Editorial: Die Mathematik ist vermutlich die erfolgreichste Wissenschaft. Dies brachte mich vor Jahren zu der Überlegung: wie machen die das? Und was können wir anderen, insbesondere die PsychologInnen davon lernen? Dies führte mich zur Konzeption meiner Seiten zum Thema Beweis und beweisen  in Wissenschaft und Leben. Meine gelegentlichen Bemühungen, mehr und mehr in das Geheimnis der Mathematik einzudringen führten zu einer Reihe von unerwünschten Nebenwirkungen, meist im terminologischen, methodologischen, metamathematischen Verständnisbereich. Dies ergab sich vor allem durch die Beschäftigung mit dem  Grundlagenstreit  und der Mengenlehre, insbesondere mit dem merkwürdigen, selbstwidersprüchlichen Konzept der aktual unendlichen Menge. Ich begann dann Mathe-Lexika und Wörterbücher, aber auch mathematikdidaktische Arbeiten (unsystematisch) zu sammeln. In der newsgroup Mathematik gab es immer wieder mal auch Sprachkritik, z.B. über den falschen Gebrauch und die Bedeutungsvielfalt des Wortes "alle", aber das metamathematische Probembewusstsein ist dort gering wie anscheinend überhaupt in der Mathematik, fixiert und eingeengt auf einige wenige Themen, geprägt von den Hauptanliegen Hilberts (z.B. Beweistheorie, Widerspruchsfreiheit, Vollständigkeit) auf hohem Niveau. Eine erfreuliche Ausnahme sind Athen & Bruhn (1974), die in ihrem 511 Seiten Werk "Rechnen und Mathematik" immerhin einen dreiseitigen Abschnitt "Metamathematik" im Kapitel Logik (S. 56-59) bringen  Aber eine allgemeine und ausführliche Metamathematik für Schüler und Studenten gibt es merkwürdigerweise nicht, obwohl die  Mathematikdidaktik  sogar Lehrstühle innehat. Vermutlich meinen die MathematikerInnen: (1) erst müsse man Mathematik lernen, dann erst habe man Grundkompetenzen erworben, um metamathematisch mitreden zu können; 2) die benötigte Metamathematik ergäbe sich - quasi implizit - beim Lernen oder Studium der Mathematik. 3) Reden über ist gefährlich, weil es leicht und seicht ausufern kann, wie vielleicht sehr abschreckend die Entwicklung der Philosophie und der weichen Geistes- und Sozialwissenschaften zeigt.
    Zufällig ergab sich in der mathe-newsgroup eine Diskussion um die Kommutativität  und - aus meiner Sicht - um ihren metamathematischen Status. Das war der Auslöser für diese Seite (die schon mehrere interne, aber nicht veröffentlichte Vorgänger und Materialsammlungen hat).

Objekt- und Metasprache
Die Unterscheidung zwischen Objekt- und Metasprache führte Tarksi (1936) in Grundlegung der wissenschaftlichen Semantik ein. Man unterscheidet in der Semiotik und Linguistik, ob man in einer Sprache, z.B. deutsch, oder über eine Sprache, z.B. Grammatik der deutschen Sprache spricht. Beachtet man dies nicht, kann man in Paradoxien oder noch schlimmer in Antinomien geraten, z.B. ist das Wort "einsilbig" dreisilbig. Ein ganz gefährliches Wort in Mathematik und Logik ist in diesem Sinne "alle". Bertrand Russell hat diese Fallen durch den Aufbau einer Typentheorie  umschifft. Man muss sozusagen aufpassen, dass man die Aussageebenen nicht durcheinanderbringt, wobei es nicht immer einfach ist, die verschiedenen Ebenen auseinander zu halten, weil man oft nicht genau weiß, wie Ausdrücke und Aussagen gemeint sind. Die allgemeine Gretchenfrage lautet daher bei wissenschaftlichen Ausdrücken: was haben sie für einen metasprachlichen Status? Hat man z.B. Zweifel, ob eine Definition korrekt ist, so geht es um den metasprachlichen Status der Definition. In den Objektsprachen der Wissenschaften wird jeweils fachwissenschaftlich gearbeitet, in den Metasprachen wird über dieses fachwissenschaftliche Arbeiten gesprochen, z.B. was soll ein Naturgesetz sein, sind die Schlussfolgerungen aus einem Experiment korrekt? Welches Wissen im Bereich B ist derzeit wodurch als gesichert anzusehen?

Objekt- und Metasprache in der Mathematik
Denken heißt geistige Modelle bilden oder zueinander in Beziehung setzen. Mathematik treiben heißt mathematisch denken oder kommunizieren. Genauer und kurz und bündig teilte Kolmogorow (1932) mathematisches Tun in zwei Klassen ein: Theoreme beweisen und Aufgaben rechnen.
   In der Objektsprache wird Mathematik betrieben, in der Metasprache wird über das Mathematiktreiben gesprochen, das auch mehrere Metaebenen umfassen kann, wenn etwa auf der 2. Metaebene über die 1. Metaebene gesprochen wird. Das macht insbesondere deshalb Sinn, weil es verschiedene Mathematiken gibt, z.B. in der Hauptsache  die sog. klassische und die konstruktive mit vielen Varianten. In der sog. klassischen Mathematik ist das  Aktual Unendliche  anerkannt, in der konstruktiven Mathematik nicht. Wird der Sinn und Nutzen des Abzählbarkeitsbegriff in Frage gestellt, befindet man sich auf der Metaebene. Das auch, wenn man z.B. über die Begriffe und Worte oder den "Werkzeugkasten", die Mittel und Methoden der Mathematik spricht, z.B. über das "Kommutativgesetz".

Metamathematikbegriff dieser Seite
Zur Metamathematik gehört auf dieser Seite alles, was über die mathematischen Sprache und Handlungen spricht. Das ist möglicherweise nicht immer einfach auseinanderzuhalten, z.B. "entscheidbar". Fragt man z.B. ist das nun eine Definition, Regel, Postulat, Voraussetzung, Bedingung, Folgerung, ein Axiom, Beweis, ... , so befindet man sich auf der Metaebene. Ebenso, wenn man feststellt, dass ein Beweis Lücken hat oder falsch ist.
    Für Metamathematik wurde von Hilbert auch der Ausdruck "Grundlagen der Mathematik" gebraucht.  Damals konzentrierte man sich sehr stark auf nur wenige große Themen wie Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit, die in den 1930er Jahren eine Blütezeit hatten (Gödel [1930, 1931], Skolem [1929, 1933], Church [1936],  Kleene [1936], Tarski [1936], Turing [1936]).
    Metamathematik im Nachschlagwerk Rechnen und Mathematik für einen breiten Leserkreis, so im Vorwort von Athen & Bruhn (1974), S. 56-59, hier die ersten zwei Seiten aus dem Kapitel Logik:

Metamathematische Begriffe
Obwohl die Mathematik-Didaktik erfreulicherweise eine große Rolle spielt, habe ich bislang kein Werk mit dem Titelsachverhalt "Die Sprache der Mathematik" gefunden, das ausdrücklich unter dem Leitgedanken Metamathematik abgehandelt wird. Im gewöhnlichen Schulunterricht, in der Mathematikdidaktik oder in der Mathematikausbildung wird die metamathematische Auszeichnung meist umgangen. Im Prinzip kann man alle mathematischen Begriffe, Mittel und Methoden metamathematisch betrachten Hier nun eine kleine
Auswahl von Sachverhalten für metamathematische Betrachtungen (wird gelegentlich ergänzt und ausgeführt)

• Abbildung.
• Ableitbarkeit, ableitbar Begriff der Beweistheorie. Es wird untersucht, ob aus einer gegebenen Menge von Voraussetzungen und Schlussregeln ein Ausdruck hergeleitet werden kann. So fand man etwa nach über 2000 Jahren, dass das Parallelenaxiom nicht aus den übrigen hergeleitet werden kann. Der Unvollständigkeitssatz Gödels (1931) besagt allgemein, dass man nicht innerhalb eines Systems mit den Mitteln dieses Systems die Widerspruchsfreiheit der Aussagen dieses Systems beweisen kann.
• abzaehlbar Nach Meschkowski: "Eine Menge heißt abzählbar, wenn sie sich umkehrbar eindeutig auf die Menge der natürlichen Zahlen abbilden läßt." Dubioser Begriff aus der Mengenlehre, der das potentiell Unendliche umdeutet und aus der bloßen Möglichkeit des Anzählens ein fix und fertiges Ganzes, den selbstwidersprüchlichen Begriff einer "aktual unendlichen Menge" definiert.
• Aktual Unendliches selbstwidersprüchliche Begriffsbildung, wenn die Menge der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... als abgeschlossenes, fertiges Ganzes aufgefasst wird - im Gegensatz zum vernünftigen Verständnis als potentiell Unendliches.
• Argument Nach dem Kleinen Duden Mathematik: "1. Argument ist eine ältere Bezeichnung für „Element des Definitionsbereichs" einer Funktion. 2. Ist eine Funktion f durch den >Term f(x) definiert, so nennt man die Variable x bzw. die für x einzusetzenden Zahlen die Argumente bzw. Argumentwerte der Funktion. 3. Ist eine > komplexe Zahl in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt mit z = |z| (cos phi + i sin phi), so heißt phi Argument von z; man schreibt dann phi = arg z (Abb. 1) ..."
• Aussage heißen Sachverhalte, denen ein Wahrheitswert zugesprochen werden kann.
• Axiom unbewiesene oder unbeweisbare Aussage, die, wenn sie als wahr bewertet und anerkennt wird, als Voraussetzung für andere mathematische Prozeduren verwendet werden kann. Kriterien für Axiome, eine typisch metamathematische Fragestellung, sucht man meist vergeblich. In der Geschichte der Mathematik gibt es ungefähr bis 1900 die euklidische Tradition, wonach Axiome idealerweise unmittelbar einsichtig sein sollten. Mit der Grundlagenkrise ergab sich ein Wandel hin zum Technisch-Pragmatischen, wonach von Axiomen "nur" noch verlangt wird, dass sich die gewünschten Sätze und Theorien daraus ableiten lassen, vollständig und widerspruchsfrei sind. Hierbei werden seit der Mengenlehre grundlegend problematische und strittige Sachverhalte per Axiom quasi "matheologisch" verkündet, etwa die aktual unendliche "Existenz" der Menge der natürlichen Zahlen.
• Bedeutung grundlegender allgemein wissenschaftlicher und wissenschaftstheoretischer Begriff, für nicht wenige Mathematiker allerdings ein phobischer Begriff sobal sie ihre Formalismen in gewöhnlicher Sprache ausdrückenn und erklären sollen. > Putnam.
• Bedingung ein Sachverhalt, der für einen anderen erfüllt sein muss > Voraussetzung.
• Begrifffunktioniert als Grundbegriff, in der Mathematik gewöhnlich nicht metamathematisch ausführlich behandelt (Ausnahmen Hischer, Weigand, Wittenberg). Überblick > Wörterbuch der Logik. Als besonders wichtig haben sich Umfang (Extension) und Inhalt (Intension) eines Begriffs erwiesen. Ist allerdings der Inhalt (Intension) eines Begriffs nicht klar, kann der Umfang (Extension) gar nicht bestimmt werden. In Logik und Mathematik sind die Intensionen häufig sehr abstrakt, z.B. Eigenschaft für Prädikate.
• Beweis. Besonders > Exkurs IV: Ist die Mathematik so sicher, wie sie sich präsentiert?
• Beweistheorie untersucht, wie unter verschiedenen Bedingungen bewiesen werden kann, darf oder soll.
• Definition. Ein besonderes Problem stellen die sog. impredikativen [zikulären] Definitionen dar.
• Eigenschaft Ontologischer, allgemein wissenschaftlicher, sprachlicher oder alltäglicher Grundbegriff. Allgemein wird Eigenschaft als an ein Objekt gebundenes und nicht selbständig existierendes Merkmal eines Objektes oder Sachverhalts verstanden. Der Eigenschaftsbegriff wird üblicherweise nicht metamathematisch behandelt, sondern man benutzt ihn stillschweigend als selbstverständlich und unproblematisch, was falsch ist, wie die Diskussionen z.B. in de.sci.mathematik am Beispiel Kommutativität belegen. Das DIN Taschenbuch 202 (1984) der Formelzeichen, Formelsazu Mathematische Zeichen und Begriffe enthält zwar einen Registereintrag "Eigenschaft 4897 9.1", aber darunter wird lediglich das Wort Eigenschaft verwendet und weder definiert noch erklärt. Auch die meisten Wörterbücher und Lexika zur Mathematik enthalten keinen Eintrag "Eigenschaft". Eine Ausnahme ist der dtv-Atlas zur Mathematik (1984). Im Bd. 1 (bis 266) gibt es vier Einträge im Sachregister unter "Eigenschaft": S. 17, 213 (äußere, innere, Gestalt, Lage).
Fundstelle S. 17: " Eigenschaften" als einstellige Prädikate in der Prädikatenlogik erster Stufe - ohne nähere Erklärung.



Fundstelle S. 213 (äußere, innere, Gestalt, Lage) - ohne nähere Erklärung:

_

DIN Taschenbuch 202, Eigenschaft 4897 9.1

_
• Einheit Der Duden Rechnen und Mathematik, 1994, führt aus "Einheit: 1) Ein Element e eines >  Größenbereichs heißt Einheit des Größenbereichs, wenn alle Größen als reellzahlige Vielfache von e geschrieben werden können, also in der Form re mit r enthalten |R. 2) In einem TRing mit neutralem Element bezüglich der Multiplikation heißt ein Element eine Einheit, wenn es invertierbar bezüglich der Multiplikation ist." Bedauerlicherweise geht man nicht auf den Ausdruck imaginäre Einheit ein.
• Entscheidbar Claus Thiel in Mittelstraß Bd. 1 (1980), S. 556: "Entscheidungsproblem, das von D. Hilbert als Hauptproblem der mathematischen Logik bezeichnete Problem der Auffindung eines > Entscheidungsverfahrens, das über die > Allgemeingültigkeit bzw. > Erfüllbarkeit eines beliebigen vorgelegten, quantorenlogisch zusammengesetzten Ausdrucks (>  Quantorenlogik) entscheidet. A. Church bewies 1936, daß das E. in dieser allgemeinen Fassung unlösbar ist. Für verschiedene spezielle Klassen von Ausdrücken, z.B. für die monadische, d.h. nur einstellige Prädikatoren enthaltende klassische Quantorenlogik, sind jedoch Entscheidungsverfahren angegeben worden. Literatur ..."
• Existenz  ein grundlegender mathematischer Begriff, der so gut wie nirgendwo angemessen erörtert oder problematisiert wird. Eine gewisse Entartung und Beliebigkeit ist mit dem Existenzquantor "Es gibt ein ..." in die Mathematik gekommen.  In den mathematischen Wörterbüchern und Lexika kommt "Existenz" als eigener Eintrag nicht vor, wenn es auch viele Beispiele gibt, aus denen klar wird, dass Existenz weitgehend mit Zeigen, also Beweisen und Vorhandensein zu tun hat. Es gibt aber auch Auffassungen, die besagen, mathematisch existent sei, was widerspruchsfrei ist. Allgemein betrachtet wird man von dem, der die Existenz eines mathematischen Sachverhaltes behauptet, auch verlangen, dass er angibt, durch welches Verfahren die behauptete Existenz nachvollzogen und überprüft werden kann. Ich werde bei Gelegenheit das gesammelte Material zur "Existenz" mathematischer Sachverhalte ergänzen; hier erst mal zwei Zitate:

_
    Bourbaki, Nicolas (1971). Die Frage nach der Existenz [S. 36f]
"Von diesem Augenblick an sind die natürlichen Zahlen die Grundlage der gesamten klassischen Mathematik. Zudem erhielten die auf die Arithmetik gegründeten „Modelle" noch größere Bedeutung mit der Ausdehnung der axiomatischen Methode und der Auffassung mathematischer Objekte als freier Schöpfungen des Geistes. Tatsächlich aber unterlag dieser von Cantor propagierten Freiheit noch eine Einschränkung, nämlich die Frage nach der „Existenz", die schon die Griechen beschäftigt hatte und die sich nun noch dringender stellte, da genau jeder Appell an eine intuitive Darstellung jetzt aufgegeben war. Wir werden später noch sehen (p. 51-52), wie der Begriff der „Existenz" in den ersten Jahren des 20. Jahrhunderts zum Mittelpunkt philosophisch-mathematischer Auseinandersetzungen werden sollte. Doch im 19. Jahrhundert ist man noch nicht so weit, und der Beweis der Existenz eines mathematischen Objektes, das vorgegebene Eigenschaften hat, bedeutet einfach, wie bei Euklid, ein Objekt zu „konstruieren", das die angezeigten Eigenschaften hat. Das ist es genau, was die arithmetischen „Modelle" bezweckten: nachdem erst einmal die reellen Zahlen mit Hilfe der natürlichen [>37] „interpretiert" worden waren, waren es auch die komplexen Zahlen und die euklidische Geometrie dank der analytischen Geometrie, und das Gleiche gilt für all die neuen, seit Beginn des Jahrhunderts eingeführten algebraischen Schöpfungen. ... "


    Nahe kommt m. E. der Eintrag "Existenzaussage" aus dem Lexikon der Mathematik, Walz (2001, Red.), Bd.2, Spektrum, S. 107.

_
• Falsch Wert oder einer der beiden Wahrheitswerte in der zweiwertigen Logik; Bewertung, die einem objektsprachlichen Sachverhalt zugesprochen wird. Z.B. der mathematische Sachverhalt "2+3=6" ist falsch. "2+3=6" gehört zur objektsprachlichen Ebene, "falsch" zur metasprachlichen Ebene. Die Metamathematik gibt an und begründet, wie man zu diesen oder jenen Bewertungen kommt.
• Folgerung eine neue Aussage, die aus anderen Aussagen (> Voraussetzungen) mit Hilfe von Schlussregeln gewonnen wird. F. ist grundlegender Begriff der Wissenschaft, insbesondere der Mathematik und Logik. Man spricht auch von Schlussfolgerung.
• Formel Nach dem Duden Rechnen und Mathematik 1994, S. 187: "Formel: Gleichung oder allgemein eine >Aussageform, welche den Inhalt eines mathematischen Satzes wiedergibt. Eine Formel enthält in der Regel verschiedene >Variable, bei deren Ersetzung durch Elemente gewisser Grundmengen eine wahre Aussage entsteht. Beispiele für Formeln sind die >binomischen Formeln, die Formeln zur Berechnung von >Flächeninhalten und die >Formeln von de Morgan."
• Gesetz Eine Erklärung für die Bedeutung des Begriffs "Gesetz" sucht man gewöhnlich vergeblich. Der Ausdruck hat sich vor allem für "Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz" eingebürgert. Gemeint ist in der Regel, dass Assoziativität, Kommutativität oder Distributivität gilt.
• Gleichmaechtig/keit Dubioser Begriff der Mengenlehre. Im Endlichen die Anzahl, unproblematisch und überflüssig. Im Unendlichen falsch, weil man nur potentiell weiterzählen und nicht fertig werden kann und, falls, ausgelassene Abschnitte fehlen; man kann nur im Endlichen eineindeutig ("bijektiv") zuordnen.
• Gueltig, gilt, Geltung haben Gültig kann eine Aussage aus verschiedenen Gründen sein. Es sind daher Spezifikationen nötig.
• Homonyme  mehrdeutig - der Hauptfeind alles Exakten - nicht nur der Worte sondern auch der Begriffe.
• Kommutativitaet > Beispiel 01.
• Konstruktiv Im Lexikon der Mathematik von Spektrum, Walz (2001, Red.), Bd. 3, wird beim Stichwort "konstruktive Mathematik" auf den Eintrag Mathematische Logik verwiesen. Dort wird u.a.S. 380 ausgeführt:

    "In der intuitionistischen Logik, die von L.E.G. Brower initiiert wurde, werden als existierende Objekte zunächst nur beliebig große natürliche Zahlen anerkannt (schon die Menge der natürlichen Zahlen ist nicht ad hoc existent). In dieser Theorie wird ein mathematisches Objekt nur dann als existent angesehen, wenn es sich mit finiten Mitteln aus den schon zuvor vorhandenen Objekten konstruieren oder sich seine Existenz beweisen läßt, wobei die Beweismittel gegenüber der klassischen Logik erheblich eingeschränkt sind. Indirekte Beweise z. B. werden damit ausgeschlossen.
Die in diesem eingeschränkten Rahmen entwickelte Mathematik wird auch konstruktive oder intuitionistische Mathematik genannt. Der wichtigste Beitrag des Intuitionismus zur Grundlagenforschung besteht vor allem in der strengen Abgrenzung der konstruktiven von der nicht-konstruktiven Mathematik, denn wirklich rechnen (d.h. Probleme algorithmisch zu lösen) kann man nur im Rahmen der konstruktiven Mathematik."
• Korrolar Nach Beutelspacher (1992), S. 14, eine Folgerung, die sich aus einem anderen Satz oder einen Beweis ergibt. Als Beispiel führt er an: "Der Satz Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar hat als Korrolar: Es gibt transzendente Zahlen, denn die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar."
• Korrekt nach gewissen Regeln richtig durchgeführt, was im Zweifelsfall wie ein Satz zu beweisen ist.
• Leere Menge sie enthält kein Element, sie ist Teilmenge jeder Menge, wobei es genau eine leere Menge geben soll.
• Lemma Nach Beutelspacher (1992), S. 13f enthält ein Lemma einen besonders wichtigen Schlüsselgedanken. Heute werde aber Lemma auch als Hilfssatz gebraucht. Jedenfalls handelt es sich um einen Satz, der also bewiesen werden muss.
• Metamathematik kann als Wissenschaftstheorie der Mathematik betrachtet werden. In vielen Büchern wird sie nicht eigens genannt. Eine wohltuende Ausnahme sind Athen & Bruhn (1974).

    In Der kleine Duden Mathematik (1986), S. 293 gibt es unter dem Eintrag Metamathematik einen Querverweis auf Formale Logik. Dort wird S. 152 ausgeführt: "formale Logik (mathematische Logik): Teilgebiet der Mathematik, in dem grundlegende mathematische Fragestellungen, z. B. die Widerspruchsfreiheit mathematischer Theorien, und mathematische Begriffe, z. B. „Beweis", „Definition", präzisiert und behandelt werden. Daher spricht man auch von Metamathematik. Dabei wird eine Sprache geschaffen (Symbolisierung), in der man logische Zusammenhänge besser und übersichtlicher darstellen kann. Außerdem führt man Regeln ein, mit denen man von gegebenen Formeln und Zeichenreihen zu anderen Formeln bzw. Zeichenreihen übergeht (Formalisierung). Dadurch wird das logische Schließen präzisiert. ... "
    Das Spektrum Lexikon der Mathematik, Walz (2001, Red.), Bd.3, führt S. 416 aus: "Metamathematik, vermutlich von David Hilbert geprägter Begriff, der eine konstruktive Theorie bezeichnet, welche die gesamte Mathematik selbst zum Untersuchungsgegenstand hat."
    Eine Monographie hat Lorenzen (1962) vorgelegt. In der 6 bändigen Bibliographie Bibliography of Mathematical Logic (Müller & Lenski) sind allein bis 1987 Tausende von Arbeiten aufgeführt.
• Menge Die Defintion Cantors (1895): "Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ von M genannt werden) zu einem Ganzen."
• Operation Felix (1963, S. 39): "Das Wörterbuch von Littre erklärt 'Operation' zunächst als ein Tun, das eine Wirkung hervorruft; sodann, in einem engeren Sinne, als die Ausführung einer Rechnung mit Zahlen, um damit ein Ergebnis zu gewinnen. Wir betrachten hier das Wort, "Operation" in seinem allgemeinen Sinne, aber so, daß wir ihre mathematische Struktur präzisieren.

    Eine Operation erstreckt sich auf ein oder mehrere Elemente einer oder mehrerer Ausgangsmengen und liefert als Ergebnis ein Element der Endmenge. Eine Klasseneinteilung richtet sich nach der Anzahl der in Betracht gezogenen Elemente und Mengen sowie nach den Eigenschaften der Operationen.
    Das Studium der Operationen, zusammen mit dem der Relationen, ist Aufgabe der allgemeinen Algebra."
• Peano-Axiome zur Ableitung der natürlichen Zahlen. Dehaene (1999) weist S. 273f darauf hin, dass die Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen einen ganz entscheidenden Mangel haben, sie gelten nicht nur für die natürlichen Zahlen, sondern auch für beliebig viele Nicht-Standard-Modelle der Arithmetik.
• Postulat  Forderung, also eine Aussage, die gelten soll (> Axiom, Prinzip)
• Prädikat Grundbegriff der Logik, der im Wesentlichen durch seine Stelligkeit und durch seine Stufe unterschieden wird.
    Im Wörterbuch der Logik wird ausgeführt: "Prädikat: I. In der traditionellen Logik versteht man unter dem P. eines Urteils das, was in dem Urteil er das Subjekt des Urteils bejahend oder verneinend ausgesagt wird, man drückt durch das P. Vorhandensein oder das Fehlen eines Merkmals bei einem Gegenstand aus. ...
    II. In der mathematischen Logik versteht man unter einem n-stelligen P. über den Bereichen I₁,..., I_n eine Abbildung von der Menge I₁ x ... x  I_n  (>kartesisches Produkt) in die Menge {W, F} der Wahrheitswerte bzw. in die Menge {0,1}. ... In der neueren Literatur werden die P. vielfach Attribute oder Relationen genannt. Jede n-stellige prädikatenlogische Aussageform definiert ein bestimmtes n-stelliges P. über den Variabilitätsbereichen ihrer freien Variablen, das angibt, bei welchen Interpretationen der freien Variablen die Aussageform eine wahre Aussage liefert und bei welchen sie eine falsche Aussage ergibt. Da bei formallogischen Untersuchungen vom Inhalt der Aussagen und Aussageformen abstrahiert wird und nur der Wahrheitswert von Interesse ist, werden in der Prädikatenlogik an Stelle der Aussageformen die den Wahrheitswertverlauf wiedergebenden P.e beachtet, analog wie man in der Aussagenlogik an Stelle der Aussagen nur ihre Wahrheitswerte verknüpft. Bei dieser abstrakten Auffassung erhalten die P. der traditionellen Logik den Charakter von einstelligen P.en; in der Literatur wird ein einstelliges P. häufig mit der Menge oder Klasse aller der x identifiziert, auf die das P. zutrifft. Demgegenüber werden in der modernen Logik auch mehrstellige P.e studiert. Unter diesen muß man zwischen einsortigen und mehrsortigen P.en unterscheiden. Ein einsortiges liegt vor, wenn alle Objekte, auf die es sich bezieht, aus demselben „Individuenbereich" I kommen, d. h. ein n-stelliges einsortiges P. über Iⁿ ist eine Abbildung von Iⁿ in {W, F).
Ferner muß man zwischen P.en erster und höherer Stufe und bei den P. höherer Stufe zwischen P.en verschiedenen Typus unterscheiden. Hierzu muß zunächst nach (1) induktiv der Begriff des Typus definiert werden. ...  ... "

    Aus Athen & Bruhn (1974), S. 49:

 

• Prinzip  Übergeordnete, grundlegende Orientierung, z.B. Beweisprinzip: was behauptet wird, muss bewiesen werden.
• Produkt "Unter einem Produkt versteht man eine Rechenoperation, die im Normalfall aus zwei gegebenen Größen eine dritte – das Produkt dieser beiden – errechnet." [Wikipedia, Abruf 1.11.15] Interessant ist die Bedingung "Normalfall", die nicht weiter erklärt wird. Nach dem Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie gibt es aber auch - bei den Primzahlen und der 1 - eine "Produktdarstellung durch sich selbst". Das folgt sozusagen der Regel: weil ich Primzahl nur durch mich selbst und 1 teilbar bin, bin ich mein eigenes Produkt. Verallgemeinert ergibt sich als metamathematisches Prinzip: Definiert wird gerade so, wie und dass es passt.
• Rechenregel  gibt an, wie man rechnen kann, darf oder soll (> Rechen-Duden).

Regel  Eine Regel ist eine Handlungsanweisung, wie man vorgehen kann, darf oder soll. Regeln können auf Axiomen, Postulaten, Sätzen, Defnitionen oder einer eigenen Regelformulierung beruhen. So führt z.B. Junker (2010), S. 39, in seinem Exkurs über das  Auswahlaxiom aus: "Schwierig  ist,  wie öfters  in  der  Mathematik, der Umgang mit unendlichen Mengen, da  man diesen nicht aus der Anschauung gewinnen kann. Welche Verhaltensweisen endlicher Mengen darf  man  auf  unendliche übertragen?  Es braucht also Axiome, um Regeln für den Umgang mit der Unendlichkeit  festzulegen. Eine solche Regel ist das Auswahlaxiom, das einen  etwas mystischen Charakter erlangt hat. (Eine andere solche Regel ist das weiter vorne besprochene Induktionsprinzip.) "
• Satz Zu jedem Satz in der Mathematik gibt es mindestens einen Beweis. Ein Satz muss bewiesen sein. Nach Beutelspacher (1992), S. 13, kann der Stellenwert eines Satzes durch folgende Worte näher gekennzeichnet sein: "Hauptsatz, Satz, Theorem, Lemma, Korrolar".
• Schluss, schließen Methode, um aus vorliegenden Aussagen mit Hilfe gewisser Schlussregeln neue Aussagen zu gewinnen. (> Logik)
• Sprache Das Mittel und Medium der Kommunikation und so gesehen eine reichhaltige Quelle für Missverständnisse und fruchtlose Streitereien. Janich (2009) unterscheidet drei Sprachperspektiven: Objekt-Sprache (in einer Sprache über Sachverhalte sprechen), Meta-Sprache (über eine Sprache sprechen), Parasprache (Mischung aus Objekt-, Meta-, Alltags- und Bildungssprache. Will man es ganz genau machen, muss man seine Begriffe und Aussagen indizieren (Beispiel aus der Forensik hier).
• Struktur Ein Sachverhalt mit einer gewissen Ordnung oder Organisation kommt dem Strukturbegriff nahe. Kann man Beweise über Strukturen führen, so gelten diese sozusagen für alle Gebilde, die eine solche Struktur aufweisen.

    Das Fischer Lexkon Mathematik Bd. (1964) enhält im Sachregister unter Struktur folgende Einträge: "abstrakte, additive, algebraische, multiplikative, topologische". S. 291 definiert: "Eine abstrakte Struktur ist eine Äquivalenzklasse isomorpher Gebilde. ... Nach dieser Redeweise haben also isomorphe Gebilde dieselbe abstrakte Struktur."
• Term Nach Der kleine Duden Mathematik (1986), S. 414: "Term: Bezeichnung für gewisse sinnvolle mathematische Zeichenreihen, mit denen man 'rechnen' kann."
• Theorem Nach Beutelspacher (1992), S. 14 ein besonders wichtiger Satz, "der ein Höhepunkt in der Entwicklung einer Theorie ist."
• Trivial  Ein Sachverhalt wird so einfach und elementar angesehen, dass sich nähere Ausführungen nicht lohnen. So auch Beutelspacher (1992), S. 42 und kritisch: "„Trivial" ist das Wort in mathematischen Texten, das am häufigsten falsch gebraucht wird. Sie sollten immer mißtrauisch werden, wenn Sie lesen „dies ist trivial". „Trivial" bedeutet nicht „langweilig", „technisch kompliziert", „ich bin zu faul", „das kriegt doch jeder Student im ersten Semester hin", ..."

    Historisch: (Junker (2010), S. 38, führt aus: "Zur Herkunft von 'trivial': In der Spätantike und im frühen Mittelalter bestand die höhere Ausbildung aus den sogenannten Sieben freien Künsten, den Artes Liberales zunächst gewissermaßen als Grundstudium die drei sprachlich-logischen Disziplinen Grammatik, Rhetorik und Logik, die zusammen das Trivium ('Dreiweg') bildeten, dann als Hauptstudium das Quadrivium ('Vierweg') der vier mathematischen Disziplinen Arithmetik, Geometrie, Harmonielehre und Astronomie. 'Trivial' war also, was aus dem Trivium, dem Grundstudium, bekannt war. Als im Hochmittelalter die Universitäten mit zunächst den Fakultäten Theologie, Jura und Medizin entstanden, wurden die Freien Künste einerseits zu einem Propädeutikum des Studiums, andererseits zum Vorläufer der Philosophischen Fakultäten, weswegen die geisteswissenschaftlichen Abschlüsse im angelsächsischen Bereich und seit der Bologna-Reform auch bei uns Bachelor of Arts und Master of Arts heißen."
• Unklarer Status Hier ist, wie die Bestimmung schon ausdrückt, unklar, in welchem Sinne "Kommutativität" verwendet wird.
• Variable Platzhalter für Objekte eines bestimmten Variablen-Bereiches, z.B. x als Platzhalter für die natürlichen Zahlen. Man unterscheidet freie und gebundene Variable.
• Vermutung unbewiesene Aussage.
• Vollständigkeit z.B. der Prädikatenlogik erster Stufe liegt vor, wenn jede allgemeingültige Formel aus dem Axiomensystem ableitbar ist.
• Voraussetzung Sachverhalte, die für einen anderen Sachverhalt erfüllt sein müssen.
• Wahr > Falsch.
• Wohlunterscheidbar  Kriterium Cantors für Elemente in seiner Definition der  Menge  (1895). Ein grundlegend wichtiger Begriff, der einen Sachverhalt zu einer Einheit formt. Mathematisch sollte alles Diskrete und Endliche wohl unterscheidbar sein. Wohlunterscheidbares ist die tatsächliche und wahrnehmungspsychologische Grundlage für das Zählen.
• Wort  Wörter sind die Kleider der Begriffe, die ihrerseits meist nicht konstant eindeutig verwendet werden (> Homonyme).
• Zaehlen. Urmathematischer Grundbegriff, der in vielen Mathematikbüchern noch nicht einmal einen Sachregister-, Lexikon- oder Wörterbucheintrag hat.
• Zeichen Grundelement von Sprachen, in zwei Hauptformen: bildliche und lautliche Gestalt. Aus Zeichen werden Worte und Aussagen gebildet und nach gewissen Regeln angeordnet, etwa dass Zwischenräume ("blanks") oder Endezeichen  (Satzzeichen, z.B. Punkt oder Komma) ein Wort von einem anderen abgrenzen.

• Athen, H. & Bruhn, J. (1974-76, Hrsg.). Rechnen und Mathematik. München: Mosaik u.a. Lizenzausgaben [ISBN hier keine Angabe].
• Behnke, H.; Remmert, R.; Steiner, H.G. & Tietz, H. (1964, Hrsg.). Mathematik 1. Frankfurt a.M.: Das Fischer Lexikon.  [ISBN keine Angabe].
• Behnke, H. & Tietz, H. (1966, Hrsg.). Mathematik 2. Frankfurt a.M.: Das Fischer Lexikon.  [ISBN keine Angabe].
• Bourbaki, Nicolas (1971) Elemente der Mathematikgeschichte. Göttingen: Vandenhoek & Ruprecht. [S. 36f]
• Bruder, Regina;  Hefendehl-Hebeker, Lisa; Schmidt-Thieme, Barbara & Weigand, Hans-Georg (2015, Hrsg.) Handbuch der Mathematikdidaktik. Berlin: Springer (Spektrum).
• Deiser, Oliver et al. (2011) Die Mathematik und ihre Sprache. In (2-3) Deiser, Oliver; Lasser, Caroline; Vogt, Elmar & Werner, Dirk (2011) 12 x 12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik. Heidelberg: Spektrum.
• DIN-Taschenbuch 202 Formelzeichen, Formelsatz, mathematische Zeichen und Begriffe
• Felix, Lucienne (1963) Mathematische Strukturen als Leitfaden für den Unterricht. Göttingen: Vandenhoek & Ruprecht.
• Hischer, Horst (2012) Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung. Wiesbaden: Springer Spektrum. [Rezension GDM-Mitteilungen 95, 2013]
• Janich, Peter (2009) Kein neues Menschenbild. Zur Sprache der Hirnforschung. Frankfurt aM: Suhrkamp.
• Junker, Markus (2010) Einführung in Sprache und Grundbegriffe der Mathematik. Mathematisches Institut Albert-Ludwigs-Universität Freiburg. Wintersemester 2010/11, Version vom 22. Dezember 2010. Im Netz als pdf frei zugänglich. [Enthält das Wort "Metamathematik" nicht]
• Kondakow, N.I. (dt. 1978, russ. 1975). Wörterbuch der Logik. Berlin: deb.
• Lorenzen, Paul (1962) Meta-Mathematik Mannheim: BI.
• Maier, Hermann  & Schweiger Fritz (2008) Mathematik und Sprache Zum Verstehen und Verwenden von Fachsprache im Mathematikunterricht. Aus der Reihe MATHEMATIK FÜR SCHULE UND PRAXIS. Herausgegeben von Hans-Christian REICHEL Als pdf im Netz frei zugänglich. [Enthält das Wort "Metamathematik" nicht]
• Meschkowski, Herbert (1966) Mathematisches Begriffswörterbuch. Mannheim: BI.
• Mittelstraß, Jürgen (1980-1996, Hrsg.). Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. 4 Bde. Die ersten beiden Bände erschienen bei BI, Mannheim. Die letzten beiden Bände bei Metzler, Stuttgart.
• Müller, Gert H. & Lenski, Wolfgang (1987, Ed.) Bibliography of Mathematical Logic Vol. I-VI. Berlin: Springer.
• Naas, J. & Schmid, H.L. (1972-74, Hrsg.). Mathematisches Wörterbuch mit Einbeziehung der theoretischen Physik  Bd. I A-K, Bd. II. L-Z. Berlin und Leipzig: Akademie und Teubner.
• Piaget, Jean > Werke.
• Putnahm, Hilary (engl. 1975, dt. 1979) Die Bedeutung von "Bedeutung". Frankfurt aM: Klostermann.
• Reinhardt, Fritz & Soeder, Heinrich (1982 f) dtv-Atlas zur Mathematik. 2 Bde. München: dtv.
• Ruzsa, Imre (1976) Die Begriffswelt der Mathematik. Berlin: Volk und Wissen.
• Walz, G. (2001f, Red.) Lexikon der Mathematik. 6 Bde.: Verlag: Elsevier - Spektrum Akademischer Verlag. [ISBN: 3827404339]
• Weigand, Hans-Georg (2015) Begriffsbildung  In (255-269) Bruder, Regina et al. (2015).
• Wittenberg, Alexander Israel (1957). Vom Denken in Begriffen. Mathematik als Experiment reinen Denkens. Mit einem Geleitwort von Paul Bernays. Basel: Birkhäuser.

"Die GDM ist eine wissenschaftliche Vereinigung mit dem Ziel, die Didaktik der Mathematik - insbesondere in deutschsprachigen Ländern - zu fördern und mit entsprechenden Institutionen in anderen Ländern zusammenzuarbeiten. Sie wurde am 12. und 13. März 1975 in Saarbrücken während der Jahrestagung für Didaktik der Mathematik gegründet. Das Gründungsprotokoll ist veröffentlicht in Heft 1, Seite 3 der Mitteilungen der GDM.
    Die Mathematikdidaktik beschäftigt sich mit dem Lernen und Lehren von Mathematik in allen Altersstufen. Sie sucht Antworten auf Fragen der Art: Was könnten, was sollten Schüler im Mathematikunterricht lernen? Wie könnte oder sollte ein bestimmter mathematischer Inhalt gelehrt, eine bestimmte mathematische Fähigkeit vermittelt werden? Wie können Schüler mehr Freude an mathematischen Tätigkeiten gewinnen?"

"Die Lehrerbildung in Didaktik der Mathematik an der Universität Erlangen-Nürnberg basiert auf der Überzeugung, dass tragfähiger Mathematikunterricht auf soliden fachmathematischen Kenntnissen und deren souveräner Beherrschung aufbaut. Dementsprechend liegen die Ausbildungsschwerpunkte neben konkret - unterrichtsrelevanten Aspekten auch auf Fragen mathematischer Begriffsbildung, mathematischer Argumentation und der Anwendung von Mathematik. Damit sollen die Studierenden befähigt werden, fachlich und fachdidaktisch begründete Entscheidungen über die Gestaltung von Mathematikunterricht treffen zu können.
    Die Forschungsaktivitäten am Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik an der Universität Erlangen-Nürnberg verstehen sich hauptsächlich unter dem Paradigma der Verbindung zwischen Fachmathematik und Unterricht; und weniger als der Versuch, pädagogische und/oder psychologische Theorien und Strömungen (wie z.B. Konstruktivismus, Ganzheitlichkeit, ...) mit mathematischen Inhalten zu konkretisieren."

"Die Mathematikdidaktik beschäftigt sich mit dem Lehren und Lernen von Mathematik. Sie zeichnet sich dabei durch starke interdisziplinäre Bezüge aus. Einerseits ist sie stark mit der Mathematik als wissenschaftliche Disziplin sowie als Schulfach verbunden. Andererseits orientiert sie sich an der pädagogischen Psychologie, der Entwicklungspsychologie sowie der Erziehungswissenschaft und anderen Fachdidaktiken.
    In der Arbeitsgruppe Didaktik der Mathematik an der LMU werden Forschungsprojekte zum Lernen und Lehren von Mathematik an verschiedenen Stellen der Bildungsbiographie durchgeführt. Ziel ist dabei zu verstehen, was mathematische Kompetenzen ausmacht, wie Lernende mit Mathematik umgehen und wie mathematische Lernprozesse altersgemäß unterstützt werden können.
    Die in der Arbeitsgruppe durchgeführten Projekte basieren auf theoretischen Analysen sowie vorhandenen Forschungsergebnissen und bedienen sich meist empirischer Methoden um offene theoretische Fragen zu klären. Dabei kommen je nach Fragestellung qualitative, quantitative Methoden oder Kombinationen zur Anwendung. Im Vordergrund stehen meist Fragen der fachdidaktischen Grundlagenforschung, die einen starken Bezug zur Praxis des Lehrens und Lernens von Mathematik aufweisen.
Laufende Projekte
link Hier erhalten Sie einen Überblick über die in der Arbeitsgruppe derzeit laufenden Forschungsprojekte
link Internationales Doktorandenkolleg "Reason"
Links
• International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME)
• Gesellschaft für Didaktik der Mathematik
• Deutsche Mathematiker-Vereinigung
• Deutsche Gesellschaft für Erziehungswissenschaft
• Arbeitsgruppe für Empirische Pädagogische Forschung
• MathEduc (Mathematics Education Database)"

"Metamathematik, Bezeichnung (1) für diejenige metasprachliche (> Metasprache) mathematische Theorie, deren Untersuchungsgegenstand die formalen axiomatischen Theorien (> System, axiomatisches) der Mathematik sind. In diesem engeren Sinne wird manchmal nur die sich aus dem > Hilbertprogramm ergebende >  Beweistheorie, meistens jedoch, neben der Klärung der > Widerspruchsfreiheit formaler Theorien, auch die Untersuchung von Problemen wie >  Berechenbarkeit, > Beweisbarkeit, > Entscheidbarkeit und > Unvollständigkeit bezüglich solcher Theorien als >M,< bezeichnet. (2) In einem weiteren Sinne gelten neben den syntaktisch orientierten Untersuchungen im Sinne von (1) auch die semantisch orientierte > Modelltheorie und konstruktive Theorien über axiomatische Theorien als M. Eine solche Erweiterung des Wortgebrauchs scheint zweckmäßig zu sein, da sich manche Theoreme (z.B. der > Unvollständigkeitssatz) sowohl beweistheoretisch als auch modelltheoretisch beweisen lassen. Historisch trat der Ausdruck >M.< wohl erstmals in einem (analog zu > Metaphysik <) pejorativen Sinne gegen Ende des 19, Jahrhunderts anläßlich der Kritik an pseudophilosophischen Spekulationen im Anschluß an die Theorie mehr als dreidimensionaler Geometrien auf. Viele Mathematiker verwendeten >M.< (neben dem synonym gebrauchten >Metageometrie<) zur Bezeichnung der > nicht-euklidischen Geometrie. Die heutige Bedeutung von >M.< im Sinne von (1) geht auf D. Hilbert zurück. ...  ..."

Eine kreativ-kämpferische Wortschöpfung Wolfgang Mückenheims, der es aus Mathematik und Theologie gebildet hat, womit er sozusagen die "Theologie" der Absurditäten des Unendlichen in der Mathematik geißelt und brandmarkt. Allerdings verwandte schon Paul Gordan (1888) den Theologievorwurf gegenüber einem reinen Existenzbeweis durch David Huber.: "Das ist keine Mathematik, das ist Theologie."

• Frege, Gottlob (1879) Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle 1879 (Neudruck Darmstadt u. Hildesheim 1964), X, 88 S.
• Frege, Gottlob (1879) Anwendungen der Begriffsschrift. Jenaische Zeitschr. f. Naturwiss. 13 (1879), Suppl.-Heft II, 29—33.
• Frege, Gottlob (1882) Über den Zweck der Begriffsschrift. Jenaische Zeitschr. f. Naturwiss. 16 (1882), Suppl.-Heft I, 1—10.
• Frege, Gottlob (1882) Über die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift. Zeitschr. f. Philos. u. philos. Kritik, N.F. 81 (1882), 48—56.
• Frege, Gottlob (1884) Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl. Breslau 1884 (Neudruck Breslau 1934 und Darmstadt u. Hildesheim 1961); XXIII, 119 S. Dt.-Engl. Ausgabe (mit engl. Übers, v. J.L.Austin) New York 1950. Italien. Ubers, in: G. Frege, Aritmética e lógica, Traduzione e note del L. Geymonat, Torino 1948, 15—187.
• Frege, Gottlob (1885) Über formale Theorien der Arithmetik. Sitz.-Berichte der Jena¬ischen Gesellschaft f. Medizin u. Naturwiss. (Suppl. z. Zeitschr. f. Naturwiss. Bd. 19.) (1885), 94—104.

• Frege, Gottlob (1891) Function und Begriff. Jena:
• Frege, Gottlob (1892a) Über Sinn und Bedeutung Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik. N. F. 98(1891),145-161. (Nachdruck in [Patzig 1962])
• Frege, Gottlob (1892b) Über Begriff und Gegenstand. Vierteljahresschrift für wissenschaftliche Philosophie,

16(1892), 192-205. (Nachdruck in Patzig, 1962)
• Frege, Gottlob (1893) . Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet. Bd. I: XXII, 254 S. Jena 1893. Bd. II: XV, 265 S. Jena 1903 (Neudruck Darmstadt u. Hildesheim 1962).
• Frege, Gottlob (1918) Der Gedanke  Eine logische Untersuchung. Beiträge zur Philosophie des deutschen Idealismus, 1, Heft 1, 58-77. Wieder abgedruckt in Patzig, Günter (1966, Hrsg.) Gottlob Frege. Logische Untersuchungen. Göttingen; Vandenhoeck & Ruprecht. [Digital]
• Frege, Gottlob (1919) Die Verneinung  Eine logische Untersuchung. Teil. Beiträge zur Philosophie des deutschen Idealismus, 2, Heft 1, 143-157. Wieder abgedruckt in Patzig, Günter (1966, Hrsg.) Gottlob Frege. Logische Untersuchungen. Göttingen; Vandenhoeck & Ruprecht. [Digital]
• Frege, Gottlob (1923) Das Gedankengefüge  Logische Untersuchungen Dritter Teil. Beiträge zur Philosophie des deutschen Idealismus, 3, Heft 1, 36-51. Wieder abgedruckt in Patzig, Günter (1966, Hrsg.) Gottlob Frege. Logische Untersuchungen. Göttingen; Vandenhoeck & Ruprecht. [Digital]