Die Widersprüche, zu denen gewisse Logiker geführt wurden, haben ihren Ursprung darin, daß sie einem gewissen circulus vitiosus nicht entrinnen konnten. Das geschieht wohl bei der Betrachtung endlicher Mengen, viel öfter aber bei der Untersuchung unendlich großer Mengen. Im ersten Falle hätten sie leicht die Schlinge vermeiden können, in die sie sich verfangen haben, oder, schärfer gesagt, sie suchten selbst die Schlinge auf und verfingen sich absichtlich in ihr. Ja, sie mußten mit voller Aufmerksamkeit vorgehen, um nicht neben die Schlinge zu kommen. Mit einem Worte, in diesem Falle sind die Widersprüche kaum mehr als eine Spielerei. Ganz anders aber sind jene Widersprüche beschaffen, welche auf dem Begriffe des Unendlichen beruhen. Es kommt häufig vor, daß man ganz unbeabsichtigt in einen solchen Widerspruch verfällt und selbst wenn man ihn vermieden hat, ist man nicht vollkommen beruhigt.

    Die Versuche, die man gemacht hat, um diese Schwierigkeiten zu umgehen, sind aus mehr als einem Grunde beachtenswert, aber sie sind durchaus nicht vollkommen zufriedenstellend. Zermelo wollte ein unfehlbares System von Axiomen errichten; aber seine Axiome können nicht als willkürliche Festsetzungen angesehen werden, da er zeigen müßte, daß diese Festsetzungen nicht zu Widersprüchen führen und da er vollkommen tabula rasa macht, hat er keine Objekte mehr zur Verfügung, an denen er einen derartigen Nachweis erbringen könnte. Daher müssen seine Axiome in sich evident sein. Was ist nun der Mechanismus, aus dem heraus er sie aufgestellt hat? Er führt Axiome an, welche wahr sind für endliche Mengen; er war nicht imstande, alle diese Axiome auch auf unendliche Mengen zu erstrecken. Und er vollzog diese Erweiterung daher nur für eine bestimmte Anzahl unter ihnen, deren Auswahl mehr oder weniger willkürlich ist. Nach meiner Ansicht übrigens kann, wie ich schon weiter oben ausführte, irgendeine Aussage, die sich auf unendliche Mengen bezieht, überhaupt nicht durch bloße Anschauung evident sein. Russell hat es besser verstanden, das Wesentliche der Schwierigkeiten zu überwinden. Aber auch er hat sie nicht vollkommen überwunden, da er bei [<78>79] seiner Rangordnung der Typen die Theorie der Ordnungen bereits als durchgeführt voraussetzt.

Was mich anlangt, so würde ich vorschlagen, an den folgenden Regeln festzuhalten:
 

1. Niemals andere Objekte der Betrachtung zu unterziehen, als solche, die sich durch eine endliche Zahl von Worten definieren lassen.
2. Niemals aus den Augen zu verlieren, daß jede Aussage über das Unendliche nur eine Übertragung, ein gekürzter Ausdruck für eine Aussage über das Endliche ist.
3. Klassifikationen und Definitionen, die nicht wohlbestimmt sind, zu vermeiden.

Alle die Untersuchungen, von denen wir gesprochen haben, haben einen gemeinsamen Grundzug. Man stellt sich vor, einem Schüler Mathematik zu lehren, welcher noch nicht den Unterschied zwischen dem Endlichen und dem Unendlichen kennt. Man beeilt sich nicht, ihm zu lehren, worin dieser Unterschied besteht. Man fährt fort, ihm alles darzulegen, was man über das Unendliche wissen kann, ohne sich vorher bezüglich dieser Unterscheidung eine feste Meinung zu bilden. Und schließlich zeigt man ihm in einer entlegenen Gegend des Gebietes, das man ihn hat durchlaufen lassen, ein kleines Fleckchen, auf dem die endlichen Zahlen sich finden.

    Das scheint mir ein psychologischer Irrweg. So geht der menschliche Geist nicht unbefangen vor und selbst, wenn man sich, ohne in Widersprüche zu verfallen, hindurchwinden könnte, so wäre das nichtsdestoweniger eine jeder gesunden Psychologie entgegengesetzte Methode.

    Russell würde mir sicher entgegenhalten, daß es sich nicht um Psychologie, sondern um Logik und Erkenntnistheorie handelt und ich würde dann dazu geführt werden, zu antworten, daß weder Logik noch Erkenntnistheorie von der Psychologie unabhängig sind, und dieses Bekenntnis würde wohl die Auseinandersetzung beschließen, weil es eine unüberbrückbare Verschiedenheit der Auffassung zutage fördern würde."

Zu den verschiedenen "Quellen" dieses Zitates siehe bitte hier:
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Wohlbestimmtheitsprinzip der Zuordnung. Entwickelt im § 2 der Mächtigkeit und angewandt u.a. in § 3 Die Untersuchungen von Russell: "Russell veröffentlicht im American Journal of Mathematics Band 30 unter dem Titel „Mathematical logics as based an the Theory of Types" eine Abhandlung, in der er sich auf Überlegungen stützt, die mit den vorausgegangenen durchaus verwandt sind. Nach Anführung einiger der bekanntesten Paradoxen der Logiker sucht er ihren Ursprung zu ermitteln und erblickt ihn mit Recht in einer Art Circulus vitiosus. Man gelangt zu Widersprüchen, weil man Mengen der [<62] Betrachtung unterzogen, hat, die Elemente enthielten, in deren Definition der Begriff der Menge selbst einging. Man hat sich also nicht wohlbestimmter Definitionen bedient; man hat, wie Russell sagt, die Worte „all" und ,,any'' verwechselt, die man etwa durch die Worte 'alle' und 'jeder beliebige' wiedergeben könnte." Poincaré kommt zu dem Ergebnis, dass die Theorie der Typen, "die Theorie der Odnungszahlen als bereits festgesetzt annimmt" und stellt die Frage: "Wie kann man dann aber die Theorie der Ordnungszahlen auf die der Typen begründen?"
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