Einführung.
Euklids Axiom 8: Das Ganze ist größer als der Teil, erscheint unmittelbar plausibel und einsichtig, so wie man sich Axiome wünscht und wie sie auch sein sollen. Die Aufhebung dieses Euklidschen Axioms durch die Mathematik des Unendlichen - und damit besonders der Mengenlehre -  wurde nach Weyl bereits von Galilei und Leibniz bemerkt. Doch seit die Mengenlehre ihren Siegeszug durch die Mathematik angetreten hat, ist offenbar fast jede Absurdität hoffähig geworden und Sophistik und Rabulistik erleben mit diesem neuen Mathematikzweig eine ungeahnte Renaissance. Es scheint ein neues Abrakadabra-Axiom zu gelten, nämlich: Alles ist möglich, wenn wir es nur entsprechend einrichten, zumindest im neuen - von Cantor geschaffenen Paradies [Hilbert] "des" Unendlichen  - aus Sicht des gesunden Menschenverstandes, natürlicher Logik und Intuition aber doch eher eine Hölle mentaler Grausamkeiten und eine Folterstätte der Vernunft. Warum? Nun, wenn die Mathematik sich so einrichtet, daß das Zählen und der Anzahlbegriff, also allgemeine Kultur-, Wissenschafts-, Gesellschafts- und praktische Alltagsgüter betroffen sind, so geht das alle an. Wenn Eltern, PädagogInnen und LehrerInnen ihren Kindern und SchülerInnen erzählen müssen, daß es genau so viele gerade wie ganze oder rationale Zahlen gibt, wird womöglich eine ganze Menge Kopfschütteln, Demotivation, Konfusion und Abneigung erzeugt.

Was ist geschehen?

Vereinfacht gesagt zerfällt die Mathematik seit Cantor in zwei Teile, in der unterschiedliche und miteinander unverträgliche Definitionen, Axiome, Regeln und Sätze gelten, nämlich in die Mathematik des Endlichen und die Mathematik des Unendlichen, in der alles ein wenig ganz anders ist.

Das Drama beginnt mit der Definition des Unendlichen. Cantor (1878) und Dedekind (1887) haben folgende Definition des Unendlichen gegeben, nämlich:
 

Ohne Zweifel sind nun z. B. die geraden Zahlen eine echte Teilmenge der natürlichen Zahlen. Und ohne Zweifel kann man im Endlichen eine bijektive Zuordnung wie in der Abbildung dargestellt auch durchführen. Doch woher wissen wir, daß dies auch unendlich lange, im Unendlichen oder gar noch darüber hinaus durch "einfaches hinüberzählen" (Hilbert) geht? Tatsächlich geht es natürlich nicht, weil die Menschen und die Erde längst vergangen sein werden, wenn "das" Unendliche immer noch angezählt wird. Nun, man könnte sich wohl einigen, daß man sich eine solche Zuordnung potentiell unendlich lange fortgesetzt denken kann. Die neue Mengenlehre-Mathematik denkt sich aber eine solche unendlich lange Zuordnung nicht nur potentiell, sie denkt das Unendliche in einem Widerspruch (1,2) in sich zu Ende, stellt sich also vor, daß solche unendlichen Mengen abgeschlossen sind und daher als fertiges Ganzes gedacht werden können. Ein Preis, den diese Art Denken kostet, besteht darin, daß aus den definitorischen Gewaltakten der Mengenlehre Cantors absurde Resultate und eine zwiegespaltene Mathematik in Kauf zu nehmen sind. Wie im Ergebnis unten mitgeteilt wird, ist die zu Ende gedachte unendliche Menge nur über ein Axiom "sicherbar". Es handelt sich auch keineswegs um Entdeckungen, sondern in den Grundlagen um bloße Konventionen, Übereinkünfte und definitorische Beschlüsse (Ziehen), auf deren Basis dann allerdings wieder zahlreiche neue - und viele absurde - Resultate entwickelt wurden und werden.
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Einfaches "Hinüberzählen"
Was genau wird gemacht und vorausgesetzt beim einfachen "hinüberzählen"?

Von einem richtigen mathematischen oder logischen Beweis verlangt man, daß er lückenlos, Schritt für Schritt genau begründet werden kann. Es müssen die Begriffe, also die Definitionen ebenso klar sein wie die Voraussetzungen und zulässigen Regeln. Die MathematikerInnen müssen uns also z.B. bei den natürlichen Zahlen lückenlos begründen können, wie sie zu der Vorstellung und zu dem Begriff einer zu Ende gedachten unendlichen Menge gelangen. Hier können sie keine andere Antwort liefern als: man kann es denken, und das ist ohne Zweifel richtig: man kann es denken (Existenzbeweis: sie tun es, wie man ihren Reden und Schriften entnehmen kann). Aber man kann auch einen schwarzen Schimmel denken oder einen eckigen Kreis. Man kann vieles und viel Fragwürdiges, Falsches und auch Widerspruchsvolles denken. Der sicherlich richtige Existenzbeweis man kann es denken reicht also nicht.

Obwohl es allenthalben heißt, die Gesetze im Endlichen und Unendlichen seien ganz andere und was in dem einen gelte, müsse nicht im anderen gelten, was an sich schon sehr fragwürdig, weil nicht notwendig, sondern willkürlich so eingerichtet ist (Weyl, Wittgenstein, Ziehen), heißt es andererseits wieder, daß das Unendliche seine Fundierung im Endlichen habe und nur eine Fortsetzung des Endlichen sei. So führt z.B. Hilbert zur Idee des "einfachen Hinüberzählens" in seiner Arbeit Über das Unendliche (1926) aus:
 

Wo zeigt Hilbert die Sicherung des Unendlichen durch das Endliche ?
Obwohl nach [4] das Unendliche sich nirgends realisiert findet und es weder in der Natur vorhanden "noch als Grundlage in unserem verstandesmäßigen Denken zulässig" sein soll, gibt es das verstandesmäßig unzulässige Unendliche also andererseits doch? Ja nicht nur das: "Das Operieren mit dem Unendlichen kann nur durch das Endliche gesichert werden." Aber wo hat Hilbert diese Sicherung durch das Endliche gezeigt? Wenn dieses Unendliche für das verstandesmäßige Denken gar nicht zulässig sein soll, wie kann er dann [1] sagen: "Wenn wir 1,2,3, ... gezählt haben, ..."? Wie kommt er denn ans Ende? Wie kommt er zum "... haben" ?  Hilbert zeigt nirgendwo, was die eigentliche Grundaufgabe wäre, wie er 1,2,3, ...  zählt. Halten wir fest: Auch einer der größten Mathematiker aller Zeiten kann eines nicht: 1,2,3, ... zu Ende zählen - weil es niemand kann. Wie wäre also seine Aussage  "Wenn wir 1,2,3, ... gezählt haben, ..." zu retten? Es gäbe nur einen sophistischen Ausweg, das "Wenn" als konditionale Bedingung zu deuten, was er aber ziemlich sicher nicht so gemeint haben dürfte, sonst hätte er formuliert: "Wenn wir 1,2,3, ... gezählt haben würden oder könnten, ...". Auch Hilbert kann nicht zu Ende zählen, weil es keine größte oder letzte natürliche Zahl gibt. Ich gelange zu dem

Ergänzung: Links oder rechts offen (26.01.2014)
Gelegentlich ergänzende Überlegungen führten zu der Frage des Begriffs eines Ganzen oder einer Menge. Wie kann eine Zahlenfolge, die links ..., -3, -2, -1, 0}, rechts {0, 1,2,3, ...  oder sogar an beiden Seiten offen ... -1, 0, 1 ... ist zu einem Ganzen, zu einer Menge zusammengefasst werden? Man könnte natürlich auch noch ein Dazwischen bei den rationalen oder reellen Zahlen einführen, ich will es aber erst mal dabei belassen. Ein Ganzes bedeutet intuitiv etwas Begrenztes, Abgeschlossenes.
    Die Argumentation nach der Bedeutung Teil und Ganzes wurde ergänzt durch das weitere Argument des links oder rechts Offenen bei Zahlenfolgen: etwas links oder rechts Offenes kann kein Ganzes, keine Zusammenfassung zu einer Menge, sein. Ein Ganzes ist begrenzt und abgeschlossen.

• Euklid (dt. 1969). Die Elemente. Buch I-XIII. Hrsg. u. übersetzt von C. Thaer. Darmstadt: WBG.

Euklid im Netz (Google: Euklid, Euklid Axiome, Euklid Elemente, Euklid Das Ganze ist größer,  1,2,3,):
• Fraenkel, Adolf (1923, 2.A.). Einleitung in die Mengenlehre. Eine elementare Einführung in das Reich des Unendlichgrossen. Reihe Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Bd. IX. Berlin: Springer.
• Hausdorff, Felix (1914). Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig: Veit & Comp. Auch in: Hausdorff, Felix (2002). Gesammelte Werke Bd. II. Grundzüge der Mengenlehre. Berlin: Springer. [S. 48 die pathetische Formulierung zu Euklid 8: "wir müssen das geheiligte Axiom 'totum parte majus' verletzen,"
• Hilbert, David [1926]  Über das Unendliche. Mathematische Annalen Bd. 95 (1926).
• Weyl, Hermann (1966, 3.A.). Zahl und Kontinuum. Das Unendliche. In: Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft. Darmstadt: Wiss. Buchgesellschaft. 47-90.  [Zitat zu Euklid 8]
• Wittgenstein, Ludwig (1969 Hrsg. Rush Rhees). Das Unendliche in der Mathematik.  In Schriften 4, Philosophische Grammatik, Teil II. Über Logik und Mathematik. 411-485. Frankfurt: Suhrkamp. [Zitate]
• Ziehen, Theodor (1917). Das Verhältnis der Logik zur Mengenlehre. Philosophische Vorträge veröffentlicht von der Kantgesellschaft, Nr. 16. Berlin: Reuther & Reichard. [Kritik-Zitat]

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definitorische Beschlüsse (Ziehen). Daß die Mengenlehre vielfach lediglich auf neuen Definitionen, Übereinkünften und Konventionen beruht, bemerkte schon ein früher Kritiker: Ziehen, Theodor (1917). Das Verhältnis der Logik zur Mengenlehre. Philosophische Vorträge veröffentlicht von der Kantgesellschaft, Nr. 16. Berlin: Reuther & Reichard. S.13 :

Anmerkung: Die Seite setzt fort: "bekannten Literatur scheint mir noch die Hausdorffsche zu sein:
'eine Menge ist eine Zusammenfassung von Dingen zu einem Ganzen, d.h. zu einem neuen Ding."
Ziehens Arbeit wird, wenn sich die Rechte klären lassen und wir sie erhalten,  hier vollständig
präsentiert.
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existiert. Ein unklarer und problematischer Grundbegriff der Mathematik, nach dem auch eine Beweisart benannt ist: der Existenzbeweis. Unklar und problematisch deshalb, weil durch Definitionen und Axiome Existenzen entweder direkt oder indirekt und verwickelt über zugrundeliegende Definitionen und Axiome definiert und postuliert werden. Existenzen können also definiert (Definition), postuliert (Axiom) oder abgeleitet und gezeigt werden (Satz), wobei auch noch die Ableitungsregeln und die zugelassene Logik zu berücksichtigen sind. In der wissenschaftstheoretischen Literatur gibt es bislang kein System, das einen Begründungspfad zu dokumentieren gestattet (ein Modell hat Wittgenstein in seinem Tractatus ansatzweise angedeutet). Erschwert wird ein solches System dadurch, daß mehrere möglich sind. Bei vielen Beweisen weiß man überhaupt nicht, ob sie zirkelfrei frei sind, weil gar nicht klar ist, was alles vorausgesetzt und benutzt wird.
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eckigen Kreis. In Erlangen gab es in den 1970er-80er Jahren eine Künstlergruppe, die sich "Eckiger Kreis" nannte.
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Omega. Betrachtet man die natürlichen Zahlen in ihrer natürlichen Ordnung, so wird ihrer Gesamtheit die Ordnungszahl (Ordinalzahl) Omega zugeordnet. Sieht man von der Ordnung ab und betrachtet nur die Anzahl, spricht man von der Kardinalzahl, hier Aleph0. {1, 2, 3, ...., n, .... } := Omega mit der Anzahl Aleph0. Omega und Aleph0 sind Namen für das gedachte Ende der unendlichen natürlichen Zahlen.
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Tractatus. Auf der ersten Seite schreibt Wittgenstein in Fußnote 1: "Die Dezimalzahlen als Nummern der einzelnen Sätze deuten das logische Gewicht der Sätze an, den Nachdruck, der auf ihnen in meiner Darstellung liegt. Die Sätze n.1, n.2, n.3, etc., sind Bemerkungen zum Satz No.n; die Sätze n.m.1, n.m.2, etc. Bemerkungen zum Satze No.n.m und so weiter." Hier zitiert nach: Wittgenstein, Ludwig (dt. 1921f; 1960). Schriften. Tractatus-logicus-philosophicus. Frankfurt a. M.: Suhrkamp, S. 11. [Fertig gestellt 1918, erstmals veröffentlicht 1921 in Ostwalds letztem Band der Annalen der Naturphilosophie].
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Hilberts Traum und Trauma. Hilberts Traum war die absolute und unbezweifelbare Sicherung des mathematischen Wissens. Und sein hier so genanntes Trauma beschreibt er in 'Über das Unendliche' (S.179 unten): "Und was wir zweimal erlebt haben, einmal als es sich um die Paradoxien der Infinitesimalrechnung und dann um die Paradoxien der Mengenlehre handelte, das kann nicht zum dritten Male und wird nie wieder passieren."  Damit aber kein falscher Eindruck aufkommt: Trotz allem meine ich, stimmte der Rest der Welt so wie die Mathematik, lebten wir vermutlich schon in einem Halbparadies.
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Leibniz. Siehe auch Kaufmann, Felix (1930, S. 140). Kaufmann geht ausführlich auf die Paradoxie ein, dass das Ganze nicht mehr grösser als eines seiner Teile sein soll. Er argumentiert scharfsinnig gegen eine aktual unendliche Menge und weist auch das Cantor'sche Diagonalverfahren zurück (S. 149 ff).
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