Systematische Veränderungs-Paradoxie2
beim linearen Produkt-Moment-Korrelationskoeffizienten
und Effekten von Lernen, Üben, Vergessen, Entwicklung, Fortschritt,
Rückschritt und ganz allgemein bei systematischen Veränderungen
relativ konstanter Zunahmen oder Abnahmen
Reihe: Was bedeutet der lineare Korrelationskoeffizient? Kurioses, Paradoxes, Ungereimtheiten und Widersprüchliches in der Korrelationsrechnung und wie man dem begegnen kann
von Rudolf Sponsel, Erlangen
Der Korrelationskoeffizient ist invariant gegenüber linearen Rohwert-Transformationen.
Das ist für manche Zwecke sehr nützlich und wertvoll, für
die Korrelation als Reliabilitätsmass aber katastrophal, was die "klassischen"
psychologischen Testtheoretiker aber nicht zu stören scheint. Es bedeutet
nämlich, dass alle linearen Transformationen der Rohwertdaten die
Korrelation nicht verändern. Praktisch heisst das, dass lineare
generell (auch negative [vergessen]) Wachstumseffekte
die Reliabilität, obwohl sich die Werte sehr dramatisch verändern können, maximieren können. Das folgende Beispiel ist offensichtlich und demonstriert das Prinzip.
Example 3_E01 model linear increasing effect: r(M1-M2)= 1
M1: 4 7 16 9 15 16 8 11
10 17 7 8 10 16 13 14 3
7 6 3
M2: 7 10 19 12 18 19 11 14 13
20 10 11 13 19 16 17 6 10 9 6
Mittelwert Varianz
Standard AW
M1
10
19.7 4.44
M2
13
19.7 4.44
Nicht mehr ganz so offensichtlich, aber dasselbe Prinzip wirkt in dem Beispiel:
Example 3_E02 model linear increasing effect: r(M1-M2)= 1
M1 =: Zufallszahl -> Basis 10 + RANDOM (0...9)
M2 =: M1/25 + M1/2 + 3.33
Mittelwert Varianz
Standard AW
M1
13.85 8.13
2.85
M2
10.81 2.37
1.54
M1: 17 12
11 11 12 14
19 12 18 15
...
M2: 12.51 9.81 9.27 9.27
9.81 10.89 13.59 9.81 13.05 11.43 ...
M1: 15 14
11 11 10 16
10 19 15 15
M2: 11.43 10.89 9.27 9.27
8.73 11.97 8.73 13.59 11.43 11.43
Stellt man sich weiter vor, dass die Linearität noch ein bisschen durch zufälliges "Rauschen" "versteckt" wird, verschwindet die perfekte Korrelation und die Kollinearität wird zur Fast-Kollinearität:
Example 3_E03 model linear increasing effect: r(M1-M2)= .9646
M1 =: Zufallszahl
-> Basis 10 + RANDOM(0...11)
M2 =: Ganzzahlig
abgerundet (M1/25 + M1/2 + 3.33 +- Rauschen(0..1))
(+ Rauschen wenn gerade, - Rauschen wenn ungerade)
M1: 13 12 16 17 21 12 21 20 19 11 21 21 21 16 19 20 11 12
10 18
M2: 9 10 11 13 14 10 13 14 13 9 14 14 14 12 13
14 8 9 7 13
Mittelwert Varianz
Standard AW
M1 16.55
15.85 3.98
M2 11.7
5.21 2.28
Folgerung: Die Reliabilität würde mit r=.9646 falsch geschätzt, der durch zufälliges Rauschen versteckte Wachstumseffekt nicht erkannt.