Inhalt

Editorial.
Zusammenfassung-Numerische Therapie indefiniter Korrelations-Matrizen.
• Numerische (In)Stabilität der Matrix durch minimalen negativen Eigenwert -0.0005.
• 4 Fast-Kollinearitäten in der 5er-Matrix.
• Alle 6 angewandten numerischen Therapiemethoden erfolgreich.
• Ergebnisse des vollständigen Vergleichs aller 70 partiellen Korrelationskoeffizienten der original indefiniten Matrix mit der erfolgreichen numerisch therapierten CR Matrix (Faktorisierung).
• Fazit.
Ausgangsmatrix Korrelationen der 5.-9. Klassen am Berufs-Interesse für Mechanik Todt 1978, S. 56.
Komplexe Faktorenladungen.
Ergebnisse der 6 numerischen Therapiemethoden im Vergleich.
Zwei vollständige partielle Korrelationsanalysen der indefiniten und numerisch therapierten Matrix.
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Checkliste beweisen.
Zitierstil.
Literatur, Links, Glossar, Anmerkungen und Endnoten, Querverweise, Copyright und Zitierung, Änderungen

Zusammenfassung-Todt-1978-56 Numerische Therapie der indefiniten "Korrelations"matrix
Todt1978.56-Z0 Man kann an dem Beispiel eindrucksvoll sehen, was numerische (In)Stabilität bedeutet. Der minimal negative Eigenwert von -0.0005 in der nur 5 Variablen fassenden Matrix hat extreme Auswirkungen, wie die multivariate Rechnung zeigt. Die Faktorenladungen werden komplex und 12 von 70 partiellen Korrelationskoeffizienten entgleisen, in der Spitze mit 1.27059! Wenn man von dem Abweichungsbetrag zu 0 beim Eigenwert mit 0.0005 ausgeht und diesen zur Abweichung mit höchsten entgleisten partiellen Korrelationskoeffizienten in Beziehung setzt, also zu 0.27059 (Betrag größer zulässigem Maximum 1), dann ergibt sich 0.27059 / 0.0005 = 541.18 als Faktor zum Verhältnis Abweichung Eingangsgröße - Abweichung Ausgangsgröße, ein eindrucksvolles Beispiel, was numerische Instabilität operational und handfest bedeutet.
Todt1978.56-Z1 Die Korrelationen der Interessen an Mechanik sind zwischen den 5. bis 9. Klassen sehr hoch und zeigen für alle Paare r > |0.80| Fast-Kollinearitäten an. Die kleine Matrix der Ordnung 5 enthält vier Fast-Kollinearitäten, aber auch einen minimalen negativen Eigenwert mit -0.0005, der zu komplexen Faktorenladungen führt und zu 12 entgleisten von 70  partiellen Korrelationskoeffizienten führt, weshalb die indefinite Matrix vor multivariater Weiterverarbeitung numerisch therapiert werden muss.
Todt1978.56-Z2 Alle angewandten 6 numerischen Therapiemethoden sind erfolgreich und stellen mindestens eine positiv semidefinite (alle Eigenwerte >= 0), in vier von 6 Fällen sogar eine positiv definite (alle Eigenwerte > 0) Matrix her, so dass einer multivariaten Weiterverabeitung der numerisch therapierten Korrelationsmatrizen nichts mehr im Weg steht. Die angewandten Methoden sind:

• CR Faktorisieren.
• CRn Faktorisieren und die Hauptdiagonale auf 1 skalieren ("normalisieren").
• CR0  Den negativen Eigenwert durch 0 ersetzen.
• CR0n  Den negativen Eigenwert durch 0 ersetzen und die Hauptdiagonale auf 1 skalieren ("normalisieren").
• CRs Die Eigenwerte durch die Singulärwerte ersetzen.
• CRsn Die Eigenwerte durch die Singulärwerte ersetzen und die Hauptdiagonale auf 1 skalieren ("normalisieren").
• CC Zentroidmethode: hier wegen aktueller Nichtverfügbarkeit eines funktionsfähigen Programmes nicht angewandt.

• (1a) In einer Matrix der Ordnung 5 sind  3 Auspartialisierungen vollständige Partialisierungen. Davon gibt es in der 5er Original-Matrix 10, wovon 6, also 60%, sichtbar mit Werten > |1| entgleisen.
• (1b) Von 2 Auspartialisierungen gibt es 30, wovon in der indefiniten Original-Matrix sichtbar 6 mit Werten > |1| entgleisen, das sind 20%.
• (1c) Bei einer einzigen Auspartialisierung, wovon es in der 5er Matrix auch 30 gibt, entgleist in der indefiniten Originalmatrix  sichtbar keine.
• (2) Die Korrelation der partiellen Korrelationen ist trotz der pathologischen Entgleisungen zwischen originalen und faktorisiert-therapierten mit 0.94 überraschend hoch und verleitet damit zu Falschinterpretationen.
• (3a) Die absoluten Abweichungen zwischen den partiellen Korrelationen der originalen und der faktorisiert-therapierten Matrix  CR sind mit 0.4009 im Mittel am stärksten bei vollständiger Partialisierung.
• (3b) Die Abweichung sinken auf 0.0518 im Mittel, also auf rund 1/8, wenn nur 2 auspartialisiert werden.
• (3c) Sie sinken schließlich im Mittel auf 0.0078, wenn nur ein Item auspartialisiert wird.
• (4) Bei der erfolgreich numerisch therapierten Matrix CR gab es keine sichtbaren Entgleisungen mehr.

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Die Korrelationen der Interessen an Mechanik sind zwischen den 5. bis 9. Klassen sehr hoch und zeigen für alle Paare r > |0.80| Fast-Kollinea-ritäten an. Wie der kleine negative Eigenwert (gelb markiert) zeigt, hat die Matrix ihre positive Semidefinitheit verloren, wahrscheinlich auf-grund der hohen Fast-Kollinearitäten im Zusammenhang mit Rundungsfehlern, weil die Koeffizienten nur zweistellig angegeben sind. Es könnten aber auch noch unterschiedliche n bei den 5. bis 9. Klassen eine Rolle spielen. Damit  können massive multivariate Entgleisungen eintreten, wie auch eine erste Prüfung der komplexen Faktorenladungen oder partiellen Korrela-tionen belegt. Obwohl der negative Eigenwert nur -0.0005 beträgt, entgleist der größte partielle Korrelationskoeffizient mit 0.27059 > 1, das ist der Faktor 0.27059/0.0005 = 541.18, wenn man beide Abweichungen zueinander in Beziehung setzt. Das eben ist das Wesen der numerischen Instabilität: kleine Veränderungen auf der Eingangsseite (Eigenwert -.0005) bewirken extreme Veränderungen auf der Ausgangsseite ) (partielle Korrelation pcv : 2 5 . 1 3 4  = 1.27059 oder komplexe Faktorenladungen) mit 0.27059 > 1.

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Gerechnet 1) [V,D] = seig(r), 2) F= V*sqrt(D) (in Matlab, Home Edition 2023b)

Alle 6 numerischen Therapiemethoden führen zu einer Korrelationsmatrix mit positiver Semidefinitheit.  Sie ist damit  multivariat weiter verarbeitbar und die Ergebnisse interpretierbar. Es empfiehlt sich dennoch, auf die 4 Fast-Kollinearitäten, die sich auch nach der erfolgreichen numerischen Therapie in den Korrelationsmatrizen befinden,  aufzupassen.  Numerische instabile Matrizen sind immer für Überraschungen gut - im Guten wie im Schlechten. Der negative Eigenwert von -0.0005 war in diesem Fall leicht numerisch zu therapieren - was man aber vorher nicht weiß und nicht immer so sein muss. Man muss rechnen, dann weiß man es. Meinen und mutmaßen hilft hier nicht.

Sichtbar sind 12 deutliche Entgleisungen bei den partiellen Korrelationskoeffzienten, der größte bei pcv : 2 5 . 1 3 4  =  1.27059. Das sind 17% von allen 70. Man darf sich aber von den rein sichtbaren nicht täuschen lassen. Sämtliche partiellen Korrelationskoeffizienten sind aufgrund der Entgleisung durch den negativen Eigenwert -.0005 nicht zuverlässig und daher nicht interpretierbar. Setzt man die Größen der pathologischen Abweichungen zueinander in Beziehung, so ergibt sich als Auswirkung der Faktor 5400. Zu besseren Einschätzung und Beurteilung habe ich zum Vergleich die partiellen Korrelationen der numerisch-therapierten partiellen Korrelationskoeffizienten angeben.

Vergleich sämtlicher partiellen Korrelationen r und CR:
Es wurde die Mittelwerte und Standardabweichungen der absoluten Abweichungen der partiellen Korrelationen der originalen, minimal indefiniten Matrix und der durch Faktorisierung numerisch therapierten Matrix bestimmt und miteinander verglichen.

 (1a) Vollständige Partialisierungen sind nach einem Satz von Hain (1994) nicht notwendig positiv definit. In einer Matrix der Ordnung 5 sind damit 3 Auspartialisierungen vollständige Partialisierungen. Davon gibt es in der 5er Matrix 10, wovon 6, also 60% sichtbar mit Werten > |1| entgleisen.
(1b) Von 2 Auspartialisierungen gibt es 30, wovon sichtbar 6 mit Werten > |1| entgleisen, das sind 20%.
(1c) Bei einer einzigen Auspartia-lisierung, wovon es in der 5er Matrix auch 30 gibt, entgleist sichtbar keine.

(2) Die Korrelation der partiellen Korrelationen ist trotz der pathologischen Entgleisungen zwischen originalen und faktorisiert-therapierten mit 0.94 überraschend hoch und verleitet damit zu Falschinterppretationen.

(3a) Die absoluten Abweichungen zwischen den partiellen Korrelationen der originalen und der faktorisiert-therapierten Matrix  CR sind mit 0.4009 im Mittel am stärksten bei vollständiger Partialisierung.
(3b) Die Abweichung sinken auf 0.0518 im Mittel, also auf rund 1/8, wenn nur 2 auspartialisiert werden.
(3c) Sie sinken schließlich im Mittel auf 0.0078, wenn nur ein Item auspartialisiert wird.

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• Sponsel, Rudolf & Hain, Bernhard (1994) Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie. Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology. Deutsch-Englisch. Ins Englische übersetzt von Agnes Mehl. Kapitel 6 von Dr. Bernhard Hain: Bemerkungen über Korrelationsmatrizen. Erlangen: IEC-Verlag [ISSN-0944-5072  ISBN 3-923389-03-5]. Aktueller Preis: www.iec-verlag.de.
• Sponsel, R. (2005)  Fast- Kollinearität in Korrelationsmatrizen mit Eigenwert-Analysen erkennen. Ergänzungsband - Band II zu Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Erlangen: IEC-Verlag.
• Todt, Eberhard (1978) Das Interesse. Empirische Untersuchungen zu einem Motivationskonzept. Bern: Huber.

• Die 1994 im Matrizenhandbuch erstmals erfassten Methoden wurden 2019 erneut evaluiert.
• Singulär-indefinite Interkorrelationsmatrix der 10 allgemein-wissenschaftlichen Kategorien nach Auswertung von 10 rechtswissenschaftlichen Werken einer "Therapie" mit Thurstones Zentroidmethode unterzogen. Ergebnis:  Verschlimmbesserung.

• https://chat.openai.com/
• https://chatgpt.ch/
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