Zum Geleit Die große Verwirrung "D. KOMPLEXE ZAHLEN. Wohl kaum eine andere mathematische Theorie richtete und richtet in den Gemütern mathematischer Laien eine größere Verwirrung an als die Theorie der komplexen Zahlen. Die Vorstellungen, die selbst heute noch von denkenden Menschen mit sog. guter Allgemeinbildung über diese Größen, insbesondere über die 'imaginäre Einheit', entwickelt werden, sind häufig von einer erschreckenden Naivität. ..."  DAS FISCHER LEXIKON Mathematik 1  (1964), S. 348.
    Das mag sein, aber haben Mathematik und die Mathematik-Didaktik nicht einen sehr großen Anteil daran? Siehe Zusammenfassung-2.

Zusammenfassung-1 Irritationen beim Lernen der komplexen & imaginären Zahlen
Hintergrund der Arbeit ist, dass mir vor ein paar Jahrzehnten mal ein Mathematiker (Volkhard Rührig) sein Bedauern ausgedrückt hat, dass ich den Hauptsatz der Algebra ohne die komplexen Zahlen nicht verstehen könne. Diesen Mangel wollte ich nun beheben, daher begann ich, mich mit den komplexen Zahlen zu beschäftigen. Das Gebiet erscheint mir mehr als komplex ;-), was perfekt zur Namensgebung passt. So ist wohl auch nicht verwunderlich, dass ich dabei auf einige Verständnisschwierigkeiten gestoßen bin, die mich nun veranlassten, meine Probleme hier aufzuschreiben und darzustellen. Zur leichteren Bezugnahme habe ich meine "Irritationen" einfach durchnumeriert.
    Eine Hintergrundirritation - lange vor der nun ausgiebigeren Beschäftigung - ergab sich, dass eine Zahl nicht mehr "eine" Zahl, sondern zusammengesetzt, die Summe aus "zwei" Zahlen war. In meinen Gedanken gab es einen Widerstand, ein Sträuben, zwei Zahlen (eigentlich sind es ja drei: a, b, i) als "eine" Zahl anzusehen.
1. Irritation  In nahezu allen Mathematikbüchern und Lexika steht: Eine komplexe Zahl ist als Paar reeller Zahlen der Form z = a + bi definiert, wobei a und b reelle Zahlen sind, a der Realteil und b der Imaginärteil heißt. Was in diesem Ausdruck a + bi oder a + ib nun genau was ist, wird unterschiedlich dargestellt. Irritiert hat mich, dass so, wie es doch dort steht, bi und nicht nur b der Imaginärteil ist. Genau genommen besteht die formale Definition aus drei Teilen: a, b, i.  Der Imaginärteil ist das Produkt aus der reellen Zahl b und der sog. imaginären Einheit i wodurch bi zu einer imaginären Zahl wird. Beides, also das Produkt bi, heißt Imaginärteil.
2. Irritation  Sie bestand darin, dass als Lösung der Gleichung x^2 = -1 der Buchstabe  i  angegeben wird. Aber  i  ist nach meinem Verständnis keine Lösung, sondern ein bloßes Definiendum  oder Symbol, wenn auch offenbar sehr nützlich. Ich suchte nach einer Ergebnislösung für WURZEL(-1), das so, wie es dem Definiendum i zugeordnet wird, ja noch eine auszuführende Aufgabe und keine Lösung ist. Die Abkürzung  i erscheint lediglich als technisch-symbolisches Rechen-Hilfsmittel. Das hat mich insofern besonders irritiert, weil ja in nahezu jeder Abhandlung über die komplexen Zahlen zu lesen ist, dass man eine Lösung für die Gleichung  x^2+1 = 0 sucht, die es im Reellen nicht gibt.
3. Irritation  Im Zusammenhang mit der 2. Irritation stellte sich für mich somit die Frage: Was bedeutet die imaginäre Einheit nun genau? .
4. Irritation  Was kommt denn nun heraus, wenn man die Quadrat-Wurzel aus einer negativen reellen Zahl, hier speziell WURZEL(-1) zieht? Merkwürdigerweise findet man diese Frage in den meisten Abhandlungen zu den komplexen Zahlen nicht beantwortet. Auf meine Frage in de.sci.mathematik erhielt ich die Antwort  i  und  -i, die für mich nicht nur unbefriedigend war, sondern die ich auch für falsch halte, obwohl das offenbar in der Mathematik gängige Lehre ist: Die Lösungen der Gleichung WURZEL(-1) seien  i  und  -i. Bei Matlab wird allerdings nur  i nicht  -i, dafür mit reellem Faktor 1 ausgegeben.
5. Irritation   Sie ergab sich dadurch, dass ich  meine "Lösung"  für  i  in den Mathematikbüchern, die ich befragt hatte, nicht finden konnte. Gesucht ist "eine" Zahl, deren Produkt -1 ergibt. Es liegt auf der Hand, dass dies nur die Zahlen +1 und -1 sein können, also zwei Zahlen vom gleichen Betrag. Allgemein (+a) * (-a), a > 0. Als erste Näherungs-Lösung für WURZEL(-a), a > 0 bietet sich an (-1) * WURZEL(|-a|)  und  (+1) * WURZEL(|-a|). Nach diesen Überlegungen bestünde die Quadratzahl aus zwei dem Betrag nach gleichen Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen, wobei die Multiplikation aber dem Reellen entlehnt und daher nicht statthaft ist, weil wir uns außerhalb des Reellen befinden.  Berücksichtigt man die Multiplikationsregel für die komplexen Zahlen  (a,b)*(c,d) = ac - bd, ad + bc   so ergibt sich wie vorüberlegt:
(0 + 1) * (0 + 1) = 0 - 1,  0 + 0 =  -1
(0 - 1)  * (0 - 1) =  0 + 1, 0 + 0 = +1
6. Irritation  Diese ist mehr formal-technischer Natur. In meinem alten Bronstein (1981, 20. Auflage) S. 558 wird Beta erst als Imaginärteil (0, Beta) deklariert, dann aber in der Position des Realteils (Beta, 0) angewendet. Irritiert hat mich: dass Beta anscheinend sowohl im Realteil als auch im Imaginärteil verwendet wird.

Anmerkung Bronstein (1981) bezeichnet ib (b für Beta) als rein imaginäre Zahl.
    Mein Weg zum Hauptsatz der Algebra gestaltet sich also etwas mühsam, wenngleich ich immer mehr staunte und bewunderte, was z.B. Euler mit den imaginären Zahlen in seiner Zauberformel e^(i*pi)+1 = 0 schon 1748 geleistet hatte. Aufgrund der Irritationn habe ich ein Sichtung aus der Literatur zu den imaginären und komplexen Zahlen vorgenommen. Die Ergebnisse meiner Sichtung (Auswahl) finden Sie in Zusammenfassung-2.

    Ich setze mit dieser kleinen Arbeit die Dokumentation meiner Irritationen und Schwierigkeiten mit der Sprache der Mathematik fort, quasi anknüpfend an  meine vorangehenden Dokus (Kommutativität, Zählen).

Zusammenfassung-2 Ergebnisse der Sichtung mathematischer Texte zu den imaginären und komplexen Zahlen

Was heißt Imaginaerteil? Es herrscht grundlegende Unklarheit und Unsicherheit bis zur Widersprüchlichkeit, was in der algebraischen Normalform z = a + bi  nun der Imaginärteil sein soll und was nicht. Im Einzelnen fand ich:

1. Die Mehrheit (z.B. DIN 202, Engel, Kretzschmar, Wikipedia, Rottmann, ) sagt b sei reell und der Imaginärteil von z = a + bi. Das kann aber nicht richtig sein, weil, wenn b reell ist, eine reelle Zahl allein nicht der Imaginärteil sein kann, weil eine reelle Zahl nun einmal nicht imaginär ist..
2. Einige sagen bi repräsentiere den Imaginärteil (Bronstein, Dittmann, dtv-Atlas Mathematik, Farkas, Kleiner Duden Mathe, Mückenheim, ).
3. Manche widersprechen sich, weisen einmal b dann wieder bi als Imaginärteil aus (z.B. dtv-Atlas Mathematik b, bi).
4. Manche lassen es offen und sagen b bzw. bi sei der Imaginärteil (so der Duden Rechnen und Mathematik 1994).
5. Und schließlich kann man auch ausweichen und sich dazu nicht ausdrücklich äußern.

Was "ist" i und was ist WURZEL(-1)?

• i  ist das Zeichen für WURZEL(-1). Nach den Regeln der Definitionslehre ist  i  das Definiendum und WURZEL(-1) das Definiens. In der Definitionslehre wird hierfür das Zeichen ":="  (so z.B. in Engesser, 1986, Imaginäre Zahlen, S. 207 ) "=def" oder auch "def" unter "=" verwendet. Der Ausdruck "i:=WURZEL(-1)" heißt, dass in allen Ausdrücken, in denen das Zeichen "i" verwendet wird, auch der Ausdruck "WURZEL(-1)" verwendet werden darf.
• Setzt man i=WURZEL(-1), dann bedeutet dies, dass WURZEL(-1) als Wertzuweisung zu interpretieren ist.
• Wurzelausdrücke sind mehrdeutig. Man kann z.B. mit WURZEL(2) erstens die unendliche Irrationalzahl meinen, die sich beim effektiven Wurzelziehen ergeben würde, wenn man nur fertig werden könnte, zweitens die Formulierung der Aufgabe, die Wurzel effektiv zu ziehen, drittens die Ausführung der Aufgabe, wobei man dann einen Näherungswert erhalten wird, z.B. 1,4142213562, so mein Taschenrechner, dessen Genauigkeit für die allermeisten Rechnungen genügen sollte. Und diese drei Bedeutungen gibt es auch bei WURZEL(-1). Erstens denkt man sich abstrakt-allgemein, dass es eine Lösung gibt. Zweitens formuliert man die Aufgabe durch hinschreiben, die WURZEL(-1) zu ziehen. Und drittens und letztens ist noch effektiv die WURZEL(-1) oder allgemein WURZEL(-a), a>0, reell zu ziehen.

Zwischenstand-2 (04.09.2016)
(1) "i"  wird einerseits als Symbolzeichen mit dem Namen "Imaginäre Einheit", andererseits als Wert i=WURZEL(-1) gebraucht. Zugleich wird als  i  und -i  auch als Lösung für die Gleichung x^2+1=0 bezeichnet. i und -i  sind die Nullstellen dieser Gleichung. In der Tat: setzt man in x^2+1=0 ein WURZEL(-1) * WURZEL(-1) + 1 = 0 ergibt sich -1 + 1 = 0. Meine Irritationen um die Bedeutung von "Lösung" sind damit beendet.  Ich hatte ständig nach einer Lösung gesucht, was denn herausraus kommt, wenn man die Wurzel aus -1 tatsächlich zieht so wie die Wurzel(4) eben 2 ergibt. Ich verstehe jetzt, was gemeint ist, enn man von  i und -i  als Lösung spricht: es sind Nullstellen der Gleichung x^2+1=0.
(2) Die Werte von  i  und  -i  lassen  sich herleiten aus (0,1)*(0,1) = 0 - 1, 0 + 0 = -1 bzw. (0,-1)*(0,-1) = 0 - 1, 0 + 0 = -1.
(3) Die Äquivalenz ib = (0, b) hat FF in dsm (July 12, 2016 at 5:00:17) noch einmal gezeigt: "Mit anderen Worten, es gilt also: ib = (0, 1)*(0, b). Nach den Rechenregeln für die komplexen Zahlen (siehe Bronstein-Zitat), gilt dann also:
ib = (0, 1)*(0, b) = (0 * b - 1 * 0, 0 * 0 + 1 * b = (0, b)."
Neue Irritation:
(4) i^2=-1 lässt sich aus (0,1)*(0,1) = (-1,0) herleiten. Setzt man i^2 in x^2 ein, ergibt sich i^2 + 1 = 0. Das Quadrat einer imaginären Zahl ergibt eine reelle Zahl. Das kann man nach der Herleitung (0,1)*(0,1) = (-1,0) nachvollziehen. Damit besteht der ganze Ausdruck i^2 + 1 = 0 aus reellen Zahlen -1 + 1 = 0. Die komplexe Zahl x^2 + 1, wenn man  i  in x einsetzt, besteht demnach aus lauter reellen Zahlen, obwohl sie im Reellen keine "Lösung" hat und keine reelle Zahl ist.

Exkurs Kurzausflug in die Geschichte der komplexen Zahlen
Beim Lösen von Gleichungen kam es vor, dass negative Werte in Quadratwurzeln auftraten, die man mit den bekannten Mitteln nicht lösen konnte, weil der Satz galt: eine Zahl mit sich selbst multipliziert ist immer positiv, was im Widerspruch z.B. zu x=WURZEL(-4). Cardano (zit. nach Pieper 1984, S. 193) formulierte 1545 die Aufgabe, die Zahl 10 so in zwei Summanden zu zerlegen, dass das Produkt 40 ergibt (x1=5 + WURZEL(-15); x2=5 - WURZEL(-15)). Als Paradebeispiel dient die Gleichung x^2+1=0 bzw. x^2=-1 also x=WURZEL(-1). Lange Zeit wurden die imaginären Zahlen als "unmögliche" Zahlen bezeichnet. In der Tat erscheint die Vorstellung, dass eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert, einen negativen Wert ergibt, unmöglich. Und es gibt auch keine solche Zahl. Hingegen macht die Vorstellung, dass eine Zahl +a mit -a multipliziert keine Probleme: +1 * -1 = -1, +2 * -2 = -4,  +4 * -4 = -16. Mit dieser Vorstellung ist man bereits einer Lösung nahe, weil man ein Zahlenpaar betrachtet. Indem man feststellte, dass sich die Ausdrücke manchmal weg kürzen ließen und dann zu reellen Resultaten führten (Bombelli 1572 nach Pieper 1984, S. 195), waren die "unmöglichen" Zahlen letztlich nicht störend. Aber das funktionierte nicht immer und die "unmöglichen" Zahlen blieben lange Zeit unverstanden, obwohl man sie rechnerisch geschickt anwendete - ein Beleg, wie nützlich Fiktionen in der Wissenschaft und in der Mathematik sein können. Die Entwicklung der komplexen Zahlen zog sich über 300 Jahre hin. Euler erfand die imaginäre Einheit über i^2 = -1, woraus dann folgte: i = WURZEL(-1). Und er fand e^(i*phi) = cos phi + i sin phi woraus sich die vielfach bewunderte Gleichung e^(i*pi)+1 = 0 ergab. Der Ausdruck imaginäre Zahl soll auf Descartes zurückgehen; den Ausdruck komplexe Zahl hat Gauß 1831 eingeführt. Er war bestrebt, den komplexen Zahlen aus ihrem nur geduldet sein zum vollen Bürgerrecht zu verhelfen. Beispiel: Wurzel(-4) ist im Reellen nicht lösbar, weil Quadrieren einer reellen Zahl immer zu einer positiven - minus mal minus ist per definitionem plus - reellen Zahl führen muss. Eine komplexe Zahl hat die (algebraische Normal-) Form z = a - bi, wobei a als Realteil (reelle Zahl) bezeichnet wird und bi als Imaginärteil mit b als reelle Zahl und i als imaginäre Einheit.
 

Kritik DIN 202 (1984)
Nach 4.3 ist nur y der Imaginärteil. Offensichtlich ist aber iy der Imaginärteil (> Farkas, dtv-Atlas, Duden, Mückenheim, ). Neu scheint auch die Verknüpfung "mit z = x + iy" in 4.2 und 4.3, die hier nicht erklärt ist und dunkel bleibt. Wünschenswert wäre zudem, dass der Körper der komplexen Zahlen an dieser Stelle klar definiert wird.

Anmerkungen S. 37: "

 

Was heißt genau "imaginaere Einheit" und imaginäre Zahl?

Exkurs Vorueberlegung zum Begriff der Einheit
In der Physik haben wir gelernt, dass eine physikalische Größe aus einer Maßzahl und einer Einheit besteht. Betrachtet man sich die Verwendung von  i  kann in der Tat der Eindruck einer solchen Einheit nentstehen. Dazu habe ich aber in den von mir eingesehenen Texten keine Ausführungen gefunden. Nachdem der Körper der komplexen Zahlen lediglich durch  i  ergänzt wird, kann man das so auffassen, dass jede komplexe Zahl mit Hilf eder reellen Zahlen und der imagniären Einheit  i  dargestellt werden kann.

Man rechnet nicht mit der Lösung aus i=WURZEL(-1), sondern genau mit dieser sog. imaginären Einheit. Irritierend ist, weshalb man dann i als "Lösung" bezeichnet. WURZEL(-1) ist keine Lösung, sondern die Aufgabe, genau der vorletzte Schritt, i ist ja bloß eine Abkürzung, das Definiendum für das Definiens WURZEL(-1). Ich habe kein Problem damit, dass es nützlich und sinnvoll ist, mit  i  zu rechnen. Auch der Vergleich mit  e  hinkt, denn  e  ist ein Zahlenwert, genauer ein Zahlenendwert, ein Ergebnis. So gesehen könnte man  i  vergleichen mit der Aufgabe EXP(1). Klar ist weiter, dass WURZEL(-1) keine reelle Zahl sein kann, weil es im Reellen keine Zahl gibt, deren Quadrat negativ ist.  Die mir in de.sci.mathematik mitgeteilten "Lösungen" auf meine Frage nach dem Zahlenergebnis WURZEL(-1) mit i  und  -i  sind m.E. nicht nur unbefriedigend (im Grunde zirkulär, analytisch wahr oder tautologisch), sondern auch falsch, denn man sagt ja nur i = i.
 

Verzicht auf die Nutzung des Begriffs "imaginaere Einheit"
In Komplexe Zahlen für Dummies hat "imaginäre Einheit" keinen Sachregister-Eintrag und ich fand den Begriff auch sonst nicht im Text. Das ist insofern interessant, als es zur Einführung der komplexen und imaginären Zahlen nicht notwendig erscheint, den Begriff der "imaginären Einheit" einzuführen. S. 29 führt aus:



Imaginaere Zahlen Kleiner Duden Mathe (1986)

Anmerkung: Hier wird das Definitionszeichen verwendet,
so dass also klar ist, i ist hier Definiendum, WURZEL(-1)
das Definiens. Außerdem wird die Form bi als imaginäre
Zahl bezeichnet, hier durch a * i.
 
 

i  als imaginaere Einheit - Beispiele

Nach Lambacher Schweizer (1967) Algebra 2 sind die Zahlenwerte, die i ^2 zugeschrieben werden, das Ergebnis einer Definition:

Wieso eine "Definition" eine "Lösung" sein soll, bleibt unerklärt.

Mathematisches Woerterbuch Naas & Schmid (1972, Hrsg.), Bd. 1, S. 946: i als imaginäre Einheit.
Kein Eintrag unter I (1. Bd.). Unter dem Eintrag komplexe Zahl wird zur imaginären Einheit ausgeführt:

Kritik Naas Die Zahl  i  ist keine Lösung der Gleichung, sondern eine Bezeichnung oder ein Symbol für WURZEL(-1), die für die Lösungen allerdings erst noch gezogen werden müsste.
_
bi als Imaginaerzahlen nach Dittmann (1981), S. 20

_
dtv-Atlas der Mathematik, 5. A. 1982, S. 65

Anmerkung: Im Schaubild S. 64 zur Gaußschen komplexen Zahlenebene wird nur b als imaginäre Zahl bezeichnet.
_
Farkas Herbstsemester 2014 (PDF im Internet)

 

Imaginärteil  b  bzw. bi im Duden Rechnen und Mathematik
a₂ entspricht  _b bzw. a₂i  entspricht  bi.

Es ist also nicht klar und anscheinend beliebig, ob man nun b bzw. bi
als Imaginärteil ansieht.
_
Rottmann (1991), S. 12

_
Walz (2003, PL) Lexikon der Mathematik Spektrum, Bd. 2: i^2 als imaginäre Einheit.

_
Imaginaere Zahlen nach Wikipedia


Kritik Wikipedia Der Imaginärteil sollte aus i * b bestehen, wobei b eine reelle Zahl ist.

_
Definition bei Engel (2009)

Kritik Def Engel Wieso verschwindet  i  aus dem Imaginärteil?
_
Definition bei Kretzschmar (2011)

_
Imaginaerteil bi nach Mueckenheim (2010)  S. 37

• Geordnetes Paar reeller Zahlen z=(a,b).
• Algebraische Normalform z = a + bi  = a + ib.
• Gaußsche komplexe Zahlenebene  z = a + bi (geometrische Veranschaulichung).
• Polarform z = |z| (cos phi + i sin phi).
• Exponentialform z = |z| e^(i*ar(z))  mit arg(z) = 0, pi/2, pi, 3/2 pi.
• Moivre-Formel (cos phi + i sin phi)^n = cos n*phi + i sin n*phi.
• i  als Drehoperator.

Komplexe Zahlen als geordnetes Paar reeller Zahlen: z = (a, b)
 

Komplexe Zahl nach Engel (2009)


Komplexe Zahl nach Dittmann (1981), S. 22

 _

Kritik dtv-Atlas Hier wird nur b als Imiganärteil angegeben im Widerspruch zu S. 65, nur eine Seite daneben, wo bi als imaginäre Zahl angegeben wird (dtv-Atlas der).

      y = |z|  sin phi
      |z|  = WURZEL(x^2 + y^2)
tan phi = y/x . x <> 0

Die Multiplikation einer komplexen Zahl z mit i, i^2, i^3 dreht diese in der Gaußschen komplexen Zahlenebene jeweils einen Quadranten gegen den Uhrzeigersinn weiter. Wenn z=1 + i, dann ist z*i = -1 + 1i, z*i^2 = -1 - 1i, z*i^3 = 1 - 1i. Das Schaubild zeigt eine Raute.
_

Eigene Vorueberlegungen
Gesucht ist eine Zahl, deren Produkt -1 ergibt. Es liegt auf der Hand, dass dies die Zahlen +1 und -1 sind, also zwei Zahlen vom gleichen Betrag. Allgemein (+a) * (-a), a > 0. Als Lösung für WURZEL(-a), a > 0 bietet sich an (-1) * WURZEL(|-a|) = (-1) * WURZEL(a). Nach diesen Überlegungen bestünde die Quadratzahl aus zwei dem Betrag nach gleichen Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen, wobei die Multiplikation aber dem Reellen entlehnt ist. Berücksichtigt man die Multiplikationsregel für die komplexen Zahlen  (a,b)*(c,d) = ac-bd, ad + bc   so ergibt sich wie vorüberlegt:
(0 + 1) * (0 + 1) = 0 - 1,  0 + 0 = -1
(0  - 1) * (0 - 1) = 0 + 1, 0 + 0 = +1

Darstellung des Wurzelziehens aus imaginären Zahlen (14.08.2016)

Die "Loesungen" für x^2 + 1 = 0  bzw. allgemein
21.08.16 Die Mathematik lehrt: i = i und -i. In Worten: Die Lösungen aus WURZEL(-1) lauten WURZEL(-1) und -WURZEL(-1). Es hat ca. vier Wochen gedauert, bevor ich diese Aussage nun so formulieren konnte. Inhaltlich akzeptieren kann ich die Lösungen nicht, weil sich meine Vorstellung dagegen sperrt, dass das Ergebnis des Wurzel ziehens zur gleichen Zahl führen kann wie die Wurzel selbst. Auch als ich versuchte, mir mit der Analogie im Reellen, die erste Ableitung aus e^x ist wiederum e^x zu helfen, wurde es nur wenig besser. Ich bin also noch nicht durch.
23.08.16 Nur in einem Buch fand ich zunächst die Frage beantwortet, was denn nun nach Einführung der komplexen Zahlen, für x^2+1=0 herauskommt. Nämlich bei Mückenheim (2010), S. 133:

Das hatte mit meiner Irritation um den Begriff der "Lösung" zu tun (> Zwischenstand-2 (1)). Ich war darauf fixiert, was denn nun herauskommt, wenn man die Wurzel aus -1 tatsächlich zieht.
 

i  als Loesung bei Oberschelp (1976), S. 162 (Hinweis FF in dsm 19.7.16)

Loesung i und -i nach Fritzsche, K. (2016)

_
Bartsch Loesung a^2=-a, a > 0, reell

Nach Dittmann (1981), S. 20 ergibt sich für WURZEL(-1) = 1i und -1i.

Anmerkung: Das Sachregister enthält keinen Eintrag Exponentialdarstellung.

Nach Dittmann (1984), S. 23, Fußnote: "Man beachte: Der Imaginärteil ist selbst eine reelle Zahl". Korrekt müsste es heißen: "Der Imaginärteil in der geordneten Paardarstellung ist selbst eine reelle Zahl".
_
Loesungen nach Kretzschmar (2011)
Als Lösungen für WURZEL(-1) ergeben sich 1i und -1i.


_
i  und  -i  Wurzeln aus -1 nach Karpfinger

_
Uni Regensburg i und -i

_
Spezielle Lösung für Wurzel(-1) nach Wikipedia

Hier ist plötzlich - wie so oft - b verschwunden, nämlich die 1.
_
Allgemeine Loesung nach Wikipedia

Loesungen quadratischer Gleichungen in C nach Lambacher Schweizer

_
Quadratwurzel ziehen mit Matlab Studentenversion 5.3

> Zum Gefühl bekommen Beispiele mit Matlab (Stud 5.3).

• Bartsch, Hans Jochen (1982) Taschenbuch Mathematischer Formeln. 3. - 6. Auflage. Frankfurt: Deutsch.
• Behnke, H.; Remmert, R.; Steiner, H.G. & Tietz, H. (1964, Hrsg.). Mathematik 1. Frankfurt a.M.: Das Fischer Lexikon.
• Bronstein, L.N. & Semendjajew, K.A. (1981) Taschenbuch Mathematik Neubearbeitung. 20. Auflage. Frankfurt aM: Deutsch.
• Dittmann, Helmut (1981) Komplexe Zahlen. 4. Auflage. München: Bayerischer Schulbuch-Verlag.
• DIN-Taschenbuch 202 Formelzeichen, Formelsatz, mathematische Zeichen und Begriffe
• Engel, Joachim & Fest, Andreas (2016)  Ausgabe: 3., erweiterte und überarbeitete Auflage. Berlin; Boston: de Gruyter. Hier vorletzte Auflage aus 2009 genutzt.
• Engesser, Hermann (1986). Der kleine Duden Mathematik. Mannheim: PI. [kein Eintrag Hauptwert]
• Engesser, Hermann & Scheid, Harald (1994, 5.A.). Duden. Rechnen und Mathematik. Das Lexikon für Schule und Praxis. Mannheim: Duden-Verlag. [kein Eintrag Hauptwert]
• Fritzsche, Klaus (2016) KomplexeZahlen (oder: ImaginareWelten) In (299-312) Tutorium Mathematik für Einsteiger. Berlin: Springer.
• Karpfinger, Christian (2014) Höhere Mathematik in Rezepten. Berlin: Springer.
• Kretzschmar, Frank (2011) Komplexe Zahlen für Dummies. Das Pocketbuch. Wiley. [S. 36, 113]
• Mückenheim, Wolfgang (2010) Die komplexen Zahlen. In (37-42): München: Oldenbourg. Mathematik für die ersten Semester. 2. A.
• Naas, J. & Schmid, H.L. (1972-74, Hrsg.). Mathematisches Wörterbuch mit Einbeziehung der theoretischen Physik  Bd. I A-K, Bd. II. L-Z. Berlin und Leipzig: Akademie und Teubner.
• Nahin, Paul J. (1998) An Imaginary Tale: The Story of the Square Root of Minus One. Princeton, Oxford: Princeton University Press.
• Niederdrenk-Felgner, Cornelia (2004) Lambacher Schweizer - Themenhefte / Komplexe Zahlen1. April 2004
• Pieper, Herbert (1984) Die komplexen Zahlen : Theorie - Praxis - Geschichte. Auch: Deutsch-Taschenbücher; Bd. 44
• Reinhardt, Fritz & Soeder, Heinrich (1982 f). dtv-Atlas zur Mathematik. 2 Bde. München: dtv. [Wird anscheinend nicht mehr aufgelegt]
• Walz, G. (2003, Red.). Lexikon der Mathematik. 6 Bde.: Verlag: Elsevier - Spektrum Akademischer Verlag. Hier Bd. 2 und 3 genutzt.

• Existenz_? := ohne nähere Spezifikation. Die Bedeutung muss aus dem Kontext erschlossen werden.
• Existenz_allt := alltagssprachliche Existenz,
• Existenz_bild :=  bildungssprachliche Existenz,
• Existenz_biol := biologische Existenz
• Existenz_chem := chemische Existenz,
• Existenz_jur := juristische Existenz (Probleme der Generalklauseln und der Konstrukte überhaupt: die juristischen Beweismethoden: Augenschein, Urkunde, Sachverständige, Zeugen, Indizien, ...)
• Existenz_log := Logische Existenz
• Existenz_math := mathematische. In welcher Weise existieren Zahlen?  Sind natürliche Zahlen realer als imaginäre?
• Existenz_ont :=  ontologische Existenz,
• Existenz_physik := physikalische Existenz,
• Existenz_pol := politische Existenz (z.B. Anerkennung von Menschen (Personalausweis), Institutionen und Staaten)
• Existenz_psychol := psychologische Existenz (Normative-, Wunsch-, Phantasie-, Realwelt)
• Existenz_spra := sprachliche Existenz (nicht jedes Wort muss auch wirklich etwas bedeuten, ein ganz gefährlicher Fallstrick in vielen Auseinandersetzungen und Diskussionen)
• Existenz_reli := religiöse Existenz
• Existenz_tech := technische Existenz

Komplexe Zahlen im Lexikon der Mathematik Bd. 3, Spektrum 2004


 

Komplexe Zahlen aus einem Schnupperkurs