Inhalt
Editorial.
Zusammenfassung-Numerische Therapie indefiniter Korrelations-Matrizen.
Numerische Therapie der indefiniten "Korrelationsmatrix" von Burt 1915.
   Die Ausgangsmatrix Burt  1915.
      Original Table I.
   I. Angewandte numerische Therapiemethoden und ihre Ergebnisse. * Methodenkürzel.* Gefühlskennungen.

CR Faktorisieren.
CRn Faktorisieren und die Hauptdiagonale auf 1 skalieren ("normalisieren").
CR0  Den negativen Eigenwert durch 0 ersetzen.
CR0n  Den negativen Eigenwert durch 0 ersetzen und die Hauptdiagonale auf 1 skalieren ("normalisieren").
CRs Die Eigenwerte durch die Singulärwerte ersetzen.
CRsn Die Eigenwerte durch die Singulärwerte ersetzen und die Hauptdiagonale auf 1 skalieren ("normalisieren").
CC Zentroidmethode.

Vergleichende vollständige partielle Matrix-Analysen der Originalmatrix mit den verschiedenen numerischen Therapievarianten. * Zusammenfassung.
Hauptkomponentenanalyse mit der Gefühlsmatrix CRn. * Zusammenfassung.
Partielle Korrelationen mit der numerisch therapierten Korrelationsmatrix CRn.
Zusammenfassung Partielle Analysen nach numerischen Therapiemethoden.
• R: Die Originalmatrix von Burt liefert bei den partiellen Korrelationen 7 Entgleisungen, 6 davon extrem.
• CR  Fakorisierungsmethode.
• CR0 Die Methode setzt den negativen Eigenwert von -0.0245 glatt 0.
• CR0n Wie CR0, aber mit Normalisierung der Hauptdiagonalen zu 1.
• CRn Hier werden die erhöhten Hauptdiagonalwerte der faktorisierten Matrix CR auf 1 normalisiert.
• CRs  Die Methode ersetzt die Eigenwerte durch die sämtlich positiven Singulärwerte.
• CRsn Normalisierung Hauptdiagonale der Singulärwert-Methode.
Vergleichstabelle Partielle Korrelationskoeffizienten 2 gegen den ganzen Rest.

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Zusammenfassung-Numerische Therapie indefiniter Korrelationsmatrizen

Z1 Eine indefinite Korrelationsmatrix hat irregulär mindestens einen negativen Eigenwert. Auch wenn dieser sehr klein ist, etwa erst bei der zweiten 0.0z .. oder dritten Nachkommastelle 0.00z ... oder noch weiter hinten aufscheint, kann er zu völlig entgleisten Ergebnissen bei multivariaten Verarbeitungen (partiellen, multiplen Korrelationskoeffizienten oder Faktorenladungen ("Heywoodfälle") z. B. > 1, 10, 20, 30, ... führen und jede vernünftige Interpretation unmöglich machen, falls die Programme überhaupt multivariate Verarbeitungen zulassen, wenn die Korrelationsmatrix ihre Positive-Semi-Definitheit (PSD) verloren hat und indefinit mit einem oder gar mehreren negativen Eigenwerten aufwartet (Matlab  weist eine indefinite Matrix zurück). Es ist daher wichtig, bevor man mit einer Korrelationsmatrix multivariate Verarbeitungen durchführt, zu prüfen, ob die Korrelationsmatrix überhaupt positiv semi definit ist, also alle Eigenwerte >= 0 sind. Das geht ganz einfach, indem man ihre Eigenwerte feststellt, was die meisten Statistikprogramme können.
    Das Thema spielt seit Veröffentlichung 1994 meines  ersten Bandes - zusammen mit dem Mathematiker Dr. B. Hain -  Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie wieder eine Rolle bei meinen Korrelationsmatrizenanalysen. Jüngst hat das Thema einen neuen Schub erhalten: Im Rahmen meiner Studien zur elementaren  Dimension Fühlen  bin ich bei Euler/Mandl (1983), S. 21 zufällig auf den Hinweis gestoßen, dass Burt 1915 eine Faktorenanalyse einer Korrelationsmatrix von 11 Gefühlen durchgeführt haben will. Das hat mich aus vier Gründen interessiert:  Faktorenanalyse, Korrelationsmatrix, Gefühle und der Name Burt, der mir dunkel als bekannter  Fälscher in der Psychologie  in Erinnerung war. Also suchte ich die Korrelationsmatrix der 11 Gefühle (Online), wurde fündig und rechnete sie nach. Die vermeintliche Korrelationsmatrix zeigt einen relativ großen negativen Eigenwert mit -.0245, der sich kaum mit Rundungsfehlern der zweistelligen Korrelationskoeffizientendarstellung erklären lässt. Das hat mich bewogen, mich noch einmal vertieft und verstärkt der Frage zu widmen, ob wie man eine solche indefinite Korrelationsmatrix heilen kann, damit multivariate Weiterverarbeitungen möglich sind und nicht von Prgrammen wie z.B. Matlab  zurückgewiesen werden. Diese Seite stellt sämtliche mir bekannten Methoden dar, wie man eine indefinite Korrelationsmatrix wieder positiv semi definit machen kann.

Z2 Dokumentation der Entgleisungen bei den partiellen Korrelationskoeffizienten der indefiniten Matrix von Burt 1915. Die Originalmatrix Burt 1915 mit einem negativen Eigenwert -0.0245 liefert bei den partiellen Korrelationen 7 Entgleisungen, 6 davon extrem, in der Spitze mit einem partiellen Korrelationskoeffizienten von 37! Sie ist damit für multivariate Analysen nicht zu gebrauchen.

Z3 Heilmethoden zur Wiederherstellung positiver Semidefinitheit. Es gibt im Wesentlichen zwei Wege: (1) die Ursachen für den Verlust der Semi-Positiven-Definitheit suchen, finden und beseitigen. (2) Falls (1) nicht möglich ist: Anwendung numerischer Therapiemethoden.

1. Ursachen für den Verlust der Semi-Positiven-Definitheit Die Ursachen, manchmal sehr schwierig oder sehr aufwändig oder gar unmöglich mangels Informationen, für den Verlust der positiven Semi Definitheit suchen, finden und beseitigen, z.B.
1. Wurden die Korrelationskoeffizienten mit unterschiedlichen Umfängen berechnet? Das ist eine theoretische Möglichkeit um Missing Data Lücken zu umgehen, was die numerische Mathematik gar nicht mag.
2. Kollinearitäten können durch zentrieren entstehen oder aufbereitet werden
3. Kollinearitäten können durch normieren entstehen oder aufbereitet werden
4. Kollinearitäten können durch runden entstehen, am sichersten rechnet man mit maximalen Genauigkeiten
5. Kollinearitäten können echt durch kollinearen Verlauf entstehen
6. Mehrere Variable können einen kollinearen Verlauf bedingen oder nach sich ziehen
7. bei fast kollinearen Verläufen genügen manchmal kleine Veränderungen zum Kippen
8. unsymmetrische oder indefinite Korrelationsmatrizen können imaginäre Werte bewirken.
9. Wurde mit Pearson oder mit anderen Formeln gerechnet?
10. Wurden "Attenuitätskorrektoren" durchgeführt?
11. Kritische Variable entfernen

1. Falls man die Ursachen nicht findet oder beseitigen kann: Anwendung numerischer Therapiemethoden:
1. Faktorisieren
2. Negativen Eigenwert durch 0 ersetzen
3. Eigenwerte durch Singulärwerte ersetzen
4. Zentroidmethode mit allen n Faktoren durchführen; hilft nicht immer (es kann auch zu "Verschlimmbesserungen" kommen), aber manchmal (Beispiel Drinkmann-Matrix).
Zusätzlich evtl. die über 1 erhöhten Diagonalwerte "normalisieren", also auf 1 skalieren:
1. Faktorisieren und nomalisieren, d.h. Hauptdiagonale auf 1 skalieren
2. Negativen Eigenwert durch 0 ersetzen und normalisieren, d.h. Hauptdiagonale auf 1 skalieren
3. Eigenwerte durch Singulärwerte ersetzen und normalisieren, d.h. Hauptdiagonale auf 1 skalieren

Es wurden die verschiedenen numerischen Therapiemethoden angewendet und ziemlich vollständig und nachvollziehbar dokumentiert. Ergebniskontrolle anhand der Eigenwerte siehe bitte Tabelle rechts. Es zeigte sich, dass die indefinite Gefühlsmatrix leicht geheilt werden kann, wodurch die nun positiv semi definite Korrelationsmatrix der 11 Gefühle sowohl multivariater Verarbeitung zugänglich gemacht werden konnte als auch inhaltliche Interpretationen möglich wurden.

Z5 Multivariate Verarbeitungen der numerisch therapierten Korrelationsmatrix CRn.

Z5.1 Hauptkomponentenanalyse Daten, die durch einen bestimmten Filter eines Modells betrachtet werden, werden durch diesen strukturiert und dargestellt. Bei der Hauptkomponentenanalyse (PCA) stehen die Vektoren orthogonal oder senkrecht aufeinander und sind damit voneinander unabhängig, eine in der Psychologie wohl öfter eine bedenkliche Annahme. In der Regel sucht man jedenfalls im faktorenanalytischen Umfeld vergeblich nach Begründungen, warum ein Modell gewählt wurde. Eigentlich sollte dies aus der gewählten Theorie folgen. Warum sollten ausgerechnet die Gefühle unabhängig von einander sein? Die Hauptkomponentenanalyse zeigt im Großen und Ganzen ein ein bifaktorielles Modell mit einem schwachen Generalfaktor (< 50%). Immerhin, die Generalfaktorvermutung von Burt 1915 wird hier im Wesentlichen bestätigt.

Z5.2 Fast-Kollinearitätsanalyse Fast-Kollinearitäten sind wissenschaftlich hochinteressant, weil sie Gesetzes- oder Regelhaftigkeiten anzeigen, also genau das, wonach man in der Wissenschaft immer sucht. Die Burt 1915 Matrix zeigt in allen Varianten, Original und nach 6 numerischen Therapien drei Eigenwerte < 0.20 (Kriterium für Fast-Kollinearität), also drei Fast-Kollinearitäten an. Schon erkennbar in den Korrelationsmatrizen mit Korrelationskoeffizienten > |0.80|.

Z5.3 Partielle Korrelationsanalysen  sind sehr interessant, weil man mit ihnen verdeckte Beziehungen und Zusammenhänge zwischen den Variablen finden kann. Damit kann der  relevante Merkmalsraum  genauer bestimmt werden  ein bislang kaum erkanntes und schon gar nicht gelöstes Problem der multivariaten Statistik. Im  Wesentlichen interessiert jeweils, ob die Herausnahme von Variablen die partielle Korrelation dann erhöht oder senkt und wie sehr. Hierzu werden viele Beispiele dokumentiert, sortiert nach den Anzahlen der herausgenommenen Variablen. In der Burt Matrix 1915 sind 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, 9 Herausnahmen möglich. Von allen werden Beispiele gebracht. Teilweise wurden sehr beachtliche Veränderungen  gefunden: Bei vollständiger Auspartialisierung sinkt die ursprüngliche Korrelation zwischen 7 Ekel und 8 Wut von 0.349 auf -.051, das sind 86 Punkte, also erheblich. Selbst die Herausnahme von nur zwei Variablen 1 Sozialität und 2 Trauer aus 3 Zärtlichkeit und 8 Wut bewirkt, dass die ursprüngliche Korrelation von 0.12 auf -0.60 fällt, das sind 72 Punkte. Burt erklärt weder seine Methode noch die Herausnahmen für seine partiellen Korrelationen in Table II, ein miserabler Stil, den die Report-Redaktion so nicht hätte durchgehen lassen dürfen.

Z6 Kritik Veröffentlichungspraxis Burt 1915 und der Report-Redaktion . Die Arbeit ist völlig unzulänglich beschrieben.

1. Z6.1 Die Daten der "Korrelationsmatrix der 11 Gefühle" sind mit keinem Beleg ausgewiesen. Die Stichproben und wie sie in die Matrix eingehen werden nicht ausgewiesen.
2. Z6.2 Die Korrelationsmethode ist nicht benannt.
3. Z6.3 Es bleibt unklar, ob alle Korrelationskoeffzienten auf der gleichen n-Umfangsbasis gerechnet wurden.
4. Z6.4 Es bleibt unerwähnt, ob Missing Data vorlagen - was fast immer bei empirischen Untersuchungen der Fall ist - und wie sie behandelt wurden.
5. Z6.5 Es bleibt unerwähnt, ob und wie die Eigenwerte berechnet wurden; und falls, weshalb der negative Eigenwert nicht erörtert und problematisiert wurde. Dieser Kritikpunkt entfällt, wenn Burt Eigenwerte und indefinite "Korrelations"matrizen noch nicht kannte.
6. Z6.6 Es ist völlig unklar, weil nicht angegeben, welche Variablen in Tabelle II. auspartialisiert wurden.
7. Z6.7 Die Kreisanordnung der positiven und negativen partiellen Korrelationen wird nicht erklärt und begründet.
8. Z6.8 Die Faktorenanalyse, orthogonal oder oblique wird nicht angegeben, erörtert und begründet.
9. Z6-Kritik-Fazit: Es ist eine miserable Darstellung, die mit einer wissenschaftlichen Veröffentlichung nichts zu tun hat. Das hätte die Report-Redaktion niemals durchgehen lassen dürfen.

1. Es scheint sich 1915 und 1940 um die gleichen oder ähnlichen 11 Merkmale zu handeln.
2. Die  Herkunft der Korrelationstabelle wird, wie schon 1915, nicht ausgewiesen.
3. Die in 1915 als "emotions" bezeichneten Merkmale heißen nun "traits".
4. Die Veränderung von emotions in traits wird nicht erklärt.
5. Die Reihenfolge der Merkmale ist verändert.
6. Vier Merkmalsnamen sind neu Assertiveness, Curiosity, Sociability, Submissiveness.
7. Die Koeffizienten werden, sehr erfreulich, dreistellig angegeben, was die indefinite Fehlerquelle Rundung deutlich reduziert.
8. Viele Korrelationskoeffizienten weichen unerklärt z.T. erheblich von einander ab, z.B.:

Vergleiche	Burt 1915 Table I	Burt 1940 Table IV
Joy - Fear	0.24	0.758
Anger - Sex	0.53	0.791
Sorrow - Disgust	0.58	0.339

Soviel zu Eindrücken meiner Erstsichtung. Bei Gelegenheit werde ich diese Arbeit genauer und gründlicher analysieren, sofern es die dort mitgeteilten Informationen zulassen und hergeben.

Numerische Therapie der indefiniten "Korrelationsmatrix" von Burt 1915
Zusammenfassung-Burt-1915: Die mit einem negativen Eigenwert von -0.0245 indefinite Matrix von Burt 1915 mit 11 Gefühlen ist einfach numerisch zu therapieren, so dass sie ihre Positive-Semi-Definitheit zurückgewinnt, multivariat verarbeitet und interpretiert werden kann.
Eine kausale Therapie ist nicht möglich, weil wir die Originaldaten nicht zur Verfügung haben. Wir begnügen uns daher damit, die pragmatisch-numerischen Therapiemethoden allesamt anzuwenden, auch zum Vergleichen ihrer Ergebnisse.

Die Ausgangsmatrix Burt  1915

Original Table I

I. Angewandte numerische Therapiemethoden und ihre Ergebnisse

Methodenkürzel :
   1 CR  Faktorisierung
   2 CR0 Eigenwert 0 setzen
   3 CR0n Eigenwert 0 normalisieren
   4 CRn Faktorisierung normalisieren
   5 CRs Singulärwert nehmen
   6 CRsn Singulärwert normalisieren
   7 CC Zentroid mit allen Faktoren,  aktuell nicht funktionsfähig

Gefühlskennungen (Google Übersetzer)
Gefühlskennungen (Google Übers.)
1 Sociality - Sozialität
2 Sorrow - Trauer
3 Tenderness - Zärtlichkeit
4 Joy - Freude
5 Wonder - Wundern?
6 Elation  - Begeisterung
7 Disgust - Ekel
8 Anger  - Wut
9 Sex  - Sex
10 Fear - Furcht
11 Subjection  - Unterwerfung

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CR Faktorisieren
Ergebnis: Nach Faktorisieren verschwindet der negative Eigenwert und die positive Definitheit ist wieder hergestellt. Die Korrelationsmatrix kann multivariat verarbeitet und interpretiert werden.

CRn Faktorisieren und die Hauptdiagonale auf 1 skalieren ("normalisieren")
Ergebnis: Nach Faktorisieren und Skalieren der Hauptdiagonalwerte auf 1 verschwindet der negative Eigenwert und die positive Definitheit ist wieder hergestellt. Die Korrelationsmatrix kann multivariat verarbeitet und interpretiert werden.

CR0  Den negativen Eigenwert durch 0 ersetzen
Ergebnis: Nach Setzen des negativen Eigenwerte auf 0 ist der negative Eigenwert natürlich durch die Setzung verschwunden und die Positive Semi-Definitheit ist wieder hergestellt. Die Korrelationsmatrix ist dadurch kollinear oder linear abhängig und sie kann nur mit großer Vorsicht und Skepsis multivariat verarbeitet und interpretiert werden.

CR0n  Den negativen Eigenwert durch 0 ersetzen und die Hauptdiagonale auf 1 skalieren ("normalisieren")
Ergebnis: Nach Setzen des negativen Eigenwerte auf 0 ist der negative Eigenwert natürlich durch die Setzung verschwunden und die Positive Semi-Definitheit ist wieder hergestellt. Die Skalierung der Hauptdiagonalelemente auf 1 hat keine Einfluss auf die Kollinearität. Die Korrelationsmatrix ist dadurch kollinear oder linear abhängig und sie kann nur mit großer Vorsicht und Skepsis multivariat verarbeitet und interpretiert werden.

CRs Die Eigenwerte durch die Singulärwerte ersetzen
Ergebnis: Nach Ersetzen der Eigenwerte durch die Singulärwerte verschwindet der negative Eigenwert und die positive Definitheit ist wieder hergestellt. Die Korrelationsmatrix kann multivariat verarbeitet und interpretiert werden.

CRsn Die Eigenwerte durch die Singulärwerte ersetzen und die Hauptdiagonale auf 1 skalieren ("normalisieren")
Ergebnis: Nach Ersetzen der Eigenwerte durch die Singulärwerte verschwindet der negative Eigenwert und die positive Definitheit ist wieder hergestellt. Die Skalierung der Hauptdiagonalwerte auf 1 hat wenig Einfluss. Die Korrelationsmatrix kann multivariat verarbeitet und interpretiert werden.

II. Multivariate Weiterverarbeitungen

• Vergleichende vollständige partielle Matrix-Analysen der Originalmatrix mit den verschiedenen numerischen Therapievarianten
• Hauptkomponentenanalyse mit der Gefühlsmatrix
• Partielle Korrelationen mit der numerisch therapierten Korrelationsmatrix CRn

1. Multivariate Verfahren und Analysen gehören zum Standard der Psychologie und psychologischen Statistik. Die Kern- und Hauptfrage der Wissenschaft ist einfach: was gibt es und wie hängt es zusammen? Die strengen messtheoretischen (Intervallskalenniveau ) oder statistischen Voraussetzungen (Zufallsauswahlen, Verteilungsannahmen, angemessene Verfahren, einheitlicher Erhebungsraum, reguläre Erhebungen) werden hierbei meist nicht beachtet. Das sind grundsätzliche Fragen und Probleme, die hier ausgeklammert werden sollen.
2. Die ungeheure Vielfalt der Gefühle lassen sie für multivariate Verfahren geradezu prädestiniert erscheinen, so dass gegen multivariate Verfahren bei Gefühl nicht nur nichts einzuwenden ist, sondern sie geradezu danach verlangen.
3. Grundsätzlich und konzeptionell gibt es gegen Burts Analyse von 1915 also nichts einzuwenden.
4. Bei aller Kritik muss man mildernd auch berücksichtigen, dass man 1915 über keine leistungsfähigen Rechner und Programme verfügte, die multivariate Analysen so leicht und einfach wie heute machen. Die Alten waren gegenüber uns Heutigen haushoch im Vorteil, weil sie mathematisch und rechentechnisch auf der Höhe waren. Wer wochenlang rechnen musste, um eine Faktorenanalyse zu erstellen, der wusste - in der Regel - wie es geht, was man von uns heutigen KnöpfedrückerInnen nicht mehr sagen kann (beim Knopfdruck "All" wird schon was dabei sein, was sich veröffentlichen lässt).

Vergleichende vollständige partielle Matrix-Analysen der Originalmatrix mit den verschiedenen numerischen Therapievarianten

Zusammenfassung Vergleichende vollständige partielle Matrix-Analysen der Originalmatrix mit den verschiedenen numerischen Therapievarianten
1. Die Originalmatrix Burt 1915 mit einem negativen Eigenwert -0.0245 liefert bei den partiellen Korrelationen 7 Entgleisungen, 6 davon extrem (mit einem partiellen Korrelationskoeffizienten von 37!). Sie ist damit für multivariate Analysen nicht zu gebrauchen.
2. Die Ersetzung des negativen Eigenwertes -0.0245 durch 0 bedeutet die Einrichtung einer linearen Abhängigkeit und führt zu unsicheren, wahrscheinlich unbrauchbaren Ergebnissen.
3. Die anderen vier numerischen Therapiemethoden liefern interpretierbare Ergebnisses bei den partiellen Korrelation: Zwischen CR, CRn, CRs und CRsn sind keine großen Unterschiede, die sich meist ab der 2. Nachkommastelle bemerkbar machen.
4. Multivariate Verarbeitungen wie etwa eine Hauptkomponentenanalyse sind daher möglich.
5. Interpretationen.

R: Die Originalmatrix von Burt 1915 mit einem negativen Eigenwert -0.0245 liefert bei den partiellen Korrelationen 7 Entgleisungen, 6 davon extrem:
pcv :    7  8 .   1  2  3  4  5  6  9  10  11 corrmat:  -11.5931
pcv :    3  8 .   1  2  4  5  6  7  9  10  11 corrmat:   -3.7083
pcv :    3  7 .   1  2  4  5  6  8  9  10  11 corrmat:   -4.2176
pcv :    2  8 .   1  3  4  5  6  7  9  10  11 corrmat:  31.9130
pcv :    2  7 .   1  3  4  5  6  8  9  10  11 corrmat:  37.0111
pcv :    2  3 .   1  4  5  6  7  8  9  10  11 corrmat:  16.4418
pcv :    1  9 .   2  3  4  5  6  7  8  10  11 corrmat:    1.1618

CR Diese Methode faktorisiert die Originalmatrix von Burt, wobei sich die imaginären Werte von F bei Multiplikation von F mit der Transponierten wieder aufheben. Der negative Eigenwert ist verschwunden und die CR-Matrix ist positiv definit. Hier überschreiten die Hauptdiagonalen die 1 ab der 2. Nachkommastelle, was im Allgemeinen zu einer Erhöhung der numerischen Stabilität führt, was man bei der Ridge- bzw. Tikhonov-Methode gezielt anwendet. Will man die Auswirkungen auf die partielle Korrelation der Faktorisierungsmethode mit oder ohne Normalisierung der Hauptdiagonalen prüfen, muss man CR mit CRn vergleichen. Es gibt hier bis auf die 4. Nachkommastelle keinen Unterschied.

CR0 Die Methode setzt den negativen Eigenwert von -0.0245 glatt 0. Die Matrix wird dadurch positiv semi definit, enthält damit also eine Kollinearität oder lineare Abhängigkeit. Man sieht, dass den negativen Eigenwert einfach 0 zu setzen dazu führt, dass die partiellen Korrelationskoeffizienten 2 (1 Paar) gegen den ganzen Rest allesamt gegen 1 oder -1 tendieren, was verständlich ist, da ja mit der Eigenwertsetzung 0 eine lineare Abhängigkeit eingerichtet wurde. Der Mathematiker Dr. B. Hain hat gezeigt (1994, Kap. VI, S. 38 ff), daß die Korrelationsmatrix bei vollständiger Partialisierung - rij.n-2 - nicht notwendig positiv definit sein muß. Hier ist also größte Vorsicht geboten, wenn Verdacht auf lineare Abhängigkeit besteht, was Eigenwerte 'nahe' 0 anzeigen. Quelle: https://www.sgipt.org/wisms/statm/kor/partkor.htm.

CR0n Wie CR0, aber mit Normalisierung der Hauptdiagonalen zu 1. Die Normalisierung der Hauptdiagonalen auf 1 gelingt, wie man sieht bis zu 4. Nachkommastellen

CRn Hier werden die erhöhten Hauptdiagonalwerte der faktorisierten Matrix CR auf 1 normalisiert. Bei 4-stelliger Genauigkeit der Darstellung keine Unterschiede erkennbar.

CRs  Die Methode ersetzt die Eigenwerte durch die sämtlich positiven Singulärwerte, was bei den Hauptdiagonalwerten ab der 2. Nachkommastelle zu geringfügig erhöhten Werten über 1 führt.

CRsn Diese Normalisierungs-Methode beseitigt die über 1 erhöhten Hauptdiagonalwerte und bringt sie auf 1 zurück.
 

Vergleichstabelle Partielle Korrelationskoeffizienten 2 gegen den ganzen Rest nach den verschiedenen numerischen Therapiemethoden.

Lesebeispiel Zeile 47: Die partielle Korrelation zwischen Gefühl 10 () und 11 () beträgt in der Originalmatrix Burt 1915  0.5533, in der faktorisierten Matrix CR  0.5538, in der Matrix CR0, Eigenwert gleich 0 gesetzt, 0.9907, in CR0n, Eigenwert gleich 0 gesetzt und Hauptdiagonale auf 1 skaliert 1.0004, in CRn der faktorisierten und Hauptdiagonale auf 1 skaliert 0.5538, in CRs, Eigenwerte durch Singulärwerte ersetzt, 0.5342 und CRsn, Eigenwerte durch Singulärwerte ersetzt und Hauptdiagonale auf 1 skaliert 0.5342. Centroid aktuell nicht verfügbar.

Zusammenfassung Hauptkomponentenanalyse der numerisch therapierten CRn Korrelationsmatrix
Daten, die durch einen bestimmten Filter eines Modells betrachtet werden, werden durch diesen strukturiert und dargestellt. Bei der Hauptkomponentenanalyse (PCA) stehen die Vektoren orthogonal oder senkrecht aufeinander und sind damit voneinander unabhängig, eine in der Psychologie wohl öfter bedenkliche Annahme. In der Regel sucht man jedenfalls im faktorenanalytischen Umfeld vergeblich nach Begründungen, warum ein Modell gewählt wurde. Eigentlich sollte dies aus der gewählten Theorie folgen. Warum sollten ausgerechnet die Gefühle unabhängig von einander sein? Die Hauptkomponentenanalyse zeigt im Großen und Ganzen ein bifaktorielles Modell mit einem schwachen Generalfaktor (< 50%). Immerhin, die Generalfaktorvermutung von Burt 1915 wird hier im Wesentlichen bestätigt.

Ab welcher Größe sollen Faktorenladungen relevant sein? In der PCA Tabelle wurden alle markiert > = 0.50.

Zusammenfassung: Fast-Kollinearitäten sind wissenschaftlich hochinteressant, weil sie Gesetzes- oder Regelhaftigkeiten anzeigen, also genau das, wonach man in der Wissenschaft immer sucht. Die Burt 1915 Matrix zeigt in allen Varianten, Original und nach 6 numerischen Therapien drei Eigenwerte < 0.20 (Kriterium für Fast-Kollinearität), also drei Fast-Kollinearitäten an. Schon erkennbar in den Korrelationsmatrizen mit Korrelationskoeffizienten > |0.80| wie im Folgenden auch dargestellt.

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Partielle Korrelationen mit der numerisch therapierten Korrrelationsmatrix CRn

Nachdem keine Informationen vorliegen, wie die Partialisierungen gebildet wurden, können die in Tabelle II. mitgeteilten partiellen Korrelationskoeffizienten nicht nachgerechnet werden. Die Mitteilung "(Average for five groups.)" lässt nichts Gutes ahnen. Wie die Report-Redaktion eine so miserabel dokumentierte Arbeit aufnehmen konnte, ist mir rätselhaft.
Diskussionsbeispiel: Die partielle Korrelation zwischen Joy und Sex wird mit 0.21 angegeben, in der Korrelationsmatrix oben mit 0.42. Partialisiert man aus - was oder welche Variablen, also das Entscheidende, verrät Burt nicht - fällt sie also um die Hälfte.

Ich kann deshalb nur eigene partielle Korrelationsrechnungen durchführen und einige Ergebnisse hier mitteilen und kurz kommentieren. Ich beschränke mich dabei auf einige besonders interessante Fälle, hier den Einfluss der anderen Variablen auf die Korrelation zwischen 1 Sozialität und 2 Trauer, die mit einem r=0.83 eine Fast-Kollinearität anzeigen. Die Kennungen 1...11 sind nach der Reihenfolge der Korrelationsmatrix gebildet.

Zusammenfassung Partielle Korrelationsanalysen  sind sehr interessant, weil man mit ihnen verdeckte Beziehungen und Zusammenhänge zwischen den Variablen finden kann. Damit kann der  relevante Merkmalsraum  genauer bestimmt werden, ein bislang kaum erkanntes und schon gar nicht gelöstes Problem der multivariaten Statistik. Im Wesentlichen interessiert jeweils, ob die Herausnahme von Variablen die partielle Korrelation dann erhöht oder senkt und wie sehr. Hierzu werden viele Beispiele dokumentiert, sortiert nach den Anzahlen der herausgenommenen Variablen. In der Burt Matrix 1915 sind 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, 9 Herausnahmen möglich. Von allen werden Beispiele gebracht. Teilweise wurden sehr beachtliche Veränderungen  gefunden: Bei vollständiger Auspartialisierung sinkt die ursprüngliche Korrelation zwischen 7 Ekel und 8 Wut von 0.349 auf -.051, das sind 86 Punkte,  also erheblich. Selbst die Herausnahme von nur zwei Variablen 1 Sozialität und 2 Trauer aus 3 Zärtlichkeit und 8 Wut bewirkt, dass die ursprüngliche Korrelation von 0.12 auf -0.60 fällt, das sind 72 Punkte. Burt erklärt weder seine Methode noch die Herausnahmen für seine partiellen Korrelationen in Table II, ein miserabler Stil, den die Report-Redaktion so nicht hätte durchgehen lassen dürfen.

1 Partielle Korrelation zwischen 1 und 2, ursprüngliche Korrelation 0.83, nach Auspartialisierung von jeweils 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
 

pcv :    1  2 .   3 =  0.503287  pcv :    1  2 .   4 =  0.717429  pcv :    1  2 .   5 =  0.729719 pcv :    1  2 .   6 =  0.815968 pcv :    1  2 .   7 =  0.757387 pcv :    1  2 .   8 =  0.78734 pcv :    1  2 .   9 =   0.883198  pcv :    1  2 .   10 = 0.832898 pcv :    1  2 .   11=  0.828491 In abnehmender Reihenfolge pcv :    1  2 .   3 =  0.503287  pcv :    1  2 .   4 =  0.717429  pcv :    1  2 .   5 =  0.729719 pcv :    1  2 .   7 =  0.757387 pcv :    1  2 .   8 =  0.78734 pcv :    1  2 .   6 =  0.815968 pcv :    1  2 .   11=  0.828491 pcv :    1  2 .   10 = 0.832898 pcv :    1  2 .   9 =   0.883198

Partialisiert man den Einfluss von 3 Zärtlichkeit aus, sinkt die Korrelation zwischen 1 Sozialität und 2 Trauer von 0.83 auf 0.50. 10 Furcht hat so gut wie keinen Einfluß. Partialisiert man sie aus, bleibt die Korrelation mit 0.83 gleich. Nimmt man hingegen 9 Sex heraus, so steigt die partielle Korrelation auf 0.88.

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2 auspartialisiert aus 1 2. mit ursprünglicher Korrelation = 0.83
 

Auswahl: pcv :    1  2 .   3  10 =  0.54597 pcv :    1  2 .   5  7 =   0.657325  pcv :    1  2 .   5  8 =   0.721209  pcv :    1  2 .   5  9 =   0.828795  pcv :    1  2 .   5  10=  0.742638  pcv :    1  2 .   5  11=  0.702683  pcv :    1  2 .   6  7 =   0.799461 pcv :    1  2 .   6  8 =   0.801557  pcv :    1  2 .   6  9 =   0.908036 pcv :    1  2 .   6  10 =  0.81941 pcv :    1  2 .   6  11 =  0.817291 pcv :    1  2 .   7  8 =  0.734217 pcv :    1  2 .   7  9 =  0.846863 pcv :    1  2 .   7  10 = 0.769683 pcv :    1  2 .   7  11 = 0.75588 pcv :    1  2 .   8  11 = 0.770544 pcv :    1  2 .   8  9 =  0.870123 pcv :    1  2 .   9  11 = 0.876221

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3 auspartialisiert aus 1 2. mit ursprünglicher Korrelation = 0.83
 

Auswahl pcv :    1  2 .   5  7  9 =   0.78917  pcv :    1  2 .   5  7  10 =   0.67934  pcv :    1  2 .   5  7  11 =   0.628325  pcv :    1  2 .   5  8  9 =   0.834409  pcv :    1  2 .   5  8  10 =  0.732533  pcv :    1  2 .   5  8  11 =  0.685182  pcv :    1  2 .   5  9  10 =  0.817987  pcv :    1  2 .   5  9  11 =  0.806168  pcv :    1  2 .   5  10  11 =  0.732723 pcv :    1  2 .   6  7  8 =  0.788908  pcv :    1  2 .   6  7  9 =  0.9164  pcv :    1  2 .   6  7  10 = 0.807963  pcv :    1  2 .   6  7  11 =  0.80163 pcv :    1  2 .   6  8  9 =  0.928211  pcv :    1  2 .   6  8  10 =   0.805162  pcv :    1  2 .   6  8  11 =   0.797352  pcv :    1  2 .   6  9  10 =  0.896365  pcv :    1  2 .   6  9  11 =  0.904299 pcv :    1  2 .   6  10  11 = 0.819507 pcv :    1  2 .   7  8  9 =  0.839506 pcv :    1  2 .   7  8  10 =  0.744398 pcv :    1  2 .   7  8  11 =  0.719526 pcv :    1  2 .   7  9  10 =  0.835706 pcv :    1  2 .   7  9  11 = 0.839789 pcv :    1  2 .   7  10  11 = 0.769233 pcv :    1  2 .   8  9  10 =  0.856442 pcv :    1  2 .   8  9  11 =  0.857379 pcv :    1  2 .   8  10  11 = 0.784618 pcv :    1  2 .   9  10  11 = 0.86756

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4 auspartialisiert  aus 1 2. mit ursprünglicher Korrelation = 0.83
 

Auswahl pcv :    1  2 .   5  7  9  11 =  0.765475  pcv :    1  2 .   5  7  10  11 = 0.667449  pcv :    1  2 .   5  8  9  10 =  0.82442  pcv :    1  2 .   5  8  9  11 =  0.809487  pcv :    1  2 .   5  8  10  11 =  0.718102  pcv :    1  2 .   5  9  10  11 =  0.813072  pcv :    1  2 .   6  7  8  9 =  0.937685  pcv :    1  2 .   6  7  8  10 =  0.797121  pcv :    1  2 .   6  7  8  11 =  0.785897 pcv :    1  2 .   6  7  9  10 =  0.908985  pcv :    1  2 .   6  7  9  11 =  0.913283  pcv :    1  2 .   6  7  10  11 = 0.808168  pcv :    1  2 .   6  8  9  10 =   0.919715  pcv :    1  2 .   6  8  9  11 =   0.92604  pcv :    1  2 .   6  9  10  11 = 0.89677  pcv :    1  2 .   7  8  9  10 =  0.829583  pcv :    1  2 .   7  8  9  11 =  0.827934  pcv :    1  2 .   8  9  10  11 =  0.85337 pcv :    1  2 .   7  8  10  11 =  0.739951  pcv :    1  2 .   7  9  10  11 =  0.835844 pcv :    1  2 .   6  8  10  11 =  0.803894

Die Herausnahme von 6 Begeisterung, 7 Ekel, 8 Wut und 9 Sex erhöht die partielle Korrelation zwischen 1 Sozialität und 2 Trauer von 0.83 auf 0.937. Am meisten wird die Korrelation zwischen 1 Sozialität und 2 Trauer durch die Herausnahme von 5 wundern, 7 Ekel, 10 Furcht und 11 Unterwerfung von 0.83 auf 0.667 gesenkt.

_ _ _ _ _ _ _ _

5 auspartialisiert aus 1 2.  aus 1 2. mit ursprünglicher Korrelation = 0.83
 

Auswahl pcv :    1  2 .   5  7  9  10  11 =   0.777217 pcv :    1  2 .   5  8  9  10  11 =   0.816169  pcv :    1  2 .   6  7  8  9  10 =   0.932699  pcv :    1  2 .   6  7  8  9  11 =   0.936742  pcv :    1  2 .   6  7  8  10  11 =  0.795769 pcv :    1  2 .   6  7  9  10  11 =  0.909126  pcv :    1  2 .   6  8  9  10  11 =  0.919728 pcv :    1  2 .   7  8  9  10  11 =  0.82693

Auch wenn man 5 Variable auspar- tialisiert, ändert sich an den Größen- ordnungen der Korrelation zwischen 1 Sozialität und 2 Trauer nicht sehr viel.

6 auspartialisiert  aus 1 2. mit ursprünglicher Korrelation = 0.83
 

Auswahl pcv :    1  2 .   5  7  8  9  10  11 =   0.782578  pcv :    1  2 .   6  7  8  9  10  11 =   0.932957

7 auspartialisiert  aus 1 2. mit ursprünglicher Korrelation = 0.83
 

Auswahl pcv :    1  2 .   5  6  7  8  9  10  11 =   0.918217

8 auspartialisiert  aus 1 2. mit ursprünglicher Korrelation = 0.83
 

Auswahl pcv :    1  2 .   4  5  6  7  8  9  10  11 =  0.881886

Alle 9 auspartialisiert  aus 1 2. mit ursprünglicher Korrelation = 0.83
 

Auswahl pcv :    1  2 .   3  4  5  6  7  8  9  10  11 =  0.440535

Partialisiert man alle 9 aus, fällt die ursprüngliche Korrelation von 0.83 auf 0.44, also erheblich. Das scheint aber vor allem An Variable 3 Zärtlichkeit zu liegen, wie man aus den folgenden Auspartialisierungen erschließen kann.

Stark veränderte Korrelationen durch Auspartionalisierungen
 

Auswahl pcv :    2  9 .   1  3  10 =   -0.470999  von 0.21 pcv :    3  8 .   1  2  10  11 =  -0.603377 von 0.12 pcv :    3  8 .   1  2  11 =   -0.605709  von  0.12 pcv :    3  8 .   1  2  =  -0.642702  von  0.12 pcv :    3  8 .   1  2  10 =   -0.643432  von  0.12 pcv :    3  8 .   1  2  9  11 =   -0.680831 von  0.12 pcv :    2  9 .   1  3  8  11 =   -0.666924 pcv :    3  8 .   1  2  9 =   -0.701682  von 0.12 pcv :    2  9 .   1  3  8 =  -0.659481 pcv :    7  8 .   1  2  3  4  5  6  9  10  11 =  -0.512249

Bei vollständiger Auspartialisierung sinkt die ursprüngliche Korrelation zwischen 7 Ekel und 8 Wut von 0.349 auf -.051, das sind 86 Punkt, also erheblich. Selbst die Herausnahme von nur zwei Variablen 1 Sozialität und 2 Trauer aus 3 Zärtlichkeit und 8 Wut bewirkt, dass die ursprüngliche Korrelation von 0.12 auf -0.60 fällt, das sind 72 Punkte.

Hier sollte es nicht mehr um die Analyse und Darstellung, sondern um die Interpretationsmöglichkeiten multivariater Gefühlsforschung gehen. Vernünftige und begründete Interpretationen sind mangels Angaben und Dokumentation in Burt 1915 aber nicht möglich, so dass es bei der Kenntnisnahme der formalen Zahlen und ihrer Beziehungen bleiben muss.
 

IV. Zusammenfassung Kritik der Veröffentlichung Burt 1915 und der Report-Redaktion, die diese Arbeit offenbar völlig kritiklos angenommen hat. Die Arbeit ist völlig unzulänglich beschrieben. Mit Wissenschaft hat das nichts zu tun. "Z" ist das Kürzel aus der Zusammenfassung.

1. Z6.1 Die Daten der "Korrelationsmatrix der 11 Gefühle" sind mit keinem Beleg ausgewiesen. Die Stichproben und wie sie in die Matrix eingehen werden nicht ausgewiesen. Auch zur Quelle von McDougall der primären Emotionen wird keine genaue Fundstelle angegeben.
2. Z6.2 Die Korrelationsmethode ist nicht benannt.
3. Z6.3 Es bleibt unklar, ob alle Korrelationskoeffzienten auf der gleichen n-Umfangsbasis gerechnet wurden.
4. Z6.4 Es bleibt unerwähnt, ob Missing Data vorlagen - was fast immer bei empirischen Untersuchungen der Fall ist - und wie sie behandelt wurden.
5. Z6.5 Es bleibt unerwähnt, ob und wie die Eigenwerte berechnet wurden; und falls, weshalb der negative Eigenwert nicht erörtert und problematisiert wurde.
6. Z6.6 Es ist völlig unklar, weil nicht angegeben, welche Variablen in Tabelle II. auspartialisiert wurden.
7. Z6.7 Die Kreisanordnung der positiven und negativen partiellen Korrelationen wird nicht erklärt und begründet.
8. Z6.8 Die Faktorenanalyse, orthogonal oder oblique wird nicht angegeben, erörtert und begründet.
9. Z6-Kritik-Fazit: Es ist eine miserable Darstellung, die mit einer wissenschaftlichen Veröffentlichung nichts zu tun hat. Das hätte die Report-Redaktion niemals durchgehen lassen dürfen.

In seinem Buch 1940 "THE FACTORS OF THE MIND", p.402-  geht Burt auf seine Arbeit 1915 ein und setzt sich mit seinen Kritikern auseinander. Eine erste Sichtung hat einige Auffälligkeiten, Unklarheiten und Ungereimtheiten ergeben.

Im Wesentlichen geht es Burt um die Frage, wie man Typen feststellen kann. Er sieht hier in der Faktorenanalyse eine gute methodische Möglichkeit.

Zusammenfassung-Erstsichtung-Burt-1940 verglichen mit Burt 1915:
Im Wesentlichen geht es Burt um die Frage, wie man Typen feststellen kann. Er sieht hier in der Faktorenanalyse eine gute methodische Möglichkeit. Beim Vergleich der Merkmale der zwei Matrizen 1915 und 1940 fällt auf:

1. Es scheint sich 1915 und 1940 um die gleichen oder ähnliche 11 Merkmale zu handeln.
2. Die  Herkunft der Korrelationstabelle wird, wie schon 1915, nicht ausgewiesen.
3. Die in 1915 als "emotions" bezeichneten Merkmale heißen nun "traits".
4. Die Veränderung von emotions in traits wird nicht erklärt.
5. Die Reihenfolge der Merkmale ist verändert.
6. Vier Merkmalsnamen sind neu Assertiveness, Curiosity, Sociability, Submissiveness.
7. Die Koeffizienten werden, sehr erfreulich, dreistellig angegeben, was die indefinite Fehlerquelle Rundung deutlich reduziert.
8. Viele Korrelationskoeffizienten weichen unerklärt z.T. erheblich von einander ab, z.B.:

Vergleiche	Burt 1915 Table I	Burt 1940 Table IV
Joy - Fear	0.24	0.758
Anger - Sex	0.53	0.791
Sorrow - Disgust	0.58	0.339

• Burt, C. (1915) General and specific factors underlying the primary emotions. Report 85. Meeting of the British Association for the Advancement of Science. Manchester, 1915. REPORT Of  THE EIGHTY-FIFTH MEETING OF THE BRITISH ASSOCIATION FOR THE ADVANCEMENT OF SCIENCE.

https://archives.bodleian.ox.ac.uk/repositories/2/resources/3195. Report of the British Association for the Advancement of Science. London, https://www.biodiversitylibrary.org/bibliography/2276
• Burt, Cyril (1940) THE FACTORS OF THE MIND. An Introduction to Factor-analysis in Psychology. London: University of London Press. [Online]

• Sponsel, Rudolf & Hain, Bernhard (1994) Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie. Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology. Deutsch-Englisch. Ins Englische übersetzt von Agnes Mehl. Kapitel 6 von Dr. Bernhard Hain: Bemerkungen über Korrelationsmatrizen. Erlangen: IEC-Verlag [ISSN-0944-5072  ISBN 3-923389-03-5]. Aktueller Preis: www.iec-verlag.de.
• Sponsel, R. (2005)  Fast- Kollinearität in Korrelationsmatrizen mit Eigenwert-Analysen erkennen. Ergänzungsband - Band II zu Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Erlangen: IEC-Verlag.
• Todt, Eberhard (1978) Das Interesse. Empirische Untersuchungen zu einem Motivationskonzept. Bern: Huber.

• Erste Stellungnahme: "Faktorenanalyse" einer indefiniten "Korrelationsmatrix" mit 11 Emotionen von C. Burt 1915.
• Eigenwert-Analysen von Korrelations-Matrizen im sozialwissenschaftlichen Bereich, in Psychologie und Psychotherapie.
• Bereits 1994 habe ich Thurstone's Zentroidmethode zufällig als numerische Therapiemethode entdeckt: Zentroidmethode zur Heilung indefiniter Korrelationsmatrizen.
• Die 1994 im Matrizenhandbuch erstmals erfassten Methoden wurden 2019 erneut evaluiert.
• Singulär-indefinite Interkorrelationsmatrix der 10 allgemein-wissenschaftlichen Kategorien nach Auswertung von 10 rechtswissenschaftlichen Werken einer "Therapie" mit Thurstones Zentroidmethode unterzogen. Ergebnis:  Verschlimmbesserung.

• https://chat.openai.com/
• https://chatgpt.ch/
• https://talkai.info/de/chat/

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