Schreibweise: Eine Produkt-Moment-Korrelation zwischen zwei Variablen bezeichnen wir mit dem kleinen Buchstaben r. Die ersten beiden Indices ij links vom Punkt "ij.z,...,z " kennzeichnen, zwischen welchen Variablen die Korrelation gilt. Die Indices rechts vom Punkt "ij.z,...,z" geben an, welche der Variablen in der Betrachtung auspartialisiert worden sind.

Tücken und Fallen partieller Korrelationsrechnungen
 

Rechen-Beispiel zur Anderson Warnung

Wir nehmen Spalte 1=x und 2=y aus dem Basisversuch Quader q00 und bilden z = x - y, N=100.
 

x   y   z  1  94  -93  2  65  -63  3  19  -16  4  70  -66  5  85  -80  6  97  -91  7  46  -39  8  19  -11  9  13   -4 10  58  -48 11  13   -2 12   1   11 13  41  -28 14  32  -18 15  82  -67 16  19   -3 17  97  -80 18  72  -54 19  87  -68 20  79  -59

x   y    z 21  54  -33 22  82  -60 23  40  -17 24  74  -50 25  79  -54 26  80  -54 27  46  -19 28  53  -25 29  32   -3 30  36   -6 31  78  -47 32  64  -32 33  44  -11 34  60  -26 35   6   29 36  58  -22 37  92  -55 38  16   22 39  72  -33 40  67  -27

x   y   z 41  52  -11 42  34    8 43  15   28 44  76  -32 45  95  -50 46  98  -52 47  75  -28 48  25   23 49  47    2 50  91  -41 51  84  -33 52  49    3 53  92  -39 54  43   11 55  96  -41 56  87  -31 57  64   -7 58  98  -40 59  90  -31 60   9   51

x   y   z 61  36  25 62  55   7 63  83 -20 64  60   4 65  54  11 66  36  30 67  13  54 68  78 -10 69  80 -11 70  46  24 71  38  33 72   4  68 73  52  21 74  61  13 75  82  -7 76   7  69 77  79  -2 78  12  66 79  40  39 80  51  29

x   y   z 81   4  77 82  56  26 83  79   4 84  75   9 85   3  82 86  72  14 87  96  -9 88  31  57 89  65  24 90  42  48 91  54  37 92   9  83 93  53  40 94  24  70 95  47  48 96   1  95 97  97   0 98  92   6 99  27  72 100 47  53

Dies führt zu der Korrelationsmatrix:    x    y    z x  1 -.097  .744 y       1  -.737 z            1  und in der Tat: Die Korrelation zwischen x und y wird nach Auspar- tialisierung von z rxy.z = .999, also 1, wenn man sich die Rundungs- fehler weg denkt, wie Anderson ausgeführt hat.

Korrelationskoeffizienten von File C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\KK\ODOD\QXYZ.K03
in File C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\KK\ODOD\QXYZ.PKA
11/23/02 23:51:54. Korrelationen der  3 Items in Promille:
     2     3
    -97   744     1
         -737     2

Mit * gekennzeichnete Zeilen in folgenden Tabellen =
Differenz zwischen Korrelation und partieller Korrelation

Partielle Korrelationen unter Ausschluß des Einflusses der Items  1 in Promille:
     3
    263    *
  -1000     2

Partielle Korrelationen unter Ausschluß des Einflusses der Items  2 in Promille:
     3
   -256    *
   1000     1

Partielle Korrelationen unter Ausschluß des Einflusses der Items  3 in Promille:
     2
  -1096    *
    999     1

Ergebnis Rechenbeispiel zu Anderson:
 

Man muß der Argumentation Andersons zwingend entnehmen, daß der Eigenwertanalyse auf lineare Abhängigkeiten, also dem Suchen nach Eigenwerten 'nahe' 0, größte Bedeutung zukommt, weil bei multivariater Weiterverarbeitung sonst möglicherweise formal nicht zu beanstandende aber inhaltlich unsinnige Ergebnisse entstehen können, wie obiges Beispiel eindringlich deutlich macht.

Weiteres Beispiel: Vollständige Partielle Korrelation der Partition 7,11,14 und 16 beim beim Extraversionsfragebogen, die zu einer indefiniten Matrizen führt.

Wichtige Anwendungen partieller Korrelation in der Psychologie

Entwicklungspsychologie:
Hier spielt oft das Alter eine wichtige Rolle, das die Korrelation zwischen zwei Variablen verfälschen kann. Möchte man also den echten Zusammenhang unabhängig vom Alter zwischen zwei entwicklungspsychologischen Variablen i und j wissen, partialisiert man den korrelativen Einfluß des Alters aus. Beispiel nach Guilford (1950, p. 346):

Beispiel Alter, Blutdruck und Cholesterin nach Sachs, L. (1984, 6.A., S. 353)

 

Paradoxien: Storchennester und Geburtenrate:
Paradoxien wie der ("schein") korrelative Zusammenhang zwischen der Anzahl der Storchennester und der Geburtenrate lassen sich mit partieller Korrelationsanalyse ebenfalls aufklären. Tatsächlich stellt sich heraus, daß die vermittelnde Variable die Industrialisierung ist. Partialisiert man also die Variable Industrialisierung aus, verschwindet der Zusammenhang. Nachdem die Links immer sehr schnell aus dem Netz verschwanden, habe ich ein eigenes Beispiel konstruiert:
 

Die positive Definitheit der vollständigen Partia- lisierungsmatrix ist nicht notwendig, wie Hain ((1994, Kap. VI, S. 38 ff) gezeigt hat. Hier ist sie aber gegeben, wie ein Blick auf die Eigenwerte zeigt, wenn auch die Korrelationsmatrix aus nur einem Generalfaktor "Industriealisierung" besteht. Das ist hier demonstrativ gewollt und geglückt. Dieser einzige und damit Generalfaktor ver- schwindet und macht einem Bifactormodell Platz, wenn man vollständig auspartialisiert, dann gibt es nur noch eine Fast-Kollinearität. Welches Faktor- modell stimmt nun? Beide, wenn man die Be- deutungen der Korrelationen berücksichtigt. Denn beide Korrelationsmatrizen repräsentieren eben  Unterschiedliches: Korrelationen und partielle Korrelationen.

Anmerkung: Sachs (1984, S. 307) bemerkt zu Recht: "Der Ausdruck 'Scheinkorrelation' ist für diese Zusammenhänge üblich, er ist jedoch besser zu verrmeiden, da ja auch eine Scheinkorrelation zwischen zwei Prozentzahlen nicht Schein, sondern für die betrachteten Variablen Tatsache ist."

Partielle Korrelationsanalyse Omikron% und Inzidenz.

Kombinatorik: Anzahl aller m Auspartialisierungsmöglichkeiten bei N Variablen bzw. Korrelationskoeffizienten

Zählt man kombinatorisch aus ergeben sich beispielsweise für:

Ergebnis zu Anzahl und Wachstum der Auspartialisierungsmöglichkeiten und damit der relevanten Korrelationskoeffizienten im Untersuchungsraum:
 

Die Anzahl der Partialisierungen wächst sogar etwas schneller und stärker als das berühmte Reiskornbeispiel auf dem Schachbrett. Bereits bei einer relativ kleinen Korrelationsmatrix der Ordnung 20 gibt es 1 Million, 48 Tausend und 554 verschiedene Partialisierungen. Bei einer Ordnung N=100 sind es dann 1,26765 * 10^30 Möglichkeiten. Dies alles spricht für das Ökonomieprinzip der Wissenschaft: mit so wenig wie möglich relevanten Variablen versuchen auszukommen. Je weniger Grundgrößen, Parameter oder Variablen es gibt, desto leichter und überschaubarer können die Beziehungen untersucht werden.

Schlußfolgerung
 

Aus der Kombinatorik der Partialiserungs- Möglichkeiten folgt: Aus Korrelationen ohne systematischen und inhaltlichen Systembezug des relevanten Variablenraumes kann überhaupt nichts Zuverlässiges gefolgert werden [1]. Formale Korrelationsrechnungen und auf sie aufgebaute multivariate Analysen sind im Grunde nicht selten nur numerologische Rituale vom Typ Astrologie oder Tarot  - allerdings meist gut szientistisch verkleidet und getarnt.

https://www.uni-karlsruhe.de/~humangeographie/ergaenzung/storch.pdf
https://www.soziologie.uni-freiburg.de/multimedia/kurse/methoden%204%20ss%202002/ms4teil3.pdf
https://mspcdip.mathematik.uni-karlsruhe.de/german/personen/klar/biopraktikum_unterl_ps.ps