknüpft, inwieweit Modellparameter zu den latenten Variablen eindeutig aufgrund der Realisierungen der manifesten Variablen schätzbar sind. Wenn sich dabei z. B. herausstellt, daß der Nullpunkt und die Einheit der latenten Variablen unabhängig von den Werten der manifesten Variablen noch willkürlich festlegbar sind, wobei gleichen Differenzen für Werte der latenten Variablen die gleiche Bedeutung zukommt, so könnte man in übertragenem Sinn von einem "Intervallskalenniveau" der latenten Variablen sprechen.
Durch manifeste Variablen, bei denen die zugehörigen Reaktionen mindestens auf Ordinalskalenniveau gemessen werden, können Testpersonen angeordnet werden. Man hofft dabei, daß diese Anordnung der durch die zu messende latente Variable möglichen Anordnung der Testpersonen möglichst ähnlich ist. Damit wird implizit angenommen, daß die zu messende latente Variable überhaupt eine Anordnung der Testpersonen nach wachsendem Grad ihrer Ausprägung ermöglicht, z. B. eine Anordnung von Personen nach steigender "Intelligenz". Eine solche Ordnung der Personen ist aber nur möglich, wenn die latente Variable eindimensional ist. Bei einer mehrdimensionalen latenten Variablen können nicht mehr alle Personen angeordnet werden, auch wenn dieses für alle eindimensionalen Komponenten gilt.
Es bestehe etwa das Konstrukt "Intelligenz" aus den Teilkonstrukten "Theoretische Intelligenz"' und "Praktische Intelligenz". Ferner sei es möglich, daß Personen mit hoher theoretischer und geringer praktischer Intelligenz sowie andere Personen mit geringer theoretischer und hoher praktischer Intelligenz existieren. Dann können nicht alle Personen der Population mit Hilfe der zweidimensionalen latenten Variablen "Intelligenz" in sinnvoller Weise nach wachsender "Intelligenz" angeordnet werden. Dieses Problem der Dimensionalität hat natürlich auch Auswirkungen auf die Testkonstruktion, da es mit eindimensionalen manifesten Variablen (Items) nicht möglich ist, in sinnvoller Weise mehrdimensionale latente Variablen (Konstrukte) zu beschreiben. Die übliche Vorgehensweise ist, daß man ein mehrdimensionales Konstrukt in seine eindimensionalen Komponenten aufzuspalten versucht, um jede Komponente gesondert zu messen."

Fischer zum circulus vitiosus in der psychologischen Testtheorie  (1974, S. 18f; fett-kursive Hervorhebung von mir).
"Die klassische Testtheorie blieb allerdings schuldig, was ihr Name versprach. Als eine Theorie der psychologischen Messung kann die Anwendung der Korrelationsrechnung auf psychologische Testergebnisse nicht verstanden werden: Sie setzt nämlich, lediglich an der ,,Messgenauigkeit" interessiert, die Definition und Existenz der zu messenden Dimensionen einfach voraus, so wie man bei der Beurteilung der Genauigkeit eines Thermometers natürlich voraussetzt, dass die Temperatur ein bereits wohldefinierter physikalischer Begriff ist; letzteres ist auch tatsächlich der Fall, denn die Temperatur wird in der Thermodynamik, d. h. in einer physikalischen Theorie, eindeutig definiert. Intelligenz etwa ist aber kein Begriff, welcher schon vor und unabhängig von ihrer Messung definiert wäre; vielmehr wird Intelligenz ja eben als der ,,Leistungsgrad der psychischen Funktionen bei der Lösung neuer Probleme" (ROHRACHER, 197l¹⁰) verstanden, wobei der Leistungsgrad fraglos wiederum durch eine Messung, durch ein oder mehrere Testergebnisse, erfasst werden muss. Es fehlt gerade jene Theorie, welche ,,Intelligenz" (oder spezifische Intelligenzdimensionen) definiert. Sieht man sich in der Psychologie nach derartigen Theorien um, so ist wohl die faktorenanalytische Intelligenzforschung jener Bereich, in welchem Intelligenzdimensionen relativ am klarsten definiert und beschrieben werden - doch beruhen diese Forschungen ihrerseits auf Intelligenztestergebnissen, womit der circulus vitiosus geschlossen ist.
    Vom heutigen wissenschaftstheoretischen Verständnis und von einer kritischen Selbstdurchleuchtung der Psychologie aus kann also die klassische Testtheorie nicht mehr befriedigen, und es wird notwendig, eine hinreichend allgemeine Theorie der psychologischen Messung zu entwickeln. Eine solche muss spezifisch für den Gegenstandsbereich der Humanwissenschaften sein, jedoch ohne notwendige Beschränkung auf die Psychologie allein. Auch die Messprobleme der Soziologie und verwandter Sozialwissenschaften sind durchaus vergleichbar, wobei wir übrigens heute rückblickend sagen müssen, dass das Bedürfnis nach einer theoretisch befriedigenden Fundierung des Messens verbunden mit einer exakten Definition der zu messenden Dimensionen, der „latenten Eigenschaften" oder „Konstrukte" — wie auch immer sie genannt werden — anscheinend in der Soziologie und Ökonomie schon früher als in der Psychologie zu grundlegenden Lösungsansätzen geführt hat; siehe zum Beispiel die „latent structure theory" von LAZARSFELD, 1950, oder NEUMANN & MORGENSTERN, 1944, welche den im Grunde psychologischen Begriff des Nutzens auf eine wissenschaftliche Basis gestellt haben." [Anmerkung Fischer]

Anmerkung: Im wesentlichen scheinen Krantz et al. ihre Dimensionsanalyse auf den Bereich der Physik zu beschränken, was auf den ersten Blick wenig verständlich erscheint.
 

Grundproblem bei Anwendung formaler Prozeduren und Modelle:
Was man in die Welt an Modell hineinsteckt, das kommt auch heraus.

Man findet allzu leicht empirisch wieder, was man an formalen Voraussetzungen, Modellen oder Filtern in seine empirische Untersuchungsmethode hineingesteckt hat, wie z.B. mit "der" Faktorenanalyse: Gibt man unabhängige "orthogonale" oder abhängige ("oblique") Faktoren vor, so kann man natürlich nur solche finden, was den meisten FaktorenanalytikerInnen nicht aufzufallen scheint, wenn sie sich ihre Spielergebnisse zusammen "kommunalitieren", "rotieren" und "reduzieren" (durch den generösen Wegwurf aller Eigenwerte <  1 [Screetest]). Gibt man Ja/ Nein Antwortkategorien vor, so erhält man natürlich eine Datenwelt, die durch den vorgegebenen Antwortfilter Ja/Nein bereits vorstrukturiert ist. So haftet fast allen Verfahren eine gewisse Willkür an. Andererseits geht es natürlich gar nicht anders. Wer die Welt untersucht, wird dies immer nur mit bestimmten Methoden tun können, ja müssen. Man kann also dem Problem, dass die angewandten Methoden die Ergebnisse im Lichte und in der Struktur dieser Untersuchungsmethoden filtern gar nicht entgehen. Wenn wir diesem Dilemma aber schon nicht entgehen können, so wäre es auf jeden Fall zu wünschen, darüber ein klares Bewusstsein, Wissen und Kontrollmöglichkeiten zu entwickeln, damit die methodischen Artefakte nicht fälschlich für die Wirklichkeit gehalten werden. Und ebenso stellt sich verschärft die Frage: welche Methoden sind für welche Untersuchungs- und Forschungsziele angemessen? Wer ein orthogonales Modell vorgibt, wird orthogonale Resultate erhalten, solche oder solche, auf jeden Fall orthogonale, weil es vom Untersuchungsmodell vorgegeben, ja erzwungen wird. Wie will man gemeinsame Faktoren (common factors) finden, wenn man sie unabhängig voneinander konstruiert und so im Modell vorgibt? Dieser Grundwiderspruch scheint den FaktorenanlytikerInnen so wenig aufzufallen wie die Bedeutung kleiner Eigenwerte.

Es gibt potentiell unendlich viele "Dimensionen"
Bei vielen Merkmalen können sehr viele, mitunter potentiell unendlich viele Unterscheidungen getroffen werden. Daher ist die Frage, wie viele Dimensionen ein Merkmal "hat" oder wie viele es gibt, falsch, weil so getan wird, als würden sich soundso viele Merkmale objektiv vorfinden. Wer nur nach sechs Dimensionen sucht, wird wohl auch höchstens sechs finden. Doch wie, wenn die Wirklichkeit 17, 28 oder mehr bereit hält? Wer besessen ist von Datenreduktion, kann leicht auf Reduktionsmethoden verfallen, die gar nicht angemessen sind und blind sein für alles andere.
    So manches existiert nur unter bestimmten Bedingungen. So gibt es in der Natur "eigentlich" keine Farben, aber wenn Licht, Brechung, das Sinnesorgan Auge, das verarbeitende Gehirn und bewusstes wahrnehmendes Erleben hinzukommen, dann "gibt" es potentiell unendlich viele Farben.
    Pragmatisch könnte man sagen: zu einer Dimension wird ein Sachverhalt, wenn er gründlich untersucht ist und von mehren Fachleuten anerkannte Methoden vorliegen, ihn festzustellen. Sofern möglich und angemessen, sind Messungen bzw. Ausprägungsschätzungen anzustreben.

Querverweise: Was-ist-Fragen?  * Definitionslehre in der GIPT * Terminologie *  Welten * Konstruktuvismus * Vulgärkonstruktuvismus * Beweisen *

Methoden, die Dimensionalität eines Merkmals festzustellen.

Je nach Verallgemeinerung oder Unterscheidung kann jedes Merkmal ein- oder mehrdimensional interpretiert werden.

Die praktischen Grundfragen an die Dimensionalität eines Merkmals lauten: Aus was ist das Merkmal zusammengesetzt? In welche Umgebung ist das Merkmal eingebettet? Unter welchen Perspektiven, Zielen und Zwecken kann man es betrachten? Wie lässt sich das Merkmal operational erfassen? Entspricht der  Operationalisierung  tatsächlich eine Wirklichkeit oder handelt es sich nur um eine konstruktive Projektion? Welche Kriterien stehen zur Verfügung, um die (Un-) Angemessenheit der Konstruktion zu erweisen? Poppers Falsifikationskriterium wäre hier durch ein konstruktives Angemessenheitskriterium zu ersetzen.
    Je nach Verallgemeinerung (Abstraktion) oder Unterscheidung kann jedes Merkmal ein- oder mehrdimensional interpretiert werden. Es kommt daher entscheidend auf die Ziele und Zwecke an, die man verfolgt. Was soll erreicht werden ist daher eine der ersten Fragen? Zu den wichtigsten Meta-Methoden könnte daher eine genaue Ziel-Mittel-Analyse gehören: was möchte man wozu tun? Und hierbei können dann die traditionellen Methoden wie Analysieren, Begriffsanalyse, Experimente, formale Prozeduren und Modelle helfen.
    Für was zum Beispiel ist es wichtig oder nützlich, ob ein Variablensatz von 12 auf 9, 5 oder auf 3 Faktoren reduziert werden kann? Wäre es nicht wichtiger oder nützlicher zu wissen, was aus diesem oder jenem Ergebnis an Erklärungen oder Prognosen mit dieser oder jener Sicherheit unter diesen oder jenen Bedingungen gefolgert werden kann?

Item-Dimensions-Theorie beim CST - Charakter-Struktur-Test.
Aus: Sponsel, R. (1982): CST-System Handbuch.

Empirisches Beispiel für Eindimensionalitaet
In der empirischen  Sprachstudie-01  wurden drei Skalierungsvarianten untersucht und korreliert. Die Eigenwert- und Kollinaritätsanalyse der Matrix der Skalierungen ergab, dass hier echte Eindimensionaltät vorliegt mit einem großen Eigenwert und zwei fast-kollinearen). D.h. in allen drei Skalierungsvarianten steckt die gleiche Dimension (Skalenwerte für die Realisierungsgrade). Damit ist  bewiesen, dass Eindimensionaltät empirisch existiert.
 

Von der Bipolarität der Merkmale ist das Polungsproblem streng zu unterscheiden: man kann Merkmale positiv oder negativ erheben: dies heißt Polung. Und man kann Merkmale bipolar denken: das nennt man Bipolarität.
Monopolare Dimensionalität liegt z.B. vor bei Länge, Breite, Höhe, Angst, Intelligenz, Wille, Antrieb, Motivation vor, Extraversion und Introversion werden indessen bipolar gedacht, ähnlich zufrieden und unzufrieden, sicher und unsicher, gehemmt und gelöst. Auch Lernen und Vergessen sind Gegenpole und können bipolar gedacht werden.  Beispiele:
Negative Polung: Ich habe selten Angst. Positive Polung: Ich habe oft Angst.
Negative bipolare Polung: ich werde fast nie ungeduldig. Positive bipolare Polung: Ich bin ziemlich geduldig.
Ich sehe derzeit keinen überzeugenden Grund, bipolaren Ausprägungen die Eindimensionalität abzusprechen.
Analogie: positive und negative Zahlen.

• Ahrens, Hans Joachim (1974). Multidimensionale Skalierung. Weinheim: Beltz.
• Bridgman, Percy Williams (1922), Dimensional analysis, New Haven (Yale University Press) (dt. u. d. T.: Theorie der physikalischen Dimensionen. Ähnlichkeitsbetrachtungen in der Physik, hg. von H. Holl, Leipzig: Teubner.
• Carnap, Rudolf (1926). Physikalische Begriffsbildung. Karlsruhe: Braun. Nachdruck WBG Darmstadt 1968.
• Cronbach, Lee J. & Meehl, Paul E. (1955). Construct validity in psychological tests. Psychological Bulletin, 52, 281-302. [The origin of the term "construct validity"]
• Duden Redaktion. Das Bildwörterbuch. Die Gegenstände und ihre Benennung. Umfassende Darstellung der Dinge unserer Umwelt in Wort und Bild. 384 zum Teil mehrfarbige Bildtafeln. Register mit 27000 Stichworten. Mannheim: Dudenverlag.
• Fischer, Gerhard (1975). Einführung in die Theorie psychologischer Tests. Grundlagen und Anwendung. Bern: Huber. [Schwerpunkt: Raschmodell]
• Herrmann, T. & Stapf, K. H. (1971). Über theoretische Konstruktionen in der Psychologie. Psychologische Beiträge, 336-354.
• Jüttemann, G. (1972). Was nützen uns Eigenschaftskonstrukte ? Psychologische Rundschau, 91-114.
• Krantz, David H.; Luce, Duncan, R.; Suppes, Patrick & Tversky, Amos (1971). Dimensional Analysis and Numerical Law. In (p. 454-544): Foundations of Measurement. Vol. I. Additive and Polynomial Representations. New York: Academic Press.
• Krauth, Joachim (1995). Dimensionalität. In (S.33): Testkonstruktion und Testtheorie. Weinheim: Beltz / PsychologieVerlagsUnion.
• Langhaar, H. L. (1951). Dimensional Analysis and Theory of Models. New York: Wiley & Sons.
• MacCorquodale, Kenneth & Meehl, Paul E. (1948). On a distinction between hypothetical constructs and intervening variables. Psychological Review, 55, 95-107.
• Menger, Karl (1928) Dimensionstheorie. Springer Nature.
• Mittelstraß, Jürgen (1980-1996, Hrsg.). Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. 4 Bde. Die ersten beiden Bände erschienen bei BI, Mannheim. Die letzten beiden Bände bei Metzler, Stuttgart. 2. Auflage 2005.
• Pawlik, Kurt (1968). Dimensionen des Verhaltens. Eine Einführung in Methodik und Ergebnisse faktorenanalytischer psychologischer Forschung. Bern: Huber.
• Rauch, Wolfgang & Moosbrugger, Helfried (2011). Klasische Testtheorie. Grundlagen und Erweiterungen für Mehrfacettenmodelle. In (1-86): Hornke, Lutz; Amelang, Manfred & Kerstin, Martin (2011, Hsrg.)  Methoden der Psychologischen Diagnostik. Enzyklopädie der Psychologie Thema B, Serie II, Band 2. Göttingen: Hogrefe.
• Schiepek, Günter & Strunk, Guido (1994). Dimensionskonzepte. In (Glossar, S. 111-120): Dynamische Systeme. Grundlagen und Analysemethoden für Psychologen und Psychiater. Heidelberg: Asanger. [Effektive Dimension, Topologische Dimension, Die Hausdorff-Besicovitch-Dimension, Selbstähnlichkeitsdimension, Box-Dimension, Dimensionalität und Attraktoren, Fraktale Dimension]
• Überla, Karl (1971). Faktorenanalyse. Eine systematische Einführung für Psychologen, Mediziner, Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler. Berlin: Springer.
• Völz, Horst & Ackermann, Peter (1996). Die Welt in Zahlen und Skalen. Heidelberg: Spektrum.
• Wottawa, Heinrich (1977). Psychologische Methodenlehre. München: Juventa.
• Wottawa, Heinrich (1979). Grundlagen und Probleme von Dimensionen in der Psychologie. Meisenheim am Glan: Anton Hain.
• Wottawa, Heinrich (1980). Dimensionsproblematik. In (S. 70-82): Grundriß der Testtheorie. München: Juventa.
• Yaremko, R.M.; Harari, H. ; Harrison, R.C.& Lynn, E. (1982/83). Handbook of Methods in Psychology. New York: Harper.
• Wikipedia: Dimensionsanalyse (einseitig und verkürzt bei Abruf 13.10.12)

• Dimensionsbegriffe in Wikipedia. * Taxonomie *
• Big Five.
• Wikipedia: Dimension in der Mathematik.
• Wikipedia: Dimension in der Physik.
• Wikipedia: Nomenklartut_(Biologie).
• Wikipedia: Dimension in der Semantik.

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Ausnahme: Wottawa 1979. Das interessante Werk ist aber fast ausschließlich testtheoretisch orientiert, methodenlastig aber auch methodenkritisch; grundlegende inhaltliche Überlegungen kommen zu kurz.
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"der" Faktorenanalyse. "Die" Faktorenanalyse gibt es nicht, sondern eine Heerschar von zig-unterschiedlichsten Deutungen und Realisationsmethoden des Ansatzes: X_ij = a_i1*F_i1 + a_i2*F_i2 + ... + a_ij*F_ij  + ... + a_im*F_im , i = 1...n, j = 1 ... m. Je nachdem, ob die Faktoren F unabhängig ("orthogonal") oder abhängig (korrelierend und "oblique") angenommen - d.h. den Daten aufgezwungen - und wie die F aus den unterschiedlichen Faktorentypen ("general", "common", "specific", "error", "communality", Kommunalität) zusammengesetzt und gedacht werden, ergeben sich unzählige Varianten von Faktorenanalysen. Allein im orthogonalen Fall sind rein aus mathematischen Gründen unendlich viele Lösungen ein und desselben Datensatzes möglich, weil unendlich viele orthogonale Rotationen möglich sind, die alle ein und dieselbe Ausgangsmatrix zu reproduzieren gestatten. Die unendlich vielen Ergebnismöglichkeiten vervielfachen sich noch, wenn der Lieblingstick der FaktorenanalytikerInnen ausgelebt wird: Datenreduktion durch Faktoren wegwerfen, auch wenn damit ganz andere Rohdatensätze impliziert werden, d.h. man reduziert seine Variablen um den Preis, dass sie gar nicht mehr die ursprünglichen Rohdaten repräsentieren, sondern ganz andere reproduziert werden, was die meisten gar nicht merken, weil sie ihre Korrelations- und Faktorwertematrizen gar nicht, wie es sich gehört, richtig zurückrechnen und somit vertuschen, was sie anrichten. Zur Kritik des faktorenanalytischen Ansatzes am Beispiel Extraversion.
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drei Gruppen nach Wottawa: (1) Typ Faktorenanalyse oder Multidimensionale Skalierung, (2) Vergleiche von Objekten (formal z.B. die Versuche von Guttman oder Lazarsfeld zur Konstruktion eindimensionaler Skalen oder auch das Raschmodell), (3) Formalisierung psychologischer Hypothesen durch die Konstruktion mathematischer Modelle: "Sehen diese Modelle für jedes Objekt einen oder mehrere Parameterwerte vor, so sind in der Regel diese Parameter als Schätzwerte für die Ausprägungsgrade latenter Dimensionen anzusehen."  (S. 3)
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Faktoren reduziert. Die Faktorenanalyse hat nicht zur Reduktion von irgendwas beigetragen, sondern alles vervielfacht. Der Reduktionsfuror hat sich im Ergebnis also umgekehrt.
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Heterogenität in der KTT
"4.1   Definition von Heterogenität. Die in Abschnitt 6 besprochenen „klassischen" Ansätze zur Reliabilitätsschätzung basierten auf einer mehr oder weniger starken Anahmen für die Äquivalenz der Testteilvariablen sowie auf der Annahme der linearen Unabhängigkeit der Testteilvariablen. Es wurde gezeigt, dass sich die Kongeneritätsannahme für eine Reihe von m Test(-teil-)variablen auch als Ein-Faktoren-Modell darstellen lässt, was prinzipiell auch für die stärkeren Äquivalenzannahmen gilt. Insbesondere in den letzten Jahren wurden aber Ansätze zur Reliabilitätsschätzung entwickelt, die auf noch schwächeren oder auch qualitativ anderen Äquivalenzannahmen beruhen, da ein einfaktoriell kongenerisches Testmodell mit linearer Unabhängigkeit in der Praxis häufig unhaltbar ist (vgl. Lücke, 2005a, b; Raykov, 1998, 2001; ten Berge & Socàn, 2004). Das Aufgeben jeweils einer der beiden Annahmen, also linearer Unabhängigkeit oder einfaktorieller Kongenerität, führt zu sogenannten heterogenen Testmodellen (vgl. z.B. Raykov, 1998), die in der Praxis oft angemessener sind. Der Begriff heterogen ist dabei im faktorenanalytischen Sinn zu verstehen: Bei heterogenen Tests korrelieren die True-Score-Variablen nicht zu l, und die Dimensionalität (der Rang) der Korrelationsmatrix der Testteilvariablen ist nicht . mehr gleich l, sondern es liegt Mehrdimensionalität der Korrelationsmatrix vor."
    Ich kann hier keine Definition von Heteroegenig umd damit implzit von Homogenität erkennen; und schon gar keine vernünftige Begründung.
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Stichworte: Alltag, Alltagsraum, Chemie (Elemente und Verbindungen), Mathematik (Geometrie, Lineare Algebra, Topologie), Physik (vierdimensionale Raum-Zeit), Psychologie (Funktionen, Erleben, Verhalten, Psychologische Testtheorie und Tests). Andere Aspekte: Differenzieren i.S. von unterscheiden, Dimensionsanalyse, Diskriminieren, eindimensional, Einteilen, Klassifizieren, mehrdimensional, Ordnen, Sortieren, unterscheiden, trennen, vergleichen.
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