"Zahlen"1)
Die Grundlagen praktischer ArithMETRIK
für die Messung im Unscharfen,
Unklaren und Fluechtigen
in der Allgemeinen und Integrativen Psychologie
und Psychotherapie
„Die Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere
ist Menschenwerk". 2)
"Die Zahl ist eine Vielheit von Einheiten."
Uebersicht (blauunterstrichen:
aufrufbar, grau unterstrichen: in Vorbereitung)
1. Folge
2. Folge
Abstract - Zusammenfassung 1)
Definition: Messen heißt vergleichen mit Messkriterien zum Zwecke der Feststellung von Quanta (Auspraegungen) oder ihrer Ordnung. Im allgemeinen wird man verlangen, daß vergleichendes Feststellen
und Ordnen konstruktiv-operational normier- und kontrollierbar ist. Man
kann auch sagen, Messen heisse (normiertes) vergleichen von Quanta. Es
wird eine Messtheorie,
|
Zur Terminologie: Arithmetik heisst die mathematische Zahlenlehre. Mit ArithMETRIK bezeichnen wir die Lehre der praktisch-empirischen Verfahren zum Messen, wenn "Zahlen" zur Messung verwendet werden. Waehrend Arithmetik wie die Mathematik und Logik ueberhaupt unabhaengig von Erfahrung und Empirie betrieben werden kann und so gesehen tatsaechlich die reinste und die "Koenigin" aller Wissenschaften genannt werden mag, ist die ArithMETRIK eine empirische Disziplin, bei der es um die praktisch-empirische und messfunktionelle Anwendung von "Zahlen" geht. Damit wir mit der arithmetischen Mathematik nicht aneindergeraten und das allgemeine terminologische Chaos in der Psychologie, Psychopathologie und Psychotherapie noch steigern, wollen wir durch unsere Nomenklatur jede Verwirrung ausschliessen.
Doch was sind "Zahlen" ? Diese
Frage ist keineswegs einfach oder gar selbstverstaendlich zu beantworten.
Wir werden sogar gleich sehen, dass diese Frage ausgesprochen schwierig
ist. Das Wort "Zahl" ist semantisch betrachtet ein vieldeutiges und schillerendes
Homonym,
d. h. Traeger vieler unterschiedlicher Zahlbegriffe. Wir setzen
das Homonym "Zahlen" so lange in Anführungszeichen bis wir unten unsere
terminologischen Unterscheidungen "der" "Zahlen" eingeführt haben.
Erste Näherung aus allgemein-integrativer Sicht
zum Sinn und Nutzen der Zahlen:
Zahlen braucht man (1) zum Zählen; (2) zum Rechnen, (3) zum Ordnen
(sortieren); (4) zum Schätzen, Messen und für Größenvergleiche;
(5) um Beziehungen zwischen unterschiedlichen Größen zu untersuchen
(Gesetz- oder Regelhaftigkeiten festzustellen); (6) zum Codieren; (7) inzwischen
dient die Beschäftigung mit ihnen auch der Unterhaltung, Spiel und
Vergnügen.
Zahlen sind für die Anwendung wichtige geistige
Konstruktionen zum Verständnis der Welt.
Empirisch-psychologische Grundlage für die Entwicklung der Zahlen
ist die Erfahrung mit sich und Objekten in Raum und Zeit sowie das Bedürfnis,
die Welt und das Geschehen in ihr zu begreifen, um Sicherheit, Macht (einer
Sache mächtig sein; Wissen, Wissenschaft) und Kompetenz zu erleben.
Konventionelles Grundproblem
1: Was heisst Messen?
Die meisten Autoren zur Messung sind vorschnell bei "den Zahlen". Die
übliche neuere Definition, messen sei eine homomorphe10)
Abbildung von einem empirischen Relativ in ein numerisches Relativ, halten
wir nicht ganz für angemessen und zweckmäßig, weil die
Feststellung und Ordnung von Ausprägungen grundsätzlich gesehen
nicht an "Zahlen" (hier: "numerisches Relativ") gebunden ist. Es könnte
aber folgendes richtig sein: wenn eine empirische quantitative
Ordnung konstruierbar ist, dann läßt sich auch ein - äquivalentes
- numerisches Modell dafür konstruieren. Allgemein gestehen
wir aber natürlich zu, daß formale Modelle von
Ausprägungen oder Quantifizierungen grundsätzlich zum Fachgebiet
der Mathematik gehören. Allerdings hat sich die Mathematik bislang
wenig an unseren Problemen interessiert gezeigt und auch noch keine geeigneten
praktischen Modelle für den Alltag, die Sozialwissenschaften und die
Psychotherapie vorgelegt. Das hat natürlich mit der Geschichte der
Wissenschaften und der Verwandtschaft in der geistigen Orientierung der
sog. exakten Wissenschaften, insbesondere Physik und Mathematik zu tun.
Jeder Physiker ist auch ein Mathematiker und viele Mathematiker haben sich
von den Problemen der Physik inspirieren lassen. Ein fundamentaler Definitions-
und Bewertungsfehler vieler Mathematiker und Naturwissenschaftler ist es
nun, den Grad an Wissenschaftlichkeit einer Wissenschaft vom metrischen
Niveau ihrer Meßmöglichkeiten abhängig zu definieren.
Der Begriff der Wissenschaftlichkeit bedeutet grundsätzlich auf wissenschaftliche Weise gewonnenes Wissen: Schritt für Schritt zeig- und nachvollziehbar. Es gibt letztlich nur eine Wissenschaft, wobei sich Wissenschaft von anderen Erkenntnismethoden durch das Beweisen unterscheidet. Unscharfe Wirklichkeiten bedürfen unscharfer Modelle und keiner pseudoexakten Verkleidung. |
Aus der Tatsache, daß wir in den psychosozialen Wissenschaften
kein hohes metrisches Niveau an Meßmöglichkeiten zur Verfügung
haben, folgt natürlich nicht, daß diese Wissenschaften
gewissermaßen gar keine echten Wissenschaften sind, sondern nur,
daß im Kontext Messen andere Wege, Modelle
und Methoden entwickelt werden müssen, die dem Gegenstand unserer
psychosozialen Welt angemessen sind. Viele Lehrstuhlinhaber
der Psychologie, angeführt und dominiert durch die anglo-amerikanische
Psychologie, sind der Versuchung erlegen, der Psychologie einfach die für
Naturwissenschaft, Technik, Biologie und Landwirtschaft entwickelten Methoden,
besonders im Bereich der Statistik, überstülpen zu lassen, ohne
daß die sachlichen Vorausaussetzungen dafür erfüllt wären
(3)
Konventionelles
Grundproblem 2: Unterschiedliche Bedeutung der Zahlen.
Sehr wichtig ist es, daß man sich klar macht, daß "die
Zahlen" ganz unterschiedliche quantitative Bedeutung haben,
was man ihnen aber in ihrer üblichen Verwendung so nicht ansieht.
Selbst in der Mathematik wird gewöhnlich unterhalb bzw. innerhalb
der natürlichen "Zahlen" nicht weiter differenziert.
Aus messpragmatischen Gruenden erscheint es aber nicht sinnvoll,
die natürlichen "Zahlen" in praktisch vierfacher Bedeutung (ordinal,
kardinal, intervallskalisch, verhältnisskalisch) zu belassen, da dann
immer zu erklären ist, in welcher Bedeutung man die natürlichen
"Zahlen" [0], 1, 2, 3 .... gerade verwendet (ordinal, kardinal, intervallskalisch,
verhältnisskalisch(4)). Gewöhnlich
werden in der [Schul-] Mathematik nur die Mengen der natürlichen (N),
ganzen (Z), rationalen (Q), reellen (R) und die komplexen Zahlen (C) gesondert
benannt.
"0, 1, 2, 3, ..." werden von den meisten Menschen als verhältnisskalische
"Zahlen" interpretiert. Dabei haben die Ziffern bzw. die "Zahlen" 0, 1,
2, 3 ... mindestens eine achtfache Bedeutung. Um den Problemen einigermassen
beizukommen, ist es erforderlich, jeweils klar zu sagen, von welchem Zahlentyp
man spricht. Um dies zu foerdern, schlagen wir in der Allgemeinen und Integrativen
Psychologie und Psychotherapie folgende Unterscheidungen und Notationsvereinbarungen
vor:
Notations-Vereinbarungen Zahlen in der Allgemeinen, Integrativen Psychologie und Psychotherapie Sinn und Zweck der Zahlen:
(1) "0, 1, 2, 3, ..." als Ziffer-Zeichen zum Zwecke der Unterscheidung (nominalskalische Anwendung; bei uns 0A, 1A , 2A, ...; "A" für Alphabetische Bedeutung). Nominalskalisch bedeutet in der Psychologie meist: Merkmal vorhanden (oft mit 1A codiert) oder Merkmal nicht vorhanden (meist mit 0A codiert). (2) "0, 1, 2, 3, ..." als Ordnungszahlen oder Rangzahlen (bei uns: 0O, 1O , 2O, ...) für auf- oder absteigende Ordnungen (ohne Abstandsdefinition der Abstände zwischen den Ordnungszahlen); Wichtige
Bemerkung zu den Ordnungszahlen:
(3) "0, 1, 2, 3, ..." als Kardinalzahlen (bei uns: 0K, 1K , 2K, ... ) für Anzahlen in der Anwendung zählen (hierbei kann man auf Cantors Kriterium der Wohlunterscheidbarkeit zurückgreifen; zählen kann man nur Diskretes, Wohlunterscheidbares, Abgrenzbares); (4) "0, 1, 2, 3, ..." als Verhältniszahlen (bei uns: 0V, 1V , 2V, ... ) für Verhältnisse und Vielfache(s); (5) "0, 1, 2, 3, ..." als Natürliche Zahlen (bei uns: [0N], 1N , 2N, 3N,...) in der Anwendung gleiche Einheitsabstände zählen; (6) "... -2, -1, 0, 1, 2, ..." als ganze Zahlen (bei uns ... -2Z, -1Z, 0Z, +1Z , +2Z, ...) besonders in der Anwendung bipolarer (5)Begrifflichkeiten (z. B. ängstlich -2Z, -1Z, 0Z, +1Z , +2Z mutig), (7) 0, 1, 2, 3, ... als rationale Zahlen (bei uns: 0Q, 1Q, 2Q, ...), die eine feinere Differenzierung durch Bruchteile und Verhältnisangaben erlauben und schließlich (8) Wurzel 2 als "Klassiker" der irrationalen Zahlen. (9) Algebraische Zahlen. Z1a, Z2a, ... (z.B. Wurzel 2) (10) e und pi als "Klassiker" der transzendenten Zahlen. Z1t, Z2t, ... (11) 0, 1, 2, 3, ... als reelle Zahlen (bei uns: 0R, 1R , 2R, ...) in der Hauptanwendung genaues rechnen. (12) Für die imaginären und komplexen Zahlen ist mir für den Alltag und die Psychotherapie noch keine Anwendung eingefallen(6) und natürlich noch weniger für die Quaterionen, die ich selbst noch nicht verstanden habe (7). (13) Unscharfe Zahlen, das sind Ausprägungsschätzungen mit ungefähren Grenzbereichen, wie z.B. die Folge: gar nichtU, sehr seltenU, seltenU, manchmalU, mittelU, öfterU, oftU, sehr oftU, fast immerU, ständigU. Aber wie rechnet man mit solchen unscharfen Zahlen? (14) Surreale Zahlen. |
Die Zahlen scheinen in unserer Perspektive weniger Gotteswerk, wie es ein Meister (2) der Mathematik einmal bonmothaft und aus seiner Perspektive wohl sehr trefflich bemerkte als viel eher Teufelswerk, da man im Kontext Messen sofort in größte Schwierigkeiten gerät, wenn man die vielen Bedeutungen nicht auseinanderhält.
Interessant ist hier die Bedeutung "achtfach". Man kann "achtfach" hier, wenn man nur den Gesichtspunkt der Unterscheidung sieht, als nominalskalisch auffassen, dann also 8A. Zählt man ab, wie viele Bedeutungen "es gibt", so gibt es relativ zu unserem gewählten Ansatz 8KBedeutungen. "achtfach" repräsentiert so betrachtet eine Kardinalzahl (Anzahl). Denken wir uns die Zahlen nach Dichte und Differenziertheit angeordnet, so wird "achtfach" zu einer Ordnungszahl, so gesehen also 8O. Da immer wenigstens eine Bedeutung gegeben ist, kommt in der "Skala der Zahlen nach Dichte und Differenziertheit" die 0 nicht vor.
Mathematischer Zahlbegriff
Artmann (1983): Ein Zahl ist ein Element eines Körpers [W].
Zahl und Zahldarstellung
Offenbar kann man Zahlen auf unterschiedliche Weise darstellen, wobei
empfohlen wird, die Zahl nicht mit ihrer Darstellung zu verwechseln. Wie
will man aber über Zahlen sprechen und etwas aussagen, ohne dass man
eine Darstellung verwendet? Nehmen wir an, die Zahl 2 lässt sich auf
13 unterschiedliche Weisen darstellen? Damit so etwas überhaupt durchgeführt
werden kann, muss ja bereits eine Vorstellung der Zahl 2 existieren, die
dann in allen 13 unterschiedlichen Darstellungsweisen enthalten ist. Drücken
wir die hier im Beispiel angenommenen 13 unterschiedlichen Darstellungen
der Zahl 2 durch entsprechende Indices aus, so muss für die Zahl 2
gelten: 2 = 21 = 22 = 23 = 24
= 25 = 26 = 27 = 28 = 29
= 210 = 211 = 212 = 213. Die
Zahl ist so gesehen unabhängig von ihrer Darstellung. Wie immer man
sie darstellt, es bleibt doch ein und dieselbe Zahl. Andererseits: Die
Argumentation setzt allerdings voraus, dass man schon eine erste Ausgangsdarstellung
hat. Diese ist aber für die Zahl selbst nicht wesentlich, da man ja
auch jede beliebige andere äquivalente verwenden kann.
Suchen in der IP-GIPT,
z.B. mit Hilfe von "google": <suchbegriff>
site:www.sgipt.org
z.B. Zahlen site:www.sgipt.org. |