Editorial. Auf diesen Seiten sollen praktische und empirische Anschauungsbeispiele zur Anwendung, Analyse und Auswertung von Eigenwert-Analysen hauptsächlich von Korrelationsmatrizen dargestellt werden. Ziel und Zweck ist es, den Nutzen von Eigenwert-Analysen zu belegen und Alternativen aufzuzeigen zur dubiosen Faktorenanalyse - die über die Hauptkomponentenanalyse (PCA) hinausgeht, Kommunalitätsmatrizen erzeugt und Hauptdiagonalelement-Manipulationen oder Rotationsbeliebigkeit akzeptiert. Hintergrundthese ist: Kennt man die Eigenwerte einer Korrelationsmatrix, weiß man eigentlich "alles", das heißt, sie charakterisieren die - vom Modellansatz her linearen - Beziehungen der Variablen hinreichend. Ein wenig spielt auch die Idee eine Rolle, dass die Mathematik schon immer "mitmacht", wenn die Inhalte und Daten stimmen. Die manipulative faktorenanalytische Orientierung ist ein Irrweg. Ich denke, es ist leichter, diesen Irrweg zu verlassen, wenn Alternativen geboten  werden. Darum geht es auf diesen Seiten.
18.11.16 Inzwischen habe ich auch Möglichkeiten gefunden, die Eigenwertanalyse bei der psychologischen Testkonstruktion einzusetzen (Item-Theorie und Möglichkeiten der methodischen Prüfung). Eine neue Anwendung ist die Frage: gibt es zu einer vorgegebenen Eigenwertstruktur mindestens eine Korrelationsmatrix (Beispiel hier)

    Ob ein Generalfaktor-Modell z.B. in Intelligenztests vorliegt, kann auf einen Blick an der Eigenwertstruktur erkannt werden (Belege).

Eigenwertanalysen der 46*46-Plausibilitätsmatrix der Fragebogenpilotstudie (4.10.21)

• Korrelations- und Eigenwertanalyse Corona Neuinfektionen in den 16 Bundesländern und Deutschland.
• Corona Virus: Korrelations- und Eigenwertanalyse für 6 wichtige Variablen Deutschland. Hier konnten 4 Gesetzmäßigkeiten gefunden werden.
• Korrelations- und Eigenwertanalyse Neuinfizierungs-n und Labortestparameter in Bayern. Corona-Virus in Bayern.
• Korrelations- und Eigenwertanalyse der absoluten und logarithmierten Häufigkeitszahlen beim Corona-Virus in China.

• Korrelationen und Eigenwertanalysen der 7 Kriterien über die Kategorien:
• Korrelationen und Eigenwertanalysen der 7 Kriterien der 11 allgemein-wissenschaftlichen Kategorien.
• Korrelationen und Eigenwertanalysen der 7 Kriterien 31 rechts-wissenschaftlichen Kategorien.
• Korrelationen und Eigenwertanalysen 7 Kriterien über alle 42 wissenschaftlichen Kategorien.
• Korrelationen der Kategorien über die 7 Kriterien:
• Korrelationen und Eigenwertanalysen der 11 allgemein-wissenschaftlichen Kategorien.
• Korrelationen und Eigenwertanalysen der 31 rechts-wissenschaftlichen Kategorien.
• Korrelationen und Eigenwertanalysen der 42 wissenschaftlichen Kategorien.

    Zu meiner Verblüffung ergaben sich bei allen Analysen Generalfaktormodelle - bei echten empirischen Daten! Davon hatte ich zu Beginn und während der Untersuchung keine Ahnung und hatte an eine solche Auswertung gar nicht gedacht. Obwohl man sich solche Ergebnisse natürlich wünscht, traue ich den Ergebnissen noch nicht so recht und bin gespannt, was das zweite Kontingent und die Gesamauswertung ergibt. Das wird, wenn keine größeren anderen Aufgaben oder Störungen dazwischen kommen, in ca. einem Jahr der Fall sein, also September 2020. Ich vermute nach ersten Teilsichtungen und Auswertungen, dass das zweite Kontingent höhere Rohwerte liefern wird.

• Tabelle der Eigenwerte.
• ABC-Eigenwertanalyse.

Abstract: "Realibilität und Stabilität in der Messung psychologischer states: Eine Illustration mit Maßen der Angst
Zur Untersuchung des Stellenwerts der Unterscheidung zwischen Reliabilitäts- und Stabilitätskonzepten wurden die Antworten von 42 Vpn auf zwei parallele Skalen der Angst als state untersucht. Beide Formen wurden viermal erhoben. Mit Hilfe einer konfirmatorischen Faktoranalyse wurden gesondert Schätzungen der Reliabilität des Meßinstruments und der Stabilität des Angstkonstrukts vorgenommen. Die Befunde sprechen deutlich für den Nutzen der Unterscheidung zwischen den psychometrischen Eigenschaften der Tests und den Eigenschaften der psychologischen Prozesse, wenn Meßinstrumente konstruiert und evaluiert, und wenn Konzepte untersucht werden sollen."

    Man wird erwarten, dass hohe Reliabilitäten oder Stabilitäten sich in hohen Korrelationskoeffizienten ausdrücken. Das ist bei den vorgelegten Daten auch tatsächlich sehr deutlich der Fall:
Ergebnistabelle

Lesebeispiele und Deutungen: Zwischen den Paralleltests (1-2, 3-4, 5-6, 7-8) gibt es sehr hohe Korrelationen (0.91, 0.93, 0.96, 0.95), zwischen den verschiedenen Erhebungszeitpunkten nur geringe, keine oder sogar gering negative.
   Die Eigenwertanalyse (EWA) der Korrelationsmatrix zeigt mit vier sehr kleinen Eigenwerten überdeutlich vier Fast-Kollinearitäten, d.h. vier fast-lineare Abhängigkeiten (eine perfekte lineare Abhängigkeit wird von einem Eigenwert = 0 angezeigt, was praktisch empirisch meist nicht zu erwarten ist). Faktorenanalytisch nach Hauptkomponenten interpretiert heißt das, es gibt vier Faktoren, die die vier verschiedenen Angstzustände an diesen vier verschiedenen Zeitpunkten repräsentieren. Die vier Zeitpunkte erklären 97,10% der Varianz der Korrelationsmatrix.
   Die Reliabilität ist zumindest für psychologische Verhältnisse bei annähernd gleichem Zeitraum einigermaßen befriedigend, die Stabilität zwischen den Zeiten ist gering. D.h. die Angst kann reliabel "gemessen" werden, die Stabilität der Angst in dieser Stichprobe ist gering, d.h. es handelt sich vermutlich um keine (generalisierten) AngstpatientInnen; bei solchen würde man neben relativ hohen Reliabilitätskorrelationskoeffizienten auch relativ hohe Stabilitätskorrelationskoeffizienten erwarten.

Anmerkung: Die Daten zur konfirmatorischen Faktorenanalyse werden lediglich mitgeteilt, aber nicht nachvollziehbar dokumentiert.

Man darf sich als vom äußeren Erscheinungsbild einer Korrelationsmatrix nicht täuschen lassen. Weder sieht man ihr an, ob sie indefinit ist, also unzulässige negative Eigenwerte enthält, noch ob und wie viele (Fast-) Kollinearitäten vorliegen und wodurch diese bedingt sein können.
 

12-Variablen-Korrelationsmatrix, der man weder den Generalfaktor noch die (Fast-) Kollinaritäten ansieht

• Sponsel, Rudolf & Hain, Bernhard (1994). Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie.  Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology. Deutsch-Englisch. Ins Englische übersetzt von Agnes Mehl. Kapitel 6 von Dr. Bernhard Hain: Bemerkungen über Korrelationsmatrizen. Erlangen: IEC-Verlag [ISSN-0944-5072  ISBN 3-923389-03-5]. Aktueller Preis: www.iec-verlag.de.
• Sponsel, R. (2005). Fast- Kollinearität in Korrelationsmatrizen mit Eigenwert-Analysen erkennen. Ergänzungsband - Band II zu Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Erlangen: IEC-Verlag.

Fast-Kollinearitäts- über Eigenwertanalysen

• Unterbringungsentwicklung 1995-2009 in Deutschland mit Wachstumsraten, Eigenwert- und Hauptkomponenten-Faktorenanalyse (11.1.14)
• Eigenwert-Analysen der Korrelations-Matrizen zu den Mindestanforderungen für Prognosegutachten des Nürnberger, Bayreuther, Berliner und Ulmer Mollath Gutachters  (20.5.13)
• Fast-Kollinearitätsanalyse einer Emotions- & Persönlichkeitsmatrix nach Becker.
• Kollinearitäts- und Faktorenanalysestudie einer Korrelationsmatrix von Wegge et al. 2012, Report Psychologie, 37,9, S. 352.
• Eigenwertanalyse Geldumlauf, Produktion und Preise Deutschland 1950-1970.
• Fast- Kollinearität in Korrelationsmatrizen mit Eigenwert-Analysen erkennen
• Überblicks- und Verteilerseite: Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie - Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology -   Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie.
• Zum Konzept der Relationentreue.

Multivariate Links

• Einführung und Überblick. Kritik der Handhabung der Faktorenanalyse, Kommunalität.
• Korrelation. Was bedeutet der lineare Korrelationskoeffizient? Probleme, Kurioses, Paradoxes, Ungereimtheiten und Widersprüchliches in der Korrelationsrechnung und wie man dem begegnen kann,  Partielle Korrelation.
• Bedeutung der Eigenwerte einer Korrelationsmatrix.
• Pseudo-Korrelationsmatrizen.
• Vollständig Partielle Korrelationsmatrix nicht notwendig positiv definit. Der Beweis von Dr. Bernhard Hain (1994).
• Systematische Veränderungs-Paradoxie beim linearen Produkt- Moment- Korrelationskoeffizienten und Effekten von Lernen, Üben, Vergessen, Entwicklung, Fortschritt, Rückschritt und ganz allgemein bei systematischen Veränderungen relativ konstanter Zunahmen oder Abnahmen.
• Übersicht Eigenwertstrukturen für Generalfaktormodelle für n = 3, 4, ... , 50.
• Generalfaktormodelle in Intelligenz-Tests an der Eigenwertstruktur erkennen. (hier untersucht: AID, BIS, HAWIE, IST70 und LPS)
• Beweis und beweisen in Wissenschaft und Leben.
• Überblick Arbeiten zur Theorie, Definitionslehre, Methodologie, Meßproblematik, Statistik und Wissenschaftstheorie besonders in Psychologie, Psychotherapie und Psychotherapieforschung.