(ISSN 1430-6972)
IP-GIPT DAS=30.11.2006 Internet-Erstausgabe, letzte Änderung: 19.01.20
Impressum: Diplom-PsychologInnen Irmgard Rathsmann-Sponsel und Dr. phil. Rudolf Sponsel
Stubenlohstr. 20 D-91052 Erlangen * Mail: sekretariat@sgipt.org_Zitierung & Copyright
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Pseudo-Korrelationsmatrizen
von Rudolf Sponsel, Erlangen
Abstract - Zusammenfassung
- Summary
Die Kennzeichen einer korrekt gebildeten Bravais-Pearson Korrelationsmatrix
sind:
- die Matrix ist symmetrisch (und damit quadratisch)
- die Hauptdiagonale enthält nur 1
- für alle Koeffizienten r außerhalb der Hauptdiagonalen gilt: -1 <= r <= 1.
- die Matrix ist positiv-semi definit, d.h. alle Eigenwerte >= 0.
Es werden auf dieser Seite eine Reihe von Pseudo-Korrelationsmatrizen vorgestellt, die allesamt hochpathologisch, also (semi) indefinit sind, was man ihnen äußerlich aber nicht ansieht. Ziel der Arbeit ist es, kritische Sensibilität für den Sachverhalt zu fördern, ob eine scheinbare - phänotypische - Korrelationsmatrix auch wirklich eine richtige - genotypische - ist. Dies kann man nur feststellen, wenn man in die Korrelationsmatrix "hineinschaut", d.h. ihre Eigenwerte betrachtet. Methode: Aus vorgegebenen Eigenwerten werden mit Hilfe eines von einem befreundeten Mathematiker entwickelten Programms, das interaktives Probieren zulässt und erfordert, die Pseudo-Korrelationsmatrizen konstruiert und gefunden.
Zwei Beispiele einer indefiniten Pseudo-Korrelationsmatrix Ordnung 6 mit einem Eigenwert -2.25.
Obwohl die Matrix der Ordnung 6 ziemlich klein ist, gelingt es trotz des extrem großen negativen Eigenwertes von -2.25 in 30 Versuchen hier zwei Mal eine Pseudo-Korrelationsmatrix zu erzeugen.
Wer diese beiden Pseudo-Korrelationsmatrizen selbst untersuchen möchte,
kann sich die Koeffizienten mit 15stelliger Genauigkeit als Textfile (Werte
durch Tabulator) getrennt hier (pk64_28.txt)
herunterladen.
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Der Rundungseffekt auf vier Nachkommastellen ist für die kleine Matrix ziemlich deutlich. Der negative Eigenwert vermindert sich von -2.25 auf -2.2131, also um -0.0369, das macht in Prozenten ausgedrückt immerhin 1.64%. Es zeigt andererseits, in welcher Größenordnung sich Rundungseffekte hier bewegen. |
Drei Beispiele einer
indefiniten Pseudo-Korrelationsmatrix der Ordnung 6
Wie man sieht gelingt es, aus den Eigenwerten 3, 1.5, 1, 0.85, 0.65
und -1 Pseudo-Korrelationsmatrizen zu erzeugen. -1 ist dem Betrag nach
16, 67% der Spur (=6), also außergewöhnlich hoch und mit Rundungsfehlern
überhaupt nicht erklärbar. Auch solche hochpathologischen negativen
Eigenwerte sind demnach mit den ersten drei Kennzeichen einer Korrelationsmatrix
mathematisch gesehen möglich und verträglich,
d.h. diese Kriterien sind zwar notwendig, aber nicht
hinreichend zur exakten Definition einer Korrelationsmatrix. Durch
die Programm-Einstellungen sind die Hauptdiagonalelemente nur bis auf etwa
die 10 bis 11 Nachkommastelle genau. Bei insgesamt 60 Versuchen ergaben
sich beim ersten Durchgang mit n=30 Versuchen 0 Treffer, beim zweiten Durchgang
mit n=30 ergaben sich die hier dokumentierten drei Treffer. Setzt man die
Hauptdiagonalelemente glatt auf 1 und rechnet dann die Eigenwerte zurück,
wie in den zweiten drei Beispielen dokumentiert, so ändern sich die
Eigenwerte zwar sichtbar, aber natürlich nicht bedeutsam ab etwa dem
10. bzw. 11. Nachkommastellenbereich.
Wer diese sechs Pseudo-Korrelationsmatrizen selbst untersuchen möchte, kann sich die Koeffizienten mit 15stelliger Genauigkeit als Textfile (Werte durch Tabulator) getrennt hier (pkor6_3.txt) herunterladen.
Beispiel 1
und 2 einer semi indefiniten Pseudo-Korrelationsmatrix der Ordnung 12.
Die beiden ganz unterschiedlichen Pseudo-Korrelationsmatrizen, die
aus den gleichen Eigenwerten (1. Zeile) erzeugt wurden, sehen äußerlich
ganz interessant und "normal" aus. Sie enthalten in der Hauptdiagonale
den Wert 1, die Matrix ist symmetrisch und sämtliche Werte erfüllen
die Bedingung -1 <= r <= 1. Aber die vierte und grundlegende Bedingung
der positiven semi Definitheit ist massiv verletzt. Denn ein Eigenwert
mit -.8571428571 ist stark negativ. Und dieser stark negative Eigenwert
ist nicht durch Rundungsfehler erklärbar. Rundungsfehler machen sich
nur im späteren Nachkommastellenbereich bemerkbar. Hier ist also etwas
fundamental "faul". Und das genau sollte demonstriert werden. Die Matrix
enthält zudem drei Kollinearitäten, da 3 Eigenwerte 0 sind.
Wer diese beiden Pseudo-Korrelationsmatrizen selbst untersuchen möchte, kann sich die Koeffizienten mit 15stelliger Genauigkeit als Textfile (Werte durch Tabulator) getrennt hier (pkor1_2.txt) herunterladen.