• Einstieg Beweis und beweisen in Mathematik und Logistik.
• Zwei Beispiele: Chinesischer Beweis zum Pythagoras aus dem 11. Jhd.
• Euklids Primzahlbeweis.
• Ein indirektes Beweisschema aus dem Netz.
• Das Problem des Tertium non datur beim indirekten Beweis.
• Gefährliche Regionen und Prozeduren: wo sich besondere Vorsicht empfiehlt.
• Aus Erhard Schmidts Rektoratsrede "Über mathematische Gewißheit".
• Brouwers Denkweise und Argumentation nach Dirk von Dalen (1992).
• Ein Beispiel aus dem Netz zum Problem des Tertium non datur.
• Mann oder Nicht-Mann, das ist hier die Frage.
• "Konstruktive" Idee für die Legitimation der Anwendung des Tertium non datur.
• Erste Bedingung vollständige Disjunktion.
• Zweite Bedingung: der Aussageobjektbereich muss existieren.
• Dritte Bedingung: Das Aussageobjekt darf nicht nichtperiodisch unendlich sein.
• Bisheriges Ergebnis zum Tertium non datur.
• Anmerkung: Beweisidee wie man die Allgemeingültigkeit des Tertium non datur widerlegen könnte.
• Psychologischer Exkurs: Konträres und Kontradiktorisches.
• Mathematische Beweisregeln.
• Vollständige Induktion.
• Ist das Verfahren zirkulaer?
• Irritationen um die Beweisbarkeit des Axioms.
• Versuche, die vollstaendige Induktion zu beweisen.
• Formulierungen der vollstaendigen Induktion.
• Aus Der kleine Duden Mathematik (1986).
• Felgner (2012) formuliert das Prinzip der vollständigen Induktion wie folgt.
• Beispiel zur Summenformel aus Schwarz (1975).
• Beweisfehler.
• Die Bedeutung der Gödel'schen Sätze.
• Exkurs I. Mathematischer und empirischer Beweis.
• Exkurs II: Das Drama der Mathematik-SchülerInnen.
• Exkurs III: Das große Problem der Mathematisierung der Welt.
• Exkurs IV: Ist die Mathematik so sicher, wie sie sich präsentiert?
• Exkurs V:  Mehr oder minder gut beweisen?
• Querverweis: Rabulistik und Sophistik in der altehrwürdigen Mathematik.
• Querverweis zum Grundlagenstreit in der Mathematik.
• Literatur. * Links.

Einstieg Beweis und beweisen in Mathematik und Logistik

;-) Was für ein Beweisverfahren wird hier angewendet?

Das Beweisideal wurde in der Geschichte der Mathematik bereits sehr früh erreicht. Obwohl Euklid als genialer Großmeister mathematischer Beweiskunst gilt, berichtet z.B. Schwarz von einem beeindruckenden chinesischen Beweis zum Satz des Pythagoras aus dem 11. Jhd. v. Chr. (!)
    Zum Wesen der (reinen) Mathematik gehört, alles und jedes zu beweisen, was behauptet oder benutzt wird. Das sollte im Grunde aber ganz allgemein das Prinzip Wissenschaft sein, die MathematikerInnen wenden es - neben den LogistikerInnen als vermutlich einzige - nur äußerst, ja geradezu 'gnadenlos' konsequent an, wenn auch für die Außenstehenden oft nur schwer nachvollziehbar. MathematikerInnen und mathematische AnwenderInnen unterscheiden sich daher mit wenigen Ausnahmen meist durch ihr Interesse und ihre Fähigkeit, beweisen zu können, wobei das mathematische Beweissystem allerdings nicht so klar vermittelbar ist, wie es wünschenswert erscheint. Man kann sogar sagen, die Mathematik unternimmt viel, um es ihren SchülerInnen schwer zu machen. Das ist sehr schade, weil dadurch die Vorbild- und Idealfunktion der Mathematik nicht in der wünschenswerten Weise genutzt werden kann.
    Reine Mathematik beschäftigt sich zweckfrei und nur erkenntnisinteressengeleitet mit mathematischen Objekten und ihren Beziehungen mit dem Ziel, alles Mögliche zu beweisen; Anwendungsfragen - mit Ausnahme der Astronomen und Physiker - werden eher als fremd oder störend erlebt. Die AnwenderIn ist üblicherweise nicht an Beweisen, sondern wie ihr Name ja schon kund tut, am Anwenden interessiert, obschon es für die  einheitswissenschaftliche Entwicklung wünschenswert und schön wäre, wenn sich die Beweisidee allgemein durchsetzte, was nur funktionieren kann, wenn sie allgemein, didaktisch, praktisch und anwendungsorientiert entsprechend aufbereitet und vermittelt wird.

Chinesischer Beweis aus dem 11. Jhd. v. Chr. zum Satz des Pythagoras (aus Schwarz, S. 6-7):

Zunächst sei kurz das in der Mathematik häufig anzutreffende Beweisverfahren des indirekten Beweises skizziert:

Ein indirektes Beweisschema aus dem Netz (Uni-Erlangen)
"Etwas rezeptologischer klingt das Vorgehen bei indirekten Beweisen etwa so:

1. Beim indirekten Beweis nehmen wir die Verneinung der Behauptung an und kennzeichnen sie als Annahme.
2. Die Annahme führen wir zu einem Widerspruch.
3. Beim Erreichen des Widerspruches wissen wir: Die Annahme war falsch.
4. Es gilt die Verneinung der Annahme, also die Behauptung."

Unter Primzahl verstehen die MathematikerInnen Zahlen >1, die nur durch sich selbst oder durch 1 teilbar sind, also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... Der Beweis hat es in sich und erscheint mir sehr geeignet, die mathematische Denkweise zu demonstrieren, nach hrz.uni dortmund Kurse Propaedeutikum Finden:
 

"Ein Beispiel soll dies an einem Problem verdeutlichen, mit dem sich schon Euklid eingehend beschäftigt hatte. Es geht dabei um die Fragestellung, ob es unendlich oder nur endlich viele Primzahlen gibt. Ein direktes Mittel wäre ein Konstruktionsprinzip, mit dem man immer größere Primzahlen angeben könnte. Also z.B. f(x)=x2+x+41 ergibt für x aus [0;39] Primzahlen, aber eben nicht darüber hinaus. Euklid bewies, daß es unendlich viele Primzahlen gibt, indirekt. Er behauptete also zunächst (Annahme): "Es gibt endlich viele Primzahlen"; diese seien p1, p2, ..., pn, wobei pn die größte Primzahl sei. Das Produkt aller dieser Primzahlen plus 1 (dies sei Z) ist mit Sicherheit größer als pn, kann von daher (nach der Annahme) keine Primzahl sein. Z müßte sich dann aber als Produkt einer Primzahl p (aus der Menge p1, .., pn; andere gibt es ja nicht) und einem Restfaktor r darstellen lassen: Z = p * r Man müßte also beide Seiten durch p ohne Rest teilen können. Doch bei Z läßt sich ein solches p als Faktor nicht finden: bleibt doch bei der Division von Z durch jede der Primzahlen p1, .., pn immer ein Rest 1. Da die Annahme zum Widerspruch führt, gilt: "Es gibt unendlich viele Primzahlen." (q.e.d.: quod erat demonstrandum)"

Die Annahme der allgemeinen Gültig- und Anwendbarkeit des tertium non datur: A ist entweder wahr oder falsch, ein Drittes gibt es nicht - könnte nur als Axiom gelten, wenn es denn allgemein einsichtig wäre, was offensichtlich nicht der Fall ist, wie der mathematische Grundlagenstreit_beweist ;-). Allgemein einsichtig ist wohl, daß man jeweils nur versuchen kann, Aussagen als wahr oder falsch zu erweisen. Das kann glücken und kann scheitern. Es hat nun den Anschein, als ob viele  MathematikerInnen einen "Zaubertrick" pflegten, der indirekter Beweis heißt, der eine allgemeine Gültigkeit des tertium non datur für alle mathematischen Objekte, ihre Merkmale und Beziehungen voraussetzt. Das kann man zwar beschließen, aber ob die Tatsachen immer den Beschlüssen gehorchen, mag doch - gerade auch in der Mathematik - sehr bezweifelt werden. Ein solches Dogma erscheint doch eher zweifelhaft, wissenschaftsfremd und daher im Grunde eigentlich unmathematisch. Andererseits weist Erhard Schmidt in seiner Rektoratsrede "Über Gewißheit in der Mathematik", 1930, (Meschkowski 1990, S. 242), in der er sich mit der intuitionistischen Position und dem Grundlagenstreit auseinandersetzt, darauf hin (farbig unterlegte Hervorhebung durch mich):
 

    "Die intuitionistischen Angriffe lassen sich nicht widerlegen. Aber ein gewisses Gefühl sagt dem mathematischen Bewußtsein, daß man bei einem Beweise unter uneingeschränkter Benutzung des Tertium non datur vielleicht gewisse Behauptungen passieren muß, deren Sinn ungeklärt ist, aber niemals zu verifizierbar falschen Resultaten gelangen wird - ein Gefühl, das von der Erfahrung bestätigt wird.
 

Denn in der gewöhnlichen klassischen Mathematik, die sich, wie schon gesagt, uneingeschränkt des „Tertium non datur" bedient, ist noch nie ein verifizierbarer Fehler zutage getreten.

Aber in das Reich der Mathematik haben Gefühl und Erfahrung ohne den Paß eines Beweises keinen Zutritt, Plausibilität und Denkgewöhnung sind keine zureichenden Ausweise."

Haben die "Klassiker" doch recht und die Auseinandersetzung um die Gültigkeit des Tertium non datur ist 'nur' ein intuitionistisch-mathematischer Sturm im Wasserglas?

Anmerkung:
Hilbert: Beweis des Tertium non datur: http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002508443.
Ackermann, Wilhelm (1925) Begründung des ,,tertium non datur" mittels der Hilbertschen Theorie der Widerspruchsfreiheit. Mathematische Annalen / Zeitschriftenband (1925)  / Artikel / 1 - 36: http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002270129.
 

Gefährliche Regionen und Prozeduren: wo sich besondere Vorsicht empfiehlt
 

Wie es scheint, gibt es einige kritische Gebiete, die auch von allgemeinem Beweis- Interesse sind, wo besonders aufzu- passen ist: 1) strenges Auseinanderhalten von Objekt- und Metaebenen auch bei der Begriffsbildung (z.B. Allmenge).  2) Strikte Unterscheidung von alle und jeder. 3) Antinomisch- paradoxe Problematik des Reflexivitätsbegriffs (kann etwas Teilmenge von sich selber sein; eine Menge sich selbst "enthal- ten"?). 4) Aussagen über Unendliches oder/ und nicht tatsäch- lich Konstruier- oder Widerlegbares. 5) Aussagen, die Gebiete betreffen, in denen es womöglich Lücken gibt; die nicht über- schaubar sind. 6) Aussagen über Gegenstandsbereiche, die nicht vollständig disjunkt oder nicht kontradiktorisch (sondern z.B. konträr) sind (das Problem kann auch bei Lücken und an allen Rändern oder Grenzen auftreten).

Beispiele: Allmenge, Unendliches   Pseudodisjunkt: Entweder a>0 oder a<0   Gibt es eine größte (kleinste) Zahl (im Intervall i)?  Diese Suggestivfrage ist sehr problematisch. Denn die Grenzlinie zwischen A und B kann sowohl zu A als auch zu B, also zu beiden gehören. Eine tertium non datur  Forderung wäre mit dieser Deutung falsch.

Querverweis: Aus dem Wörterbuch der Logik: konträr und kontradiktorisch.
Querverweis: Materialien zur Kontroverse um das Unendliche * Unendlich Begriffe * Cantor-Probleme *

Brouwers Denkweise und Argumentation nach Dirk von Dalen (1992)

Mann oder Nicht-Mann, das ist hier die Frage
Gehen wir von einer naiven LogistikerIn aus und nehmen wir an, für diese gäbe es nur zwei Geschlechter (was nicht stimmt: IL): Mann und Frau. Die ursprüngliche Behauptung sei: X. ist ein Mann. Nach der Rezeptologie des indirekten Beweises verneinen wir diese Behauptung und treffen die Annahme: (1) X. ist kein Mann, also eine Frau. (2) Angenommen wir hätten nun bewiesen, (1) führe zu einem Widerspruch (weil wir z.B. das Geschlechtsmerkmal 'Hoden' gefunden haben). (3) Dann 'wissen' wir nach dem tertium non datur des indirekten Beweises: {"X. ist kein Mann = eine Frau" ist falsch}. (4) also sagen wir: "X. ist ein Mann", obwohl sie/ er vielleicht Hermaphrodit oder sonst was ist, jedenfalls weder das eine noch das andere.
    Das Beispiel könnte lehrreich sein, weil schon die Grundannahmen offenbar - didaktisch bewußt - falsch gewählt wurden, was aber immer leicht möglich ist, wenn wir einen Gegenstandsbereich nicht richtig kennen. Daß es nur zwei Geschlechter gibt, gilt eben nur allgemein und oberflächlich betrachtet. D.h. aber im Prinzip, wenn wir die Welt nicht richtig und schon gar nicht vollständig kennen, was meist der Fall sein dürfte, dann dürfen wir auch keine Annahmen dergestalt machen, daß die Merkmalswelt in genau zwei Klassen, M+ und M- erschöpfend und vollständig zerfällt.

Idee für die Legitimation der Anwendung des Tertium non datur
Die Grundvoraussetzung ist, dass es genau und nur zwei Wahrheitswerte "wahr" und "falsch" gibt, kein dazwischen, kein weder noch, kein unentschieden, kein non liquet.

Erste Bedingung vollständige Disjunktion
Das vorherige Beispiel führt zu einer "konstruktiven" Idee, wann das tertium non datur gerechtfertigt sein könnte. Dann nämlich, wenn der Merkmalsbereich genau und vollständig erschöpfend in zwei echte Merkmals-Klassen, M+ und M- zerlegt werden kann, wenn also eine vollständige Disjunktion gilt, z.B.: Jede natürliche Zahl ist entweder gerade oder ungerade. Kann man für eine Zahl n zeigen, daß sie nicht gerade sein kann, darf zu Recht geschlossen werden, sie muß ungerade sein.
 

Wendet man diese Idee auf den Primzahlbeweis von Euklid an, müßte der indirekte Schluß hier erlaubt sein, wenn jede natürliche Zahl entweder Primzahl oder keine Primzahl ist und es ein Drittes nicht gibt: wenn sich also die natürlichen Zahlen vollständig und erschöpfend in die zwei Klassen aufteilen lassen: Primzahlen und Nicht-Primzahlen.

Behauptung: Der allgemeine Schluß, aus nicht-wahr (nicht-falsch) folge real falsch (wahr), ist falsch. Aus nicht-wahr (nicht-falsch) folgt real gar nichts, außer der Tautologie, nicht-wahr (nicht-falsch) ist nicht-wahr (nicht-falsch). Das Beispiel, entweder gilt: a>0 oder a<0, demonstriert unmittelbar, daß hier keine vollständige Disjunktion vorliegt und daher falsch sein muß (für a=0). Nun kann man zwar eine zweiwertige Logik mit dem Axiom des tertium non datur als Modell einer Welt zugrundelegen, ob aber dieses Modell im jeweiligen betrachteten Fall sinnvoll und gerechtfertigt ist, das wäre zu zeigen. Daß eine Aussage in allen möglichen Welten wahr oder falsch sein muß, gemahnt daher nicht an Wissenschaft, sondern an Metaphysik und Theologie. Im Grunde wäre dies ein Forschungsgebiet für die allgemeine Wissenschaftstheorie aber auch für die jeweiligen Fachwissenschaften: unter welchen Bedingungen darf man das teritium non datur anwenden und wo nicht?

Anmerkung: Beweisidee wie man die Allgemeingültigkeit des Tertium non datur widerlegen könnte
Könnte man beweisen, daß wir nicht alle Eigenschaften a) der Zahlen und b) ihrer Beziehungen kennen und unser Wissen Lücken hat, sollte bewiesen sein, daß das tertium non datur nicht allgemein gültig sein kann und darf, nämlich überall dort nicht, wo unser Wissen - oder auch unsere Definitionsmacht - Lücken hat.

Zweite Bedingung: der Aussageobjektbereich muss existieren
Wenn X nicht tot ist, lebt X. = Wenn X nicht tot ist, dann ist X nicht nicht tot.
Diese Aussage oder ihre Umkehrung ist nur dann war, wenn es X gegeben hat oder gibt.

Wenn A nicht schlecht drauf ist, dann  ist A nicht nicht schlecht drauf = Wenn A nicht schlecht drauf ist, ist A gut drauf. Diese Aussage oder ihre Umkehrung ist nur dann war, wenn es A gegeben hat oder gibt.

Dritte Bedingung: Das Aussageobjekt darf nicht nichtperiodisch unendlich sein
Wenn x gerade ist, dann ist x nicht ungerade.
Das lässt sich im nichtperiodischen Ziffernfall nur entscheiden, wenn man eine endliche Integer bilden kann. Bei irrationalen Zahlen kann man daher nie wissen, ob sie gerade oder ungerade sind.

Bisheriges Ergebnis zum Tertium non datur
Das tertium non datur kann angewendet werden, wenn der der Prädikatsbereich eine vollständige Disjunktion erlaubt, das Aussageobjekt existiert (hat) und nicht nichtperiodisch unendlich ist.
 

Psychologischer Exkurs: Konträres und Kontradiktorisches
Möglicherweise erschwert eine Eigentümlichkeit unserer Sprache und Alltagslogik den Umgang mit dem Tertium non datur, nämlich das Phänomen [konträrer und kontradiktorischer] Gegensätze (Widersprüche). Wer nicht unser Freund ist, ist unser Feind, so tönte vor einiger Zeit Präsident G. W. Bush, jun. mit dem Tenor Tertium non datur. Was nicht schwarz ist, muß deshalb noch nicht weiß sein. Wahr und falsch können sowohl in konträrer als auch in kontradiktorischer Bedeutung Anwendung finden. Konzipiert man es kontradiktorisch, ist zu zeigen, daß die [Welt], auf die es angewendet wird, entsprechend kontradiktorisch 'aufgebaut' ist bzw. modelliert wird.

Hilbert: Beweis des Tertium non datur: Digitalisierungs-Zentrum Uni Göttingen.
Hilbert: Axiomatisches Denken (Vortrag in Zürich am 11.9.1917. Digitalisierungs-Zentrum Uni Göttingen.

Vollständige Induktion (Felgner 2012)
Vorab: Der Ausdruck ist unglücklich und irreführend, da die mathematisch vollständige Induktion nichts mit dem induktiven Vorgehen in den empirischen Wissenschaften zu tun hat. Nach Auffassung der Mathematiker ist es ein deduktives Verfahren. Das Prinzip oder die Beweisregel der sog. vollständigen Induktion ist eine spezifisch-typisch mathematische Methode. Sie ist nicht einfach zu verstehen, wenn auch oft das Gegenteil behauptet wird. Die Beweisregel der vollständigen Induktion wird meist wie folgt formuliert (> siehe):

1. Man zeige, dass die Behauptung für 1 gilt.
2. Man zeige, dass die Behauptung für n+1 gilt unter der Voraussetzung, dass sie für n wahr ist.

Ist das Verfahren zirkulaer ?
Die Regel 2 mutet zirkulär an, denn man will ja nicht beweisen, dass n+1 gilt unter der Voraussetzung, dass es für n richtig ist, sondern dass es allgemein für n richtig ist, was in dieser Beweisregelformulierung aber ausdrücklich vorausgesetzt wird. Überspitzt: Man beweist dann, dass etwas richtig ist, was man als richtig vorausgesetzt hat. Diese Frage wird in den von mir eingesehenen Ausführungen nirgendwo erörtert oder problematisiert, obschon sie ja von der Formulierung des Beweisverfahrens auf der Hand liegt. Das finde ich merkwürdig und ein wenig beunruhigend. Solange ich keine nachvollziehbare Erklärung für dieses Problem gefunden habe, sehe ich die bisher von mir eingesehehen Begründungen als unzureichend an. Meine eigenen Überlegungen hierzu sind noch nicht genügend entwickelt.

Irritationen um die Beweisbarkeit des Axioms
Obwohl meist gesagt wird, das vollständige Induktionsprinzip sei ein Postulat oder Axiom, wird mancherorts auch behauptet, es sei beweisbar (> Versuche). Man fragt sich dann natürlich, wozu man ein Axiom braucht, wenn der Satz beweisbar ist?

Versuche, die vollstaendige Induktion zu beweisen
Felgner (2012) berichtet von Frege und Dedekind, ich habe selbst Versuche gefunden bei Thiele S. 132; oder in Behnke et al. S. 172 für endliche Mengen. Felgner berichtet auch, dass sich Peano aus dem Streit, ob das Prinzip der vollständigen Induktion beweisbar ist oder nicht, herausgeholten habe.

Formulierungen der vollstaendigen Induktion

Aus Der kleine Duden Mathematik (1986), S. 448t:

Felgner (2012) formuliert das Prinzip der vollständigen Induktion wie folgt:

Beispiel Summenformel s=n(n+1)/2
Im Internet gibt es mehrere Beispielsammlungen, die man mit Suchmaschinen leicht finden kann. Ich gebe inzwischen ungern Links an, weil die URL-Adressen sehr häufig sehr instabil sind, keine Weiterleitungen vorsehen und daher vielfach Fehlermeldungen 404 hervorrufen, an denen ich nicht interessiert bin.

Beispiel zur Summenformel aus Schwarz (1975) -  wo auch das Prinzip erläutert wird.
5.1 in diesem Text 1+2+3+...+n = n(n+1)/2

• unzulässiges Argumentieren mit Beispielen,
• Verwendung gleicher Symbole zur Bezeichnung verschiedener Dinge,
• Hantieren mit nicht exakt oder widersprüchlich definierten Begriffsbildungen,
• unzulässige Gedankensprünge beim Schlussfolgern und
• Ausnutzung von bis dahin noch unbewiesenen Behauptungen zur Begründung von einzelnen Beweisschritten.

Anmerkung: Im  Wörterbuch der Logik  sind viele Beweisregelfehler aufgeführt.

Die Bedeutung der Gödel'schen Sätze faßt kurz und bündig nebst den Folgerungen Konforowitsch (dt. 1983) in seinem Buch Logischen Katastrophen auf der Spur [S. 34] zusammen:
    "Unerwartet und außerordentlich wichtig für die logische Begründung der Mathematik waren zwei berühmte Sätze des österreichischen Mathematikers KURT GÖDEL, die im Jahre 1931 veröffentlicht wurden (s. auch NAGEL/NEWMAN (1979), MESCHKOWSKI (1985) und PETER (1984)).
    Der erste Satz behauptet: Jede formalisierte und widerspruchsfreie axiomatische Theorie, die die Arithmetik umfaßt, ist unvollständig, das heißt, es existiert stets eine Aussage dieser Theorie, die inhaltlich wahr ist, aber nicht aus den Axiomen der Theorie abgeleitet werden kann.
    Der zweite Satz behauptet: Es ist nicht möglich, die Widerspruchsfreiheit einer formalisierten und widerspruchsfreien axiomatischen Theorie, die die Arithmetik umfaßt, mit Mitteln zu beweisen, die sich in dieser Theorie formalisieren lassen.
    Folgerungen aus den GÖDELschen Sätzen waren sehr unerwünscht für solche Gelehrten, die den Versuch unternahmen, die Widerspruchsfreiheit axiomatischer Theorien, zum Beispiel der Arithmetik der natürlichen Zahlen, mit besonders elementaren Mitteln zu beweisen. Es stellte sich heraus, daß die axiomatische Methode in der Wissenschaft nicht allmächtig ist."

Exkurs I. Mathematischer und empirischer Beweis
Es heißt: Sätze, die in der Mathematik (richtig) bewiesen sind, gelten - oft in den scheinbaren Gegensatz zu den empirischen Gesetzen gestellt - immer und für alle Zeiten. Stimmt das überhaupt [Lakatos bestreitet dies] ? Und falls, was bedeutet es und wie kommt das? Nun, ich behaupte: sofern es stimmte, wäre es trivial. Und sofern man die Voraussetzungen, die man in der Mathematik trifft, in die empirische Welt übertrüge, stimmte es dort auch. Das liegt schlicht und einfach daran, wenn man in der Mathematik bezüglich der Voraussetzungen unveränderliche Systeme betrachtet (Aber: Grundlagenstreit). Wenn also die Voraussetzungen und die Beweisregeln konstant bleiben, wieso sollte sich dann jemals etwas an den Sätzen, die geschlußfolgert wurden, ändern? Genauso kann man natürlich im Bereich der empirischen Wissenschaften argumentieren: wenn die Naturgesetze und die Erkenntnismethoden konstant bleiben, wieso sollte sich dann an den abgeleiteten Aussagen jemals etwas ändern? So gilt, ganz im Sinne der einheitswissenschaftlichen Idee: Wenn sich nichts ändert, ändert sich nichts und wenn sich was ändert, ändert sich was, und das ist in der Mathematik nicht anders als in den empirischen Wissenschaften oder im Alltag.

Exkurs II: Das Drama der MathematikschülerInnen
 

Reine oder richtige Mathematik lernen heißt gewöhnlich, beweisen lernen und genau das lernt die Mehrheit der MathematikschülerInnen nie. Doch schlimmer noch. Vielen wird jegliches Interesse für die Mathematik regelrecht ausgetrieben und damit nicht selten auch ein wichtiges Stück Selbstwertgefühl . Woran liegt das? Und muß das so sein, kann und sollte dies geändert werden und falls wie? Stella Baruk spricht sich leidenschaftlich für eine Änderung des Mathematikunterrichts aus und plädiert für die pädagogische und didaktische Nutzbarmachung der Fehler und Irrtümer, für eine andere Sprache und Haltung den SchülerInnen gegenüber.

Exkurs III: Das große Problem der Mathematisierung der Welt

Wird die Welt berechenbarer, die Wissenschaft exakter und erfolgreicher dadurch, daß Mathematik angewendet wird? Die Antwort heißt ganz klar Jein. Es gilt wohl sicher für die Naturwissenschaften, allen voran für Astronomie und Physik, Chemie, Biologie, Medizin in ihrer naturwissenschaftlichen Basis, Meteorologie, aber auch für die aus den Naturwissenschaften gewonnene Technik.
    Gilt es aber auch für die Sozialwissenschaften, etwa für das Recht, die Ökonomie, Soziologie und Psychologie? Sicher Nein. Woran liegt das?
 

Durch den Erfolg in Naturwissenschaft und Technik sind die verantwortlichen MathematikerInnen  träge, nachlässig oder sogar blind für das grundlegende Problem geworden:
 

So weit mir für die Psychologie bekannt ist, sind solche Modelle nur im Rahmen allgemeiner  [Meßtheorie] - die auch wieder kaum jemand versteht - entwickelt worden.

• ONE HUNDRED AND TWO PROBLEMS IN MATHEMATICAL LOGIC.

• Aus der dramatischen Geschichte des [Parallelenpostulats] ergeben sich unzählige falsche Beweise. [Klügel] allein fand ja schon im Auftrag [Kaestners] in seiner meist wohl zu Recht gerühmten Dissertation 28 und ausschließlich fehlerhafte 'Beweise'.
• Poincaré [1914, S. 175] greift die "angeblichen Beweise für das Prinzip der Induktion, insbesondere diejenigen von Whitehead und Burali-Forti" an. Aber auch schon vorher, S. 154 (g e s p e r r t hier kursiv), zu einer Arbeit Hilberts 1904: "Der Schluß der Hilbertschen Abhandlung ist völlig rätselhaft, und wir wollen darauf nicht weiter eingehen. Die Widersprüche häufen sich; man merkt, wie der Verfasser eine unbestimmte Ahnung der von ihm begangenen petitio principii hat, und wie er sich vergeblich bemüht, die Lücken seiner Schlußfolgerung zu überbrücken. Das Resultat dieser Darlegungen können wir in folgender Form aussprechen: In demselben Augenblick, in dem Hilbert beweisen will, daß die Definition der ganzen Zahl durch das Axiom der vollständigen Induktion keinen Widerspruch enthält, versagen ihm die Kräfte, wie sie bei Russell und Couturat versagten, weil die Schwierigkeit zu groß ist."
• Church. Guerrerio  (2002, S. 63 ): "Zwischen Herbst 1933 und Frühjahr 1934 erwies sich ausgerechnet das System von Church als nicht widerspruchsfrei."
• Cohen. Mehrere kleine, aber behebbare Fehler in Cohens Beweis zur Kontinuumshypothese (Dawson 1999, S. 194)
• Frege. Russell entdeckt die "Russell'sche Antinomie bei Frege.
• Gauß, C.F. Pieper (1984 , S. 198) berichtet: "Einleitend stellte GAUSS die Mängel der Beweisversuche seiner Vorgänger D' ALEMBERT, EULER, DE FONCENEX und LAGRANGE dar. GAUSS war sich darüber im klaren, daß auch er ein (lückenhaftes) Argument der algebraisch-geometrischen Anschauung entnommen hatte." In der zugehörigen Fußnote wird erläutert: "Der Beweis 'ist im Prinzip richtig, aber nicht vollständig' (F. KLEIN)."
• Gödel. Beweisfehler bei Gödels zahlreichen Varianten zum Beweis der Kontinuumshypothese (Dawson 1999, S. 205)
• Hensel, Kurt. Nach Reichardt in Pieper, Hans (1974, S. 199). Zahlen aus Primzahlen. Berlin: DVdWiss.: "... zumal er auch noch mit seinen p-adischen Zahlen Transzendenzbeweise für e und kompliziertere Zahlen erbrachte, die nun wirklich falsch waren.".
• Hilbert. Existenzbeweise als "Theologie", so Paul Gordan über einen Beweis Hilberts.
• Hilbert.  Frege kritisiert Hilberts Vermischung von Definition, Satz und Axiom (Brief an Heinrich Liebmann 29.7.1999)
• König, J.. Fehler im Beweis zur Widerlegung der Kontinuumshypothese von König bei seinem berühmten Vortrag 1904.
• Lamé. Liouville entdeckt Fehler im 'Beweis' zum großen Fermatschen Satzes von Lamé (1847).
• Lebesgue: In Hausdorffs Studien zur Dimensionstheorie hrsg. von H. Herrlich, M. Husek, G. Preufi ( S. 845) wird ausgeführt. " Erste Zusammenhänge zwischen Dimension und Überdeckungen sind bei H. LEBESGUE ([Leb 1911]) zu finden, wobei allerdings nur Teilmengen des |Rⁿ betrachtet werden. Auch hatte LEBESGUES Arbeit zum Ziel, die Invarianz der Dimension (s. I)) zu beweisen, was jedoch zunächst nicht gelang, da der Beweis einen Fehler enthielt, worauf BROUWER in [Bro 1913] hinwies, und der erst zehn Jahre später von LEBESGUE in [Leb 1921] behoben wurde."
• Leibniz. Frege ("Grundzüge d. Arithmetik", S. 17: "Leibnizens Beweis von 2+2=4 hat eine Lücke".
• Lindemann. Fraenkel [äußert] sich ziemlich abfällig über Lindemanns - dem immerhin einer der großen (Beweise) in der Mathematikgeschichte gelang - Beweiskunst: "Bekannt wurde er durch seine wiederholten, in Aufsätzen und einer Monographie niedergelegten, ausnahmslos fehlerhaften Versuche, den 'Letzten Fermatischen Satz' zu beweisen."
• Neumann, C.G. (1870) Beweislücke (nach Schlote; 1887 geschlossen).
• Neumann, John von (1932).  "1964 zeigte John Bell wo die Beweise von von Neumann, Gleason und Jauch und Piron fehlerhaft waren. Das Manuskript erschien allerdings erst 2 Jahre später (J. Bell, 'On the problem of hidden variables in quantum mechanics', Rev. Mod. Phys. 38 , 447 (1966).). Er entwickelte auch gleich ein Modell verborgener Variablen für einen Spin 1/2 (J.S. Bell, 'On the Einstein Podolsky Rosen paradox', Physics 1 , 195-200 (1964).). Das Ziel eines solchen Modells besteht darin, für eine beliebige Richtung des  Analysators das Resultat der Messung mit Bestimmtheit vorauszusagen, wobei das Teilchen durch seinen Zustandsvektor Y und zusätzliche verborgene Variablen beschrieben wird." [D. Suter WS 1998/99 PDF 404]
• Poincarés preisgekroente Arbeit (die einen "Oskar" -  Name des Königs von Schweden - brachte), die er 1989 eingereicht hatte, enthielt einen schweren Beweisfehler, der ihm erst bei der Überarbeitung so richtig deutlich wurde. Dieser Fehler war von den Jury (Mittag-Leffler, Hermité, Weierstraß) nicht bemerkt und erst bei den Druckvorbereitungen für die Acta mathematica einem Assistenten Mittag-Lefflers, Phragmén, aufgefallen. Die Vorauslieferungen wurden zurückgeholt und die Auflage eingestampft. Poincaré fand schließlich die Fehler und konnte ein Jahre die später die ganze Welt mit seiner Arbeit, die den Satz der Wiederkehr enthielt, Chaostheorie und Schmetterlingseffekt begründete, beeindrucken. Die peinliche Angelegenheit konnte bis Wissenschaftshistoriker den Nachlass von Mittag-Leffler durchforsteten und die Originalarbeit zum Vergleich gefunden wurde, vertuscht werden. Positiv sollte man nicht übersehen, dass gründliche Lücken- und Fehleranalyse großartige Resultate hervorbringen kann. Ausführliche Quelle: Szpiro, George G. (2009) Das Poincaré-Abenteuer. In (83-104) Denkanstöße 2009. Ein Lesebuch aus Philosophie, Kultur und Wissenschaft. München: Piper.
• Ruffinis Lücke durch Abel (1824) geschlossen: "Er hat seine Gründe dafür nie erklärt, und man mag sich fragen, was ihn dazu bewogen hatte. 1824, zwei Jahre nach Ruffinis Tod, veröffentlichte Abel seinen ersten Beweis der Unauflösbarkeit der Gleichung fünften Grades, der in vielen Belangen sehr nahe an Ruffinis Beweis liegt, allerdings eine wichtige Lücke schließt, die Ruffini nicht bemerkte. 1826 fiel Abel dann eine Zusammenfassung von Ruffinis Arbeiten in die Hände, und in seinem letzten, posthum veröffentlichten Artikel, erkennt Abel Ruffinis Leistung an: "Der erste und, falls ich mich nicht irre, einzige, der vor mir versucht hat, die Unmöglichkeit einer algebraischen Auflösung der allgemeinen Gleichung zu zeigen, ist der Geometer Ruffini. Doch sein Artikel ist so kompliziert, daß es sehr schwierig zu entscheiden ist, ob seine Schlußweise korrekt ist oder nicht. Mir scheint es, als sei seine Beweisführung nicht immer befriedigend.“ [Nach Sekundärquelle Pesic (2005, S. 88)].
• Russell: "Ich glaubte, daß Gewißheit in der Mathematik eher zu finden ist als anderswo. Doch ich entdeckte, daß viele mathematische Beweisführungen, welche meine Lehrer mir beibringen wollten, voller Trugschlüsse waren ..." Anmerkung: Church glaubte, so Guerrerio  (2002, S. 62), daß sich in den PM von Whitehead & Russel mehrere Widersprüche und Fehler verbergen. Von Russell gibt es noch eine andere und merkwürdige Generalkritik an der Mathematik: "Die Mathematik ist die Wissenschaft, bei der man nicht weiß, wovon sie redet, noch ob richtig ist, was man sagt." [Quelle: The international Monthly,  vol 4 (1901), p. 84]
• Steinersche Beweis Hilbert (1988) berichtet u.a. in Irrtümer in der Mathematik (S. 34-45; S. 37): "Lange ist der Steinersche Beweis für korrekt gehalten worden, da seine Methode viel von Dirichlet und Riemann angewandt wurde. Die Aufdeckung dieses grundlegenden Irrtums ist das Verdienst von Weierstrass." Anmerkung: Hilbert entwickelt in dieser Vorlesung auch eine psychologisch und wissenschaftssoziologisch interessante Fehlertheorie.
• Tschebyschow 1887. Beweislücken beim Zentralen Grenzwertsatz, verbessert Markow 1898, vollständig Ljapunow 1901.
• Perelemans Beweis der Poincaré Vermutung. Novost vom 25.8.6 [Q] führt aus: "Es liegt mir fern, das Mathematikermilieu zu idealisieren. Dort werden vielleicht noch schlauere Intrigen gesponnen als um die Ballerina Anastassija Wolotschkowa im Bolschoi-Theater. Als Grigori Perelman 2002 seinen ersten Beitrag zum Problem der Poincaré-Vermutung veröffentlichte, zweifelte er bestimmt auch selbst an der Richtigkeit seiner Beweise. Ein Genie zweifelt immer, eine Mittelmäßigkeit nie. Und vier lange, qualvolle Jahre wartete er auf das Wichtigste: die Anerkennung der Richtigkeit seiner Beweise. Wie wir sehen, hatten es seine Kollegen beziehungsweise Opponenten nicht eilig. Die Entscheidung unterschrieben drei führende Mathematiker der Welt: Tien, Kleiner und Lott. Die Formulierung zeugt davon, dass sie sich und ihrem wissenschaftlichen Ruf absolut nichts vergeben haben. Sinngemäß heißt es darin: Trotz einiger geringfügiger Ungenauigkeiten und selbst kleiner Fehler sind Perelmans Beweise korrekt."

Hinzu kommt der bis heute nicht ausgestandene Grundlagenstreit und viele, viele Verständnis- und Bedeutungsprobleme ([Korrelation], [Signifikanz-Statistik]) in der Schule und Anwendung. Seit [Cantors] Höllenparadies, der [Meschuggeisierung des Zählens] und der Mathematisierung der "Welt" - in den Sozialwissenschaften mit meist nicht erfüllten Voraussetzungen - scheint die Mathematik ihren großen Nimbus absoluter Sicherheit und Zuverlässigkeit zunehmend einzubüßen. Die Kluft zwischen Theorie und nicht- naturwissenschaftlich- technischer Praxis wird immer größer.

 
"Die Euklidische Methodenlehre hat einen gewissen verbindlichen Darstellungsstil entwickelt. Ich werde ihn den ,deduktivistischen Stil' nennen. Dieser Stil beginnt mit einer sorgfältig zusammengestellten Liste von Axiomen, Hilfssätzen und/ oder Definitionen. Die Axiome und Definitionen erscheinen häufig gekünstelt und geheimnisvoll verwickelt. Niemals wird mitgeteilt, wie diese Verwicklungen zustandekamen. Der Liste der Axiome und Definitionen folgen in sorgfältiger Wortwahl die Sätze. Diese sind beladen mit umständlichen Bedingungen; es erscheint unmöglich, daß irgendjemand sie jemals erraten hat. Dem Satz folgt der Beweis.
    Der Mathematikstudent ist nach dem Euklidischen Ritual dazu verpflichtet, dieser Darbietung eines Zauberkunststückes beizuwohnen, ohne eine Frage zu stellen, sei es zum Hintergrund, sei es zur Durchführung einer kleinen Nebenüberlegung. Falls der Student zufällig entdeckt, daß einige dieser ungefügen Definitionen beweiserzeugt sind, falls er sich einfach wundert, wie diese Definitionen, Hilfssätze und der Satz eigentlich dem Beweis vorangehen können, dann wird ihn der Zauberer wegen dieser Zur-Schau-Stellung seiner mathematischen Unreife ächten [FN255].
    [FN255: Einige Lehrbücher behaupten, daß sie beim Leser keinerlei Vorkenntnisse voraussetzen, sondern lediglich eine gewisse mathematische Reife. Das bedeutet häufig, daß sie vom Leser erwarten, daß ihn die Natur mit der .Fähigkeit' ausgestattet hat, einen Euklidischen Beweisgang ohne ein unnatürliches Interesse am Problemzusammenhang, an der Heuristik des Beweisganges hinzunehmen.] " [siehe bitte auch]

Gerne werden Beweise oder Beweisteile dem Leser "überlassen", nicht selten wird auch verzichtet durch Formulierungen, "wie man leicht sieht" oder "wovon sich der Leser leicht überzeugen kann" oder es wird suggeriert, das sich eine Folgerung "sofort" ergibt. Besonders "motivierend" sind auch Hinweise, dass sich weitere Ausführungen erübrigen, weil ein Sachverhalt angeblich "trivial" sei, anscheinend ist "Trivialität" ein großes Übel, das nur ganz schwer überwunden werden kann. Die eigene Bequemlichkeit, manchmal vielleicht sogar Unvermögen wird auch gerne pädagogisch kaschiert, indem dem Leser mitgeteilt wird, dass er zur Übung dieses oder jenes selbst beweisen solle.

• Ackermann, Wilhelm (1925) Begründung des ,,tertium non datur" mittels der Hilbertschen Theorie der Widerspruchsfreiheit. Mathematische Annalen / Zeitschriftenband (1925)  / Artikel / 1 - 36:
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• Allgemeine Mathematik-Internet-Quellen: hier.
• Euklid: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/Euclid.html.
• Allgemein mit vielen Hinweisen und Links: http://www.mathematik.de/.
• Beweis (Mathematik): http://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_(Mathematik).
• Beweisen im Mathematikunterricht: Zum Begründungsverständnis von Abiturientinnen und Abiturienten: http://www.math.uni-oldenburg.de/didaktik/beweisen/.
• Beweis des Mittelwertsatzes: http://home.arcor.de/enibuddy/mathe/mittel1.htm.
• Wann ist ein Beweis ein Beweis? Von ERICH CHRISTIAN WITTMANN und GERHARD MÜLLER, Dortmund: Der indirekte Beweis: didmath uni-erlangen Material indbew.
• matheplanet: http://www.matheplanet.com/matheplanet/.
• Beweis zur Summen-Score-Funktion (Rührig, Wiesent).

Fraenkel über von Lindemanns Beweiskunst

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Aber: Grundlagenstreit John D. Barrow teilt in seinem interessanten Buch mit (S. 344f): "Im Westen sorgte Errett Bishops Arbeit mit dem Titel Foundations of Constructive Analysis 1967 für ein erneutes Interesse an der konstruktiven Mathematik. Die Gründe sind interessant. Erstens war Bishop ein angesehener Mathematiker, der in der Mathematik mit herkömmlichen Beweismethoden gearbeitet hatte. Er stellte seine Ideen in einer klaren und lesbaren Form dar, die [<344} jeder Berufsmathematiker verstehen konnte. Zweitens strafte sein Buch die Behauptung Lüge, daß der Konstruktivismus die Mathematik vieler der ihr liebsten Güter berauben würde. Bishop zeigte, daß sich ein sehr großer Teil der herkömmlichen Mathematik dem Fundus konstruktivistischer Wahrheiten hinzufügen ließ, wenn man nur einfallsreich genug war. Drittens war Bishops Werk Mathematik und nichts als Mathematik. All die philosophischen und mystischen Elemente aus Brouwers System waren darin nicht mehr enthalten, und außerdem war Bishop zweifellos ein sympathischer Mensch. Bishop entwickelte den konstruktiven Ansatz nachgerade in der Absicht, unbeweisbare philosophische Überlegungen aus der Mathematik herauszuhalten. In der Einführung zu seinem Buch macht er die berühmte Bemerkung: 'Die Mathematik gehört zu den Menschen, nicht zu Gott. Wir sind nicht an den Eigenschaften der positiven Zahlen interessiert, die für den endlichen Menschen keine deskriptive Bedeutung haben. Wenn ein Mensch beweist, daß eine positive ganze Zahl existiert, sollte er wissen, wie er sie finden kann. Wenn Gott seine eigene Mathematik hat, die getan werden muß, soll er es selber tun.' Der letzte und interessanteste mögliche Grund für die Resonanz von Bishops Buch ist, daß es zu einer Zeit erschien, als sich der Computer für Mathematiker und Wissenschaftler zu einem wichtigen Instrument entwickelte. Man erlebte, wie Rechner große und schwierige Probleme lösten, indem sie eine endliche Folge deduktiver Schritte für Eingaben ausführten, die ausschließlich aus Zahlen bestanden. Diese Neuerungen hinterließen ihre Spuren bei Bishop, der daraufhin die Mathematik als eine «gehobene Programmiersprache sah, in der sich Beweise abfassen ließen. Mit Existenzbeweisen sollten dann ganz natürlich Algorithmen einhergehen.» Bishop glaubte, mathematische Objekte seien in dem Sinn völlig objektiv, daß jeder mathematische Satz sich in eine verifizierbare oder berechenbare Aussage über Zahlen übersetzen läßt. Wenn alle Konstruktionen von Hand ausgeführt werden [<345] müßten, könnte sich die praktische Durchführbarkeit als entscheidendes Hindernis erweisen, aber die Aussicht auf rasche elektronische Durchführung der Schritte enthebt uns dieser Sorge. Zumindest veränderte sich die Einstellung der Mathematiker hier wesentlich. Als immer mehr Mathematiker begannen, Computer zu verwenden, übernahmen sie damit auch unbewußt die Auffassung, daß mathematische Existenz «berechenbare Existenz» beinhaltet. Bishop versuchte also, Mathematiker in eine Richtung zu drängen, in die die Welle des technischen Fortschritts sie ohnehin schon spülte. Brouwer dagegen hatte versucht, gegen den Strom zu schwimmen. In der Zeit vor dem Krieg konzentrierte sich die Mathematik auf die erfolgreichen Schöpfungen Mengentheorie, transfinite Zahlentheorie und Logik, die ihrem Wesen nach alle nicht konstruktiv waren. [FN Ich habe mich oft gefragt, was Brouwer mit den Entdeckungen von Turing und anderen zur Berechenbarkeit angefangen hat, aber meine Suche in Brouwers Arbeiten und Biographien haben keinerlei Hinweise auf irgendwelche persönlichen Begegnungen oder einen Gedankenaustausch ergeben.] Man ist versucht zu sagen, daß Bishop zeitgemäß war, aber natürlich «wählte» Bishop nicht etwa die günstigste Zeit. Bishop wurde durch das Aufkommen der algorithmischen Denkweise beeinflußt, und dies, so könnte man vermuten, führte ihn dazu, sich auf die neue Bedeutung konstruktiver Methoden zu konzentrieren."
    Ausführlich zum Grundlagenstreit in der Mathematik.
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Cranz schreibt noch 1895 (S. 20) Paul du Bois-Reymond zitierend: "Noch heute erscheinen in der 'unfehlbarsten aller Wissenschaften' kaum zwei Lehrbücher hinter einander, die, wenn sie auf die Grundbegriffe näher eingehen, nicht auf das Schroffste sich widersprächen."
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Dawson, John W. (1999). Das logische Dilemma. Leben und Werk von Kurt Gödel. Berlin: Springer.
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Fehlertheorie Hilberts (1922/23) bei Fehlschlüssen in der Mathematik: "Bevor ich weitere Beispiele behandele, möchte ich Ihnen ein wenig zu erklären versuchen, wie solche Irrtümer zustande kommen und worin dann ihre allgemeine Bedeutung besteht. Es hat damit folgende Bewandtnis: Allemal wenn eine neue fruchtbare Methode ersonnen wird zur Lösung von Problemen, zur Erweiterung unseres Wissens, zur Eroberung neuer Provinzen der Wissenschaft, gibt es einerseits kritische Forscher, die der Neuerung gegenüber mißtrauisch sind und andererseits solche, die an Kühnheit es allen zuvortun, die noch unerschöpfte und ergiebige Quellen gründlich ausnutzen, rasch Neues finden und daher bald das Übergewicht bekommen, sodaß die Einwendungen der Kritiker verstummen. Dies ist die Periode des raschen Fortschreitens der Wissenschaft. Oft sind es gerade die besten Pioniere, die sich am weitesten vorwagen und dann auch am ehesten auf unsicheres Terrain kommen. Anzeichen für den letzteren Fall sind Unklarheiten und Zweifelhaftigkeiten der erhaltenen Resultate, bis sich schließlich offenbare Widersprüche und Widersinnigkeiten, sogenannte Paradoxien, herausstellen. In diesem Augenblick erscheinen nun die kritisch Gesonnenen, die bisher beiseite standen, wieder auf dem Plan, bemächtigen sich der Paradoxien, decken wirkliche Irrtümer auf und versuchen nun ihrerseits die ganze Methode zu verdächtigen und zu verwerfen. Es besteht dann die Gefahr, daß alles Errungene wieder verloren geht. Es ist dann immer die wichtigste Aufgabe, diese über das Ziel gehende Kritik einzudämmen und eine Neubegründung der Methode zu versuchen, sodaß sie vor jeder falschen Anwendung gesichert ist und die gewonnenen Resultate in den festen Bestand der mathematischen Erkenntnis eingereiht werden können." In Hilbert n. Ackermann (1988, 38f)
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Gordan, Paul. "Aber gerade weil der Hilbertsche Beweis ziemlich einfach war, stiess er zunächst auf  Unverständnis und Ablehnung unter den Mathematikern. Denn es handelt sich um einen reinen Existenzbeweis, der bei gegebenem Ideal A kein effektives Verfahren zur Konstruktion der endlich vielen Erzeugenden von A angibt. Die Mathematiker der damaligen Zeit waren an Existenzbeweise dieser Art nicht gewöhnt, jedenfalls nicht in der Algebra. Gordan selbst kritisierte:

Wobei er mit “Theologie” meinte, bei einem solchen Beweis müsse man wie in der Religionswissenschaft an die Richtigkeit der Schlussweisen glauben. Das widerspricht jedoch den Grundsätzen der Mathematik, denn alle mathematischen Beweise müssen doch durch logisches Denken nachprüfbar sein, ohne an einen “Glauben” zu appellieren! Heute akzeptiert man in der Algebra auch reine Existenzbeweise, nicht zuletzt unter dem Einfluss der Cantorschen Mengenlehre. Übrigens hat Hilbert in einer weiteren Arbeit seinen Beweis tatsächlich ergänzt durch eine effektive Abschätzung der Grade der Polynome, die das gegebene Ideal A erzeugen – und er hat damit auch Gordan von der Richtigkeit seiner Beweisführung überzeugen können."
Online-Quelle (S.12): Peter Roquette, Mathematisches Institut, Universität Heidelberg,  Vortrag "David Hilbert in Königsberg" am 30.9.2002 an der Mathematischen Fakultät in Kaliningrad 17. September 2002
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Guerrerio, Gianbruno (2002). Kurt Gödel. Logische Paradoxien und mathematische Wahrheit. Spektrum der Wissenschaft, Biografie,1.
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Hilbert, David (1904). Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik. Verhandlungen des III. internat. Mathematiker Kongresses in Heidelberg 1904, abgedruckt als Anhang zur 3. Auflage von Hilberts Grundlagen der Geometrie.
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Körperaxiome. In der Mathematik und Zahlentheorie gibt es ganz verschiedene Zahlen. Man könnte alltagssprachlich auch von unterschiedlichen Zahlen-Typen sprechen. Die verschiedenen Zahlentypen können durch unterschiedliche, sog. Körper-Axiome definiert werden. In einem Zahlenkörper (K2) z.B., in dem es nur die beiden Zahlen 1 und 0 gibt, ergeben sich von der Alltagserwartung überraschende und abweichende Ergebnisse bei den arithmetischen Operationen, nämlich 1+1=0.
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Logistik. "Logistik" bezeichnet mindestens ein dreifaches Homonym [1, 2, 3, 4, 5, ].
    (1) Logistica (rechnen) hieß einst die praktische Rechenkunst auf lateinisch.
    (2) Nach  Mittelstraß (1984, S. 703) wurde der Ausdruck Logistik auf dem 2. Philosophenkongress in Genf 1904 von Couturat, Lalande und Itelson als Bezeichnung für die kalkülisiert auftretende formale Logik zum Zwecke der terminologischen Abgrenzung von der traditionellen Logik vorgeschlagen worden. Danach wurden die mathematischen Logiker etwa bis in die 70 er Jahre mit ihrer strengen Formelsprache auch Logistiker genannt (Beispiele: Becker, Oskar (1951). Einführung in die Logistik. Bochenski, Joseph M. (1954). Grundriß der Logistik. Dürr, Karl (1954). Lehrbuch der Logistik, Johann Fischl  (1967). Logik. Ein Lehrbuch mit einem kurzen Abriß über Logistik. Jacoby, Günther (1962). Die Ansprüche der Logistiker auf die Logik und ihre Geschichtsschreibung. Bruno von Freytag gen. Löringhoff (1961). Logik. Ihr System und ihr Verhältnis zur Logistik). Die "rein" mathematischen Logiker selbst benutzen diesen Ausdruck gewöhnlich nicht. Nachdem die Logik weitgehend von den MathematikerInnen angeeignet wurde, hat sich ihre Ausdrucksweise durchgesetzt und der Ausdruck "Logistik" ist zunehmend in den "logik-öffentlichen" Hintergrund getreten. Am besten übersetzt man sich Logistik in diesem Sinne mit streng kalkülisierter Logik. Mathematische Logik trifft es aber auch sehr gut. Tatsächlich hat "...istik" für manche doch eine negative Tönung, was von einigen philosophischen WortverwenderInnen so beabsichtigt sein konnte. Was an mathematischer Logik aber negativ sein sollte, ist zunächst nicht zu verstehen, außer daß, was MathematikerInnen unter ihre Fittiche nehmen, sehr schnell allgemein sehr unverständlich wird (so Goethe in einem Brief am 17.5.1829 an Zelter "Die Mathematiker sind eine Art Franzosen: redet man zu ihnen, so übersetzen sie es in ihre Sprache, und dann ist es alsbald ganz etwas Anderes.")
    (3) Die dritte Bedeutung betrifft das Gebiet der Planung und Organisation, hat damit aber auch Berührungspunkte zur Mathematik, am meisten vielleicht zu dem Gebiet der Optimierung (z.B. Transport, Lagerhaltung) und der praktisch angewandten Spieltheorie. Einfacher könnte man von Planung, Strategie und Taktik sprechen. Diese Anwendungen spielen eine große Rolle in der Wirtschaft (dort heißt ein Teilfachgebiet sogar "Logistik");  aber auch im Militär- und Kriegswesen, im Sport und ganz allgemein im Leben.
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Mathematik. Mathematik verstehe ich als die formale Wissenschaft von idealen Objekten und Beziehungen, in der alle mögliche (Modell) [Welten] konstruierbar sind, die auf reale Weltprobleme angewendet (angewandte M.) werden können oder nicht (reine M.). Sog. reine Mathematik interessiert sich nicht für Anwendungsfragen und muß das natürlich auch nicht, so wie reine Psychologie sich nicht darum zu kümmern braucht, ob und wie reine Psychologie angewandt werden kann. In der Psychologie gibt es allerdings eine natürliche Schnittstelle zur Anwendung: man kann über die Psyche der Menschen nichts erforschen, wenn man nicht mit den Menschen interagieren und kommunizieren kann. Eine reine MathematikerIn braucht im Prinzip keine andere und könnte auch ganz alleine für sich reine Mathematik betreiben; Ramanujan war womöglich längere Zeit so einer. Es mag davon sogar viele geben, aber davon können wir nichts wissen: eine neue Paradoxie ;-)?
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Mathematikkritik
Schopenhauer kritisierte den sog. (Euklid'schen) Mausefallenbeweis. Quellen: S. 55: Schopenhauer, Arthur (1847) Ueber die vierfache Wurzel des Satzes vom zureichenden Grunde. Eine philosophische Abhandlung. [PDF bei Wikimedia.org]
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mit wenigen Ausnahmen. Barrow (S. 283-288) berichtet die Geschichte von Ramanujan, von Rao entdeckt und Hardy gefördert, einem offenbar genialen und leidenschaftlichen indischen Ausnahme-Mathematiker, der nur 33 wurde, aber die ganze Mathematikerwelt mit seinen Formeln in Aufregung versetzte, wobei er nach Hardy offenbar nie das übliche Beweisen lernte oder sich aneignete und mit einer Mischung aus Intuition - im üblichen Sinne - und Induktion (Beispiele und probieren) arbeitete, doch so erfolgreich, daß die größte Kapazität seiner Zeit einigen Ergebnissen nicht zu folgen vermochte. Er soll der Inbegriff eines reinen Mathematikers gewesen sein, der sich auch nie für Anwendungsfragen interessierte, sondern ausschließlich für die Beziehungen seiner Zahlen.
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Modelle (Meßtheorie). Als Hauptsatz in der Meßtheorie könnte gelten: Zwischen dem mathematischen und empirischen Meßmodell existiert eine homomorphe Abbildung, wobei diese Homomorphie von der AnwenderIn für die jeweilige Anwendung zu zeigen wäre. Allgemeinverständlich wird man fordern: die angewandte Mathematik muß dem empirischen Gegenstandsbereich angemessen sein, nicht zu weit und nicht zu eng, nicht zu viel und nicht zu wenig. Im allgemeinen ist es so, daß die Mathematik in der sozialwissenschaftlichen und besonders psychologischen Anwendung eine Genauigkeit vortäuscht, die empirisch meist nicht begründet ist. Bereits eine Mittelwertbildung setzt ein Skalenniveau voraus, das in aller Regel empirisch nicht begründet und nicht gezeigt wurde. "Messen" in der Psychologie ist gewöhnlich messen per fiat - Ausdruck von: Orth, B. (1974). Einführung in die Theorie des Messens. Stuttgart: Kohlhammer, S. 41 unter Bezugnahme auf  Torgerson, Pfanzagl und Fischer - ein völlig unhaltbarer Zustand für eine Wissenschaft.
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petitito principii. Vorwegnahme des Grundes. Es wird ein Beweismittel verwendet, das selbst nicht bewiesen ist und selbst noch des Beweises bedarf. Auch der circulus vitsiosus kann als Variante der p.p. angesehen werden, da der Zirkelschluß sich selbst beim Beweis verwendet bzw. voraussetzt (ein kluger Kopf ist intelligent; ein Kreis ist rund). Die indische Logik nennt diesen Fehler siddha-sadhya, wenn der Beweis selber des Beweises bedarf, so das Wörterbuch der Logik.
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Russell. Zitiert nach (S. 350f): Davis, Philip. J. & Hers, Reuben (dt. 2.k. A. 1996, engl. 1981). Erfahrung Mathematik. Basel: Birkhäuser.
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Voraussetzungen und Mittel  Zwar ist im allgemeinen Beweisschema der Schulmathematik die Angabe der Voraussetzungen vorgesehen, aber nicht wie viel und wie weit zurück. Nicht selten liest man, dass man zum Aufbau der Mengenlehre auf die Prädikatenlogik 1. Stufe zurückgreift. Andererseits stößt man in der Ausarbeitung der Prädikatenlogik 1. Stufe auf Bezugnahmen zur Mengenlehre. Das wirkt zumindest zirkulär. Was braucht man z.B. "alles", wenn man den Satz des Pythagoras verwenden will? Oder, anders herum, was setzt man - ohne sich im einzelnen darüber oft Rechenschaft abzulegen - bei diesem oder jenen der vielen, vielen Beweise des Satzes des Pythagoras zu Recht oder zu Unrecht voraus? Die Idee einer lückenlos logischen Vernetzung und Begründung zeigt sich in der Notation von Wittgensteins tractatus, der hiervon offenbar durch das Logizismus Programm der Mathematik wie es Whitehead & Russel in der Principia mathematica (W) durchführten, inspiriert wurde. Und es ist wahrscheinlich kein Zufall, dass die französische Mathematikergruppe "Bourbaki" [W] ab 1934 einen rigoros strengen Aufbau der Mathematik nach den Hilbert-Grundsätzen durchführte.
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Wittgenstein und vollstaendige Induktion
Materialien:
Ramharter, Esther  (2014) Wittgenstein über vollständige Induktion Wittgenstein-Studien. Band 5, Heft 1, Seiten 179–204, ISSN (Online) 1868-7458, ISSN (Print) 1868-7431, March 2014.
Abstract In seiner mittleren Phase, insbesondere in Philosophischen Bemerkungen und Philosophische Grammatik, widmet Wittgenstein längere Passagen der vollständigen Induktion. Nach einer groben Skizze (1) einiger grundsätzlicher Einstellungen und Erwägungen Wittgensteins wird im vorliegenden Beitrag zunächst (2) versucht, seine Kommentare aus jener Perspektive, die Mathematiker auf die Induktion und die Arithmetik haben, einzuordnen und möglichst kompatibel damit zu interpretieren. Nach einem kurzen Einschub (3) zur Bedeutung des Mathematikers Albert Thoralf Skolem für Wittgenstein, soll (4) herausgearbeitet werden, inwiefern Wittgenstein zur Induktion eine eigene, von der üblichen abweichende Auffassung vertritt. In diesem vierten Abschnitt wird versucht, Induktion und Arithmetik aus der Perspektive Wittgensteins zu beschreiben. Dabei wird sich zeigen, dass sich eine Robinson-Arithmetik als formale Entsprechung für Wittgensteins Standpunkt anbietet. Daran schließt (5) eine Erörterung der Frage an, inwiefern er daher eine revisionistische Position vertritt.
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Standort: Beweis und beweisen in Mathematik und Logistik.

Widerspruch (Antinomie), Aporie, Paradoxie, Pseudo-Paradoxie. und (neuere Version):
Absurdität, Antinomie, Aporie, Konfusion, Paradoxie, Pseudo-Paradoxie, Sophisma, Widersprüche, X-Strittiges/Sonstiges.
Einführung, Überblick, Verteilerseite Beweis und beweisen

Wissenschaft in der IP-GIPT
Überblick: Abstrakte Grundbegriffe aus den Wissenschaften