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1. Folge

• Abstract - Zusammenfassung
• Zur Terminologie: Arithmetik und ArithMETRIK
• Doch was sind "Zahlen"?
• Konventionelles Grundproblem 1: Was soll Messen heissen?
• Begriff der Wissenschaftlichkeit
• Konventionelles Grundproblem 2: Unterschiedliche Bedeutung der Zahlen
•     Wichtige Bemerkung zu den Ordnungszahlen
• Wenigstens 8-fache Bedeutung der natuerlichen "Zahlen"
• Notations-Vereinbarungen Zahlen in der GIPT

2. Folge

• Kritik der Stevens'schen Skalentypologie
• Es gibt potentiell undendlich viele Skalen (Graduierungen)

Querverweise
 

Abstract - Zusammenfassung 1) Ziel dieser Arbeit ist es, für das Unscharfe und Fluechtige besonders im Bereich des Subjektiven und Idiographischen angemessene Methoden der Auspraegungsmessung zu entwickeln und die Moeglichkeiten, Methoden und Probleme zu klaeren. Unter Auspraegung verstehen wir eine Ausdehnung, ein Quantum, eine Menge, eine Intensitaet von irgendwelchen Qualitaeten, die eben zu Auspraegungen faehig sind. Können die Auspraegungen gemessen werden, wird die Qualität zu einer Groeße, d. h. zu einer Qualitaet mit Auspraegungsmaß („Zahl") und Messverfahren. Quanta oder Auspraegungen sind sowohl Vorgaenger als auch Verallgemeinerungen der Zahlen, die wir als spezielle Klasse von Quanta verstehen. Die „klassische" Maßzahl ist so eine Teilmenge und Spezifikation des allgemeineren Begriffs der Auspraegung.  Definition:  Messen heißt vergleichen mit Messkriterien zum Zwecke der Feststellung von Quanta (Auspraegungen) oder ihrer Ordnung. Im allgemeinen wird man verlangen, daß vergleichendes Feststellen und Ordnen konstruktiv-operational normier- und kontrollierbar ist. Man kann auch sagen, Messen heisse (normiertes) vergleichen von Quanta. Es wird eine Messtheorie,  d. h. eine allgemeine Theorie der Messung von Auspraegungen (Quanta) hier in der Hauptanwendung für Alltagsverhalten, für das Unscharfe, Subjektive und Idiographische entwickelt. Wir unterscheiden die mathematische Zahlentheorie, die wir im Einklang mit der Tradition Arithmetik nennen und die ArithMETRIK, in der die Zahlen als Repraesentanten für empirische Auspraegungen aufgefasst werden. Die Arithmetik setzen wir voraus und benutzen sie gelegentlich als Modell, wie sie von den Mathematikern entwickelt wurde.

Zur Terminologie: Arithmetik heisst die mathematische Zahlenlehre. Mit ArithMETRIK bezeichnen wir die Lehre der praktisch-empirischen Verfahren zum Messen, wenn "Zahlen" zur Messung verwendet werden. Waehrend Arithmetik wie die Mathematik und Logik ueberhaupt unabhaengig von Erfahrung und Empirie betrieben werden kann und so gesehen tatsaechlich die reinste und die "Koenigin" aller Wissenschaften genannt werden mag, ist die ArithMETRIK eine empirische Disziplin, bei der es um die praktisch-empirische und messfunktionelle Anwendung von "Zahlen" geht. Damit wir mit der arithmetischen Mathematik nicht aneindergeraten und das allgemeine terminologische Chaos in der Psychologie, Psychopathologie und Psychotherapie noch steigern, wollen wir durch unsere Nomenklatur jede Verwirrung ausschliessen.

Doch was sind "Zahlen" ? Diese Frage ist keineswegs einfach oder gar selbstverstaendlich zu beantworten. Wir werden sogar gleich sehen, dass diese Frage ausgesprochen schwierig ist. Das Wort "Zahl" ist semantisch betrachtet ein vieldeutiges und schillerendes Homonym, d. h. Traeger vieler unterschiedlicher Zahlbegriffe. Wir setzen das Homonym "Zahlen" so lange in Anführungszeichen bis wir unten unsere terminologischen Unterscheidungen "der" "Zahlen" eingeführt haben.
    Erste Näherung aus allgemein-integrativer Sicht zum Sinn und Nutzen der Zahlen: Zahlen braucht man (1) zum Zählen; (2) zum Rechnen, (3) zum Ordnen (sortieren); (4) zum Schätzen, Messen und für Größenvergleiche;  (5) um Beziehungen zwischen unterschiedlichen Größen zu untersuchen (Gesetz- oder Regelhaftigkeiten festzustellen); (6) zum Codieren; (7) inzwischen dient die Beschäftigung mit ihnen auch der Unterhaltung, Spiel und  Vergnügen.
    Zahlen sind für die Anwendung wichtige geistige Konstruktionen zum Verständnis der Welt. Empirisch-psychologische Grundlage für die Entwicklung der Zahlen ist die Erfahrung mit sich und Objekten in Raum und Zeit sowie das Bedürfnis, die Welt und das Geschehen in ihr zu begreifen, um Sicherheit, Macht (einer Sache mächtig sein; Wissen, Wissenschaft) und Kompetenz zu erleben.

Konventionelles Grundproblem 1: Was heisst Messen?
Die meisten Autoren zur Messung sind vorschnell bei "den Zahlen". Die übliche neuere Definition, messen sei eine homomorphe¹⁰⁾ Abbildung von einem empirischen Relativ in ein numerisches Relativ, halten wir nicht ganz für angemessen und zweckmäßig, weil die Feststellung und Ordnung von Ausprägungen grundsätzlich gesehen nicht an "Zahlen" (hier: "numerisches Relativ") gebunden ist. Es könnte aber folgendes richtig sein: wenn eine empirische quantitative Ordnung konstruierbar ist, dann läßt sich auch ein - äquivalentes - numerisches Modell dafür konstruieren. Allgemein gestehen wir aber natürlich zu, daß formale Modelle von Ausprägungen oder Quantifizierungen grundsätzlich zum Fachgebiet der Mathematik gehören. Allerdings hat sich die Mathematik bislang wenig an unseren Problemen interessiert gezeigt und auch noch keine geeigneten praktischen Modelle für den Alltag, die Sozialwissenschaften und die Psychotherapie vorgelegt. Das hat natürlich mit der Geschichte der Wissenschaften und der Verwandtschaft in der geistigen Orientierung der sog. exakten Wissenschaften, insbesondere Physik und Mathematik zu tun. Jeder Physiker ist auch ein Mathematiker und viele Mathematiker haben sich von den Problemen der Physik inspirieren lassen. Ein fundamentaler Definitions- und Bewertungsfehler vieler Mathematiker und Naturwissenschaftler ist es nun, den Grad an Wissenschaftlichkeit einer Wissenschaft vom metrischen Niveau ihrer Meßmöglichkeiten abhängig zu definieren.
 

Wir meinen dagegen: Der Begriff der Wissenschaftlichkeit bedeutet grundsätzlich auf wissenschaftliche Weise gewonnenes Wissen: Schritt für Schritt zeig- und nachvollziehbar.  Es gibt letztlich nur eine Wissenschaft, wobei sich Wissenschaft von anderen Erkenntnismethoden durch das Beweisen unterscheidet. Unscharfe Wirklichkeiten bedürfen unscharfer Modelle und keiner pseudoexakten Verkleidung.  Wissenschaft [IL] schafft Wissen und dieses hat sie zu beweisen, damit es ein wissenschaftliches Wissen ist, wozu ich aber auch den Alltag und alle Lebensvorgänge rechne. Wissenschaft in diesem Sinne ist nichts Abgehobenes, Fernes, Unverständliches. Wirkliches Wissen sollte einem Laien vermittelbar sein (PUK - "Putzfrauenkriterium"). Siehe hierzu bitte das Hilbertsche gemeinverständliche Rasiermesser 1900, zu dem auch gut die Einstein zugeschriebene Sentenz passt: "Die meisten Grundideen der Wissenschaft sind an sich einfach und lassen sich in der Regel in einer für jedermann verständlichen Sprache wiedergegeben."

Aus der Tatsache, daß wir in den psychosozialen Wissenschaften kein hohes metrisches Niveau an Meßmöglichkeiten zur Verfügung haben, folgt natürlich nicht, daß diese Wissenschaften gewissermaßen gar keine echten Wissenschaften sind, sondern nur, daß im Kontext Messen andere Wege, Modelle und Methoden entwickelt werden müssen, die dem Gegenstand unserer psychosozialen Welt angemessen sind. Viele Lehrstuhlinhaber der Psychologie, angeführt und dominiert durch die anglo-amerikanische Psychologie, sind der Versuchung erlegen, der Psychologie einfach die für Naturwissenschaft, Technik, Biologie und Landwirtschaft entwickelten Methoden, besonders im Bereich der Statistik, überstülpen zu lassen, ohne daß die sachlichen Vorausaussetzungen dafür erfüllt wären ⁽³⁾
 

Konventionelles Grundproblem 2: Unterschiedliche Bedeutung der Zahlen.
Sehr wichtig ist es, daß man sich klar macht, daß "die Zahlen" ganz unterschiedliche quantitative Bedeutung haben, was man ihnen aber in ihrer üblichen Verwendung so nicht ansieht. Selbst in der Mathematik wird gewöhnlich unterhalb bzw. innerhalb der natürlichen "Zahlen" nicht weiter differenziert. Aus messpragmatischen Gruenden erscheint es aber nicht sinnvoll, die natürlichen "Zahlen" in praktisch vierfacher Bedeutung (ordinal, kardinal, intervallskalisch, verhältnisskalisch) zu belassen, da dann immer zu erklären ist, in welcher Bedeutung man die natürlichen "Zahlen" [0], 1, 2, 3 .... gerade verwendet (ordinal, kardinal, intervallskalisch, verhältnisskalisch⁽⁴⁾). Gewöhnlich werden in der [Schul-] Mathematik nur die Mengen der natürlichen (N), ganzen (Z), rationalen (Q), reellen (R) und die komplexen Zahlen (C) gesondert benannt.

"0, 1, 2, 3, ..." werden von den meisten Menschen als verhältnisskalische "Zahlen" interpretiert. Dabei haben die Ziffern bzw. die "Zahlen" 0, 1, 2, 3 ... mindestens eine achtfache Bedeutung. Um den Problemen einigermassen beizukommen, ist es erforderlich, jeweils klar zu sagen, von welchem Zahlentyp man spricht. Um dies zu foerdern, schlagen wir in der Allgemeinen und Integrativen Psychologie und Psychotherapie folgende Unterscheidungen und Notationsvereinbarungen vor:
 
 

Notations-Vereinbarungen Zahlen  in der Allgemeinen, Integrativen Psychologie und Psychotherapie Sinn und Zweck der Zahlen:  Zahlen dienen dem Zählen, Rechnen, Messen und Schätzen. (1) "0, 1, 2, 3, ..." als Ziffer-Zeichen zum Zwecke der Unterscheidung (nominalskalische Anwendung; bei uns 0A, 1A , 2A, ...; "A" für Alphabetische Bedeutung). Nominalskalisch bedeutet in der Psychologie meist: Merkmal vorhanden (oft mit 1A codiert) oder Merkmal nicht vorhanden (meist mit 0A codiert).  (2) "0, 1, 2, 3, ..." als Ordnungszahlen oder Rangzahlen (bei uns: 0O, 1O , 2O, ...) für auf- oder absteigende Ordnungen (ohne Abstandsdefinition der Abstände zwischen den Ordnungszahlen);  Wichtige Bemerkung zu den Ordnungszahlen:  Das mathematisch-arithmetische Ordinalzahlkonzept, das das Transfinite (Unendliche) einbezieht, ist fuer unsere Zwecke nicht geeignet.  In der mathematisch-arithmetischen Ordinalzahlkonzeption, die das Transfinite (Unendliche) einbezieht,  gilt naemlich noch nicht einmal die Kommutativitaet "der" Ordinalzahl-Addition (Halmos 1968 S. 106;  Klaua 1974 S. 155) 9). Beispiel. (3) "0, 1, 2, 3, ..." als Kardinalzahlen (bei uns: 0K, 1K , 2K, ... ) für Anzahlen in der Anwendung zählen (hierbei kann man auf Cantors Kriterium der Wohlunterscheidbarkeit zurückgreifen; zählen kann man nur Diskretes, Wohlunterscheidbares, Abgrenzbares);  (4) "0, 1, 2, 3, ..." als Verhältniszahlen (bei uns: 0V, 1V , 2V, ... ) für Verhältnisse und Vielfache(s);  (5) "0, 1, 2, 3, ..." als Natürliche Zahlen (bei uns: [0N], 1N , 2N, 3N,...) in der Anwendung gleiche Einheitsabstände zählen;  (6) "... -2, -1, 0, 1, 2, ..." als ganze Zahlen (bei uns ... -2Z, -1Z, 0Z, +1Z , +2Z, ...) besonders in der Anwendung bipolarer (5)Begrifflichkeiten (z. B. ängstlich -2Z, -1Z, 0Z, +1Z , +2Z mutig),  (7) 0, 1, 2, 3, ... als rationale Zahlen (bei uns: 0Q, 1Q, 2Q, ...), die eine feinere Differenzierung durch Bruchteile und Verhältnisangaben erlauben und schließlich  (8) Wurzel 2 als "Klassiker" der irrationalen Zahlen. (9)  Algebraische Zahlen. Z1a, Z2a, ... (z.B. Wurzel 2) (10) e und pi als "Klassiker" der transzendenten Zahlen.  Z1t, Z2t, ... (11) 0, 1, 2, 3, ... als reelle Zahlen (bei uns: 0R, 1R , 2R, ...) in der Hauptanwendung genaues rechnen.  (12) Für die imaginären und komplexen Zahlen ist mir für den Alltag und die Psychotherapie noch keine Anwendung eingefallen(6) und natürlich noch weniger für die Quaterionen, die ich selbst noch nicht verstanden habe (7).  (13) Unscharfe Zahlen, das sind Ausprägungsschätzungen mit ungefähren Grenzbereichen, wie z.B. die Folge: gar nichtU, sehr seltenU, seltenU, manchmalU, mittelU, öfterU, oftU, sehr oftU, fast immerU, ständigU. Aber wie rechnet man mit solchen unscharfen Zahlen?  (14) Surreale Zahlen.

Die Zahlen scheinen in unserer Perspektive weniger Gotteswerk, wie es ein Meister ⁽²⁾ der Mathematik einmal bonmothaft und aus seiner Perspektive wohl sehr trefflich bemerkte als viel eher Teufelswerk, da man im Kontext Messen sofort in größte Schwierigkeiten gerät, wenn man die vielen Bedeutungen nicht auseinanderhält.

Interessant ist hier die Bedeutung "achtfach". Man kann "achtfach" hier, wenn man nur den Gesichtspunkt der Unterscheidung sieht, als nominalskalisch auffassen, dann also 8_A. Zählt man ab, wie viele Bedeutungen "es gibt", so gibt es relativ zu unserem gewählten Ansatz 8_KBedeutungen. "achtfach" repräsentiert so betrachtet eine Kardinalzahl (Anzahl). Denken wir uns die Zahlen nach Dichte und Differenziertheit angeordnet, so wird "achtfach" zu einer Ordnungszahl, so gesehen also 8_O. Da immer wenigstens eine Bedeutung gegeben ist, kommt in der "Skala der Zahlen nach Dichte und Differenziertheit" die 0 nicht vor.

Mathematischer Zahlbegriff
Artmann (1983): Ein Zahl ist ein Element eines Körpers [W].

Zahl und Zahldarstellung
Offenbar kann man Zahlen auf unterschiedliche Weise darstellen, wobei empfohlen wird, die Zahl nicht mit ihrer Darstellung zu verwechseln. Wie will man aber über Zahlen sprechen und etwas aussagen, ohne dass man eine Darstellung verwendet? Nehmen wir an, die Zahl 2 lässt sich auf 13 unterschiedliche Weisen darstellen? Damit so etwas überhaupt durchgeführt werden kann, muss ja bereits eine Vorstellung der Zahl 2 existieren, die dann in allen 13 unterschiedlichen Darstellungsweisen enthalten ist. Drücken wir die hier im Beispiel angenommenen 13 unterschiedlichen Darstellungen der Zahl 2 durch entsprechende Indices aus, so muss für die Zahl 2 gelten: 2 = 2₁ = 2₂ = 2₃ = 2₄ = 2₅ = 2₆ = 2₇ = 2₈ = 2₉ = 2₁₀ = 2₁₁ = 2₁₂ = 2₁₃. Die Zahl ist so gesehen unabhängig von ihrer Darstellung. Wie immer man sie darstellt, es bleibt doch ein und dieselbe Zahl. Andererseits: Die Argumentation setzt allerdings voraus, dass man schon eine erste Ausgangsdarstellung hat. Diese ist aber für die Zahl selbst nicht wesentlich, da man ja auch jede beliebige andere äquivalente verwenden kann.
 

• Artmann, B. (1983). Der Zahlbegriff. Göttingen: Vandenhoek & Ruprecht.
• Brandt, H.: Zur Zahlentheorie der Quaternionen.  Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung,  53, 23-57 (1943)
• Davenport, H.: Über einige neuere Fortschritte der additiven Zahlentheorie. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung,  63, 163-169 (1960)
• Dedekind, R. (19184). Was sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig: Vieweg.
• Hilbert, D. (1899). Über den Zahlbegriff. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, Bd. 8., 180-184.  Stuttgart: Teubner. (Reprint: N. Y.: Johnson).
• Hlawka, E.: Grundbegriffe der Geometrie der Zahlen. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, 57, 37-55 (1954)
• Orth, B. (1974). Einführung in die Theorie des Messens. Stuttgart: Kohlhammer.
• Pontrjagin, L. S. (dt. 1995, orig. 1986). Verallgemeinerungen der Zahlen. Frankfurt: Deutsch
• Scriba, C.J.: Zur Entwicklung der additiven Zahlentheorie von Fermat bis Jacobi.  Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung,   72, 122-142 (1970)
• Stevens, S. S. (1946). On the Theory of Scales of Measurement. Svcience Vol. 103, No. 2684, 677-680.
• Die 5. Grundrechenart (Modulformen): https://didaktik.mathematik.hu-berlin.de/files/kirchgraber_1.pdf