Im Zuge dieser Arbeit wurden auch einige grundsätzlichen Fragen zur Hauptkomponenten-Faktorenanalyse untersucht. Die neuen Erkenntnisse zum Interpretationsproblem werden aus Umfangsgründen in Kürze auf einer eigenen Seite präsentiert werden. Hier nur einige Kurzhinweise:

• Es wurde ein Berechnungsvorschlag für bedeutsame Ladungen in Abhängigkeit von der Ordnung der Matrix gemacht.
• Es wurde das Ladungsmuster für ein Reines Generalfaktormodell entwickelt.
• Auf einige Probleme (Modellannahmen, Rotation, Vorzeichen) wurde hingewiesen.

    Daten-Quelle1 und Daten-Quelle2.

Valdes-Stauber et al. (2012) führen zu den von ihnen erfassten Unterbringungen aus (S. 269):
"Unterbringungsregelungen auf Bundes- und Länderebene
In Deutschland erfolgen rechtliche Unterbringungen sowohl öffentlich-rechtlich (PsychKG/UG) als auch im Rahmen des Bürgerlichen Gesetzbuches (BGB) und des Strafgesetzbuchs (StGB). Somit regeln verschiedene Rechtsfiguren die Unterbringungsmaßnahmen:

• Das Gesetz über Angelegenheiten der Freiwilligen Gerichtsbarkeit (FGG) regelt formal die zivilrechtlichen Unterbringungsverfahren. Seit 2009 ist es im FamFG integriert.
• Unterbringung auf Antrag eines Betreuers im Rahmen des Betreuungsgesetzes (BtG) – welches im BGB integriert ist – nach §1906, Abs. 1 – 2 BGB. Das BtG besteht als sogenanntes Paragrafengesetz seit 1992.
• Unterbringung des Betreuten durch das Gericht als sofortige Maßnahme nach §1846 BGB.
• Unterbringungsähnliche Maßnahmen bei Restriktion der freien Beweglichkeit (vor allem durch mechanische Fixierung oder Anbringen von Bettgittern) nach §1906, Abs. 4 BGB. Das gesundheitliche Wohl des Betreuten steht dabei im Vordergrund.
• Öffentlich-rechtliche Unterbringung im Rahmen der landeseigenen Psychisch-Kranken-Gesetze bzw. Unterbringungsgesetze (PsychKG/UG), bei welchen die öffentliche Sicherheit neben der Behandlungsbedürftigkeit im Vordergrund steht. Darunter fällt die sog. „fürsorgliche Zurückhaltung“. Diese Unterbringungen stehen in Verbindung mit FGG 70, Abs. 1 Nr. 3 (jetzt FamFG §312 Nr. 3).
• Forensische Unterbringungen nach dem Strafgesetzbuch (StGB), wenn Straffälligkeit in Verbindung mit Suchterkrankungen (§64 StGB) oder psychischen Krankheiten (§63 StGB) steht und weitere Gefahr der Straffälligkeit besteht. Auch hier sieht das Gesetz die Möglichkeit einer sofortigen Unterbringung nach §126a StGB. Forensische Unterbringungen werden in der vorliegenden Untersuchung nicht berücksichtigt."

Neue Erkenntnisse zum Interpretationsproblem
Bei kritischer Betrachtung habe ich große Zweifel, ob man Hauptkomponenten-Faktoren aufgrund der Hauptkomponentenanalyse - und noch viel mehr die numerologisch anmutenden faktorenanalytischen Verarbeitungen (Rotationen, Kommunalitäten) - überhaupt vernünftig begründet interpretieren kann, weil es nicht möglich ist, den Eigenwerten Variablen zuzuordnen. Auch wenn man eine Korrelationsmatrix umstrukturierte, erhielte man die gleichen Eigenwerte, aber es können sich bei Vertauschen der Zeilen und Spalten (Permutation) der Korrelationsmatrix ihre Vorzeichen, teilweise sehr drastisch umkehren oder verändern. Das ist insofern fatal, weil die Ladungen ja als Korrelationen der Variablen mit den Hauptkomponentenfaktoren interpretiert werden. Solche dürfen natürlich nicht einfach ihr Vorzeichen ändern, nur weil die Variablen anders angeordnet wurden, weil das Vorzeichen die grundlegend wichtige Richtung der Korrelation (gleichsinnig oder gegensinnig) anzeigt. Die Faktorenanalytiker "lösen" dieses grundlegende mathematische Problem durch wegschauen, Achselzucken oder bagatellisieren. Für die Varianzen, also die Ladungsquadrate spielt das keine Rolle, weil die immer positiv sind. Die mathematische Prozedur ist die einer absteigenden  Varianzmaximierung. Zunächst wird der erste Eigenwert, der der maximalen Varianz entspricht, gesucht. Dann der zweite, der dritte usw. Damit ist bereits durch die mathematische Prozedur klar, dass der "erste" (o.B.d.A) Faktor gute Aussichten hat, ein "Generalfaktor" zu sein. In der Hauptkomponentenspalte stehen die Ladungen, die Korrelationen der Variablen mit den Hauptkomponenten. Die Quadrate der Ladungen sind der Varianzanteil der Variablen an der Hauptkomponente. Man kann die Ladungsmatrix spalten- oder zeilenweise lesen. In den Spalten finden sich die Varianzanteile  - wenn man die Ladungen quadriert - der Variablen für den jeweiligen Faktor (Hauptkomponente). In den Zeilen sieht man die Varianzanteile der jeweiligen Variable an den Faktoren (Hauptkomponenten):

Die interessanteste Interpretationsfrage ist natürlich: Kann man aus diesem Unterbringungs-Faktorenladungsmuster auf die drei Unterbringungsarten schließen? Dazu brauchen wir als erstes eine Regel, ab welcher Ausprägung Faktorenladungen als bedeutsam angesehen werden können, dürfen, sollen (siehe bitte hier)? Bei einer Matrix der Ordnung 9 ergibt sich SQRT(1:9) = 0.3333 als Kriterium. Damit gibt es drei bedeutsame Faktoren, wovon der erste allerdings überdominant ist mit 81,68% der Varianz, F2 mit 10,42% und F3 mit schon fast zu vernachlässigenden 5,8%. Eine solche Verteilung würde man theoretisch für die drei Unterbringungsarten sicher nicht erwarten, eher ungefähr gleichgewichtig. Aber die mathematische Prozedur der absteigenden Varianzmaximierung führt in den meisten Fällen dazu, dass der erste Faktor ziemlich aufgebläht erscheint. Formal gibt es zwar drei Faktoren, die in diesem Kontext eine gewisse Suggestibilität für die Interpretation der drei Unterbringungsarten nahelegen, aber das geben die Daten bei genauer Betrachtung nicht her. In jedem Faktor sind alle Unterbringungsvariablen vertreten, am stärksten im ersten, so dass die beste Deutung Generalfaktor Unterbringungsentwicklung ist. .

Ergebnis Hauptkomponenten-Interpretation Aus der Unterbringungs-Faktorenladungsmatrix ergibt sich ein Generalfaktor Unterbringungsentwicklung nach der Zeit, der die Daten weitgehend erklärt. Dieser Generalfaktor Unterbringungsentwicklung nach der Zeit dürfte den Wachstumsprozess in den Zeitreihen zum Kern haben.

• Sponsel, Rudolf & Hain, Bernhard (1994). Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie.  Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology. Deutsch-Englisch. Ins Englische übersetzt von Agnes Mehl. Kapitel 6 von Dr. Bernhard Hain: Bemerkungen über Korrelationsmatrizen. Erlangen: IEC-Verlag [ISSN-0944-5072  ISBN 3-923389-03-5]. Aktueller Preis: www.iec-verlag.de.
• Sponsel, R. (2005). Fast- Kollinearität in Korrelationsmatrizen mit Eigenwert-Analysen erkennen. Ergänzungsband - Band II zu Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Erlangen: IEC-Verlag.
• Statistisches Bundesamt (2012) Rechtspflege. Strafvollzug - Demographische und kriminologische Merkmale der Strafgefangenen zum Stichtag 31.3.2012. Fachserie 10 Reihe 4.1. Tabelle  6  Im psychiatrischen Krankenhaus und in der Entziehungsanstalt aufgrund strafrichterlicher Anordnung Untergebrachte am 31.3. nach Alter und Familienstand. [Quelle2]
• Überla, Karl (1971) Faktorenanalyse. Berlin: Springer.
• Valdes-Stauber,J.; Deinert,H. & Kilian, R. (2012) Deutsche unterbringungsrechtliche Praxis auf Bundes- und Länderebene nach Einführung des Betreuungsgesetzes (1992 – 2009). Fortschr Neurol Psychiat 2012; 80: 267–275. Tab. 1 Unterbringungsraten und -quoten je 10000 Einwohner bundesweit (1992 – 2009), S. 271. [Quelle1]

Fast-Kollinearitäts- über Eigenwertanalysen

• Fast-Kollinearitätsanalyse einer Emotions- & Persönlichkeitsmatrix nach Becker.
• Kollinearitäts- und Faktorenanalysestudie einer Korrelationsmatrix von Wegge et al. 2012, Report Psychologie, 37,9, S. 352.
• Eigenwertanalyse Geldumlauf, Produktion und Preise Deutschland 1950-1970.
• Fast- Kollinearität in Korrelationsmatrizen mit Eigenwert-Analysen erkennen
• Überblicks- und Verteilerseite: Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie - Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology -   Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie.
• Zum Konzept der Relationentreue.

Multivariate Links

• Einführung und Überblick. Kritik der Handhabung der Faktorenanalyse, Kommunalität.
• Korrelation. Was bedeutet der lineare Korrelationskoeffizient? Probleme, Kurioses, Paradoxes, Ungereimtheiten und Widersprüchliches in der Korrelationsrechnung und wie man dem begegnen kann,  Partielle Korrelation.
• Bedeutung der Eigenwerte einer Korrelationsmatrix.
• Pseudo-Korrelationsmatrizen.
• Vollständig Partielle Korrelationsmatrix nicht notwendig positiv definit. Der Beweis von Dr. Bernhard Hain (1994).
• Systematische Veränderungs-Paradoxie beim linearen Produkt- Moment- Korrelationskoeffizienten und Effekten von Lernen, Üben, Vergessen, Entwicklung, Fortschritt, Rückschritt und ganz allgemein bei systematischen Veränderungen relativ konstanter Zunahmen oder Abnahmen.
• Übersicht Eigenwertstrukturen für Generalfaktormodelle für n = 3, 4, ... , 50.
• Generalfaktormodelle in Intelligenz-Tests an der Eigenwertstruktur erkennen. (hier untersucht: AID, BIS, HAWIE, IST70 und LPS)
• Beweis und beweisen in Wissenschaft und Leben.
• Überblick Arbeiten zur Theorie, Definitionslehre, Methodologie, Meßproblematik, Statistik und Wissenschaftstheorie besonders in Psychologie, Psychotherapie und Psychotherapieforschung.

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einheitswissenschaftliche Sicht. Ich vertrete neben den Ideen des Operationalismus, der Logischen Propädeutik und einem gemäßigten Konstruktivismus auch die ursprüngliche einheitswissenschaftliche Idee des Wiener Kreises, auch wenn sein Projekt als vorläufig gescheitert angesehen wird und ich mich selbst nicht als 'Jünger' betrachte. Ich meine dennoch und diesbezüglich im Ein- klang mit dem Wiener Kreis, daß es letztlich und im Grunde nur eine Wissenschaftlichkeit gibt, gleichgültig, welcher spezifischen Fachwissenschaft man angehört. Wissenschaftliches Arbeiten folgt einer einheitlichen und für alle Wissenschaften typischen Struktur, angelehnt an die allgemeine formale Beweisstruktur.     Schulte, Joachim & McGuinness, Brian (1992, Hrsg.). Einheitswissenschaft - Das positive Paradigma des Logischen Empirismus. Frankfurt aM: Suhrkamp.    Geier, Manfred (1992). Der Wiener Kreis. Reinbek: Rowohlt (romono). Kamlah, W. & Lorenzen, P. (1967). Logische Propädeutik. Mannheim: BI.

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Generalfaktor
Von einem Generalfaktor kann man sprechen, wenn ein "großer" dominanter Eigenwert hervorsticht (Beispiel Lernfaktor hier). Im reinen Idealfall lädt ein solcher Generalfaktor der einzige interpretationsrelevante Faktor (graphische Veranschaulichung hier). Im m.E. missverständlich bezeichneten Bifactor-Modell von Holzinger (1937) ist das aber nicht so. Holzinger spricht von einem Generalfaktor, wenn ein Faktor (eine Spalte) auf allen Variablen (also in allen Zeilen) in einer Faktorenladungsmatrix "hoch" lädt, also hohe Werte hat (wobei ich auf die kritische Vorzeichenfrage hier nicht weiter eingehe). Diese Forderung ist in der Unterbringungs- Faktorenladungsmatrix (F = V * sqr(D)) der Fall. Und so wird es in der faktorenanalytischen Literatur überwiegend gesehen, so z.B. auch von Überla (1971), S. 55:

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Reines Generalfaktormodell (RGFM)

Modell  mit 5 Variablen in Zahlen:

Wie man sieht, lädt in dieser Konstruktion ein General- faktor sehr hoch auf allen 5 Variablen, während die restlichen allesamt nahe bei 0 sind. Die Eigenwertsumme ist 5, und der Generalfaktor hat hier einen Anteil von 4.765, das sind 95,3% von 5.

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Modellproblematik: orthogonale und oblique Faktorenmodelle
Die meisten Faktorenanalysen gehen von einem sog. Orthogonalitätsmodell aus, ohne das näher zu begründen. Das heißt die Achsen der Faktoren stehen wechselseitig senkrecht aufeinander, was voneinander unabhängig bedeutet. Unterlegt man Daten ein orthogonales Modell, dann kommen natürlich auch orthogonale Ergebnisse heraus. Ist man sich kritisch bewusst, dass die Ergebnisse etwas mit dem unterlegten Modell zu tun haben und kann man das auch noch begründen, ist es gut. Im Falle der Unterbringungen kann man dies begründen, weil man zivilrechtliche, öffentlich-rechtliche und strafrechtliche Unterbringung grundsätzlich als voneinander unabhängig ansehen kann, auch wenn es offensichtlich so etwas wie einen zunehmenden Trend gibt. Daran kann man im Prinzip schön sehen, dass hohe Korrelationen keinesweg einen kausalen Zusammenhang bedeuten.
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Rotationsproblematik
Rein mathematisch gibt es zu jeder Faktorenladungsmatrix potentiell unendlich viele gleichwertige Faktorenladungsmatrizen mit den gleichen Eigenwerten und der gleichen dazugehörigen und reproduzierbaren Korrelationsmatrix. Man kann also so lange mit Rotationen spielen, bis man eine Konfiguration gefunden hat, die dem eigenen Forschungsinteresse entspricht. Das publiziert man dann. Das hat mit Wissenschaft wenig, aber mit numerologischer Esoterik viel zu tun und scheint eher dem Niveau von Astrologie zu entsprechen.
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Vorzeichenproblematik bei den Faktorenladungen > Zur Bedeutung und Interpretation der Faktorenladungen.
Wenn die Faktorenladungen die Korrelation des hypothetischen Faktors mit den Variablen bedeuten, dann ist das Vorzeichen natürlich von grundlegender Bedeutung (> Relationentreue) und kann nicht einfach ignoriert oder gar einfach ausgetauscht werden, wie es in der Faktorenanalyse gang und gäbe ist.
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Missing Data
Berechnet man Korrelationen - mathematisch unzulässig - aufgrund unterschiedlicher Stichprobenumfänge der Spalten, können massive negative Eigenwerte entstehen, die multivariate Kennwerte völlig zum Entgleisen bringen können.
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Berechnungsvorschlag für bedeutsame Ladungen in Abhängigkeit von der Ordnung der Matrix
Insgesamt haben wir eine Varianz von 9, die man bei 9 Variablen und 9 Faktoren auf 81 Felder verteilen kann. Bei Gleichverteilung der Werte ergibt sich folgende Ladungsmatrix:
 

Gleichverteilung der Ladungen heißt nichts anderes, als dass in jeder Zelle der gleiche Wert vorkommt, der, quadriert und aufsummiert, in jeder Zeile und Spalte den Wert 1 ergibt. Die Unterbringungsmatrizen haben hier die Ordnung 9, so dass die Spur, die Summe der Eigenwerte 9 ergibt. Man findet den Zellenwert für die Gleichverteilung, indem man 1 durch 9 teilt und daraus die Wurzel zieht, das ergibt hier gerundet 0.3333.  Wir können also mit dieser Argumentation begründen, dass wir jede Ladung > 0.3333 als bedeutsam bewerten (Fehler unberücksichtigt).

Paradoxe Anmerkung: Errechnet man aus gleichverteilten Ladungsmatrizen die zugehörige Korrelationmatrix, was sehr einfach geht, indem man die vollständige Ladungsmatrix mit ihrer Transponierten multipliziert, ergibt sich eine maximale positive Korrelationsmatrix mit nur 1en in jeder Zelle.
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