• Einführung.
• Die grundlegenden Paradigmen.
• Allgemeine Voraussetzung.
• PU-Aspekt.
• AU-Aspekt.
• Anmerkungen (Finitismus, U?, UG).
• Die natürlichen Zahlen als Zähl-Maß.
• Anwendung der natürlichen Zahlen auf sich selbst.
• Definition Naleph.
• Zählvarianten.
• Zählregel.
• Beispiele.
• Unterscheidung von Naleph-Unendlichkeiten.
• Anwendung unendliche Menge natürlicher Zahlen mit Kopien.
• Anwendung unendliche Menge gerader und ungerader natürlicher Zahlen.
• Anwendung Quadratzahlen.
• Anwendung Primzahlen.
• Anwendung unendlich - periodische - Kopien-Folgen.
• Anwendung ganze Zahlen.
• Wie sieht nun die naive Undlich-Betrachtung für die rationalen Zahlen aus?.
• Cantor DV-I Schema.
• F=(1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/6, 5/6, ..., AU).
• Naleph und die reellen Zahlen (in Vorb.).
• Querverweise.

Die grundlegenden Paradigmen

Allgemeine Voraussetzung: Es gibt einen Anfang und eine Fortsetzungregel für die Bildung einer unendlichen Folge.
Anmerkung: Unklar ist, ob die Bildung der Fortsetzung auch durch einen Zufallsgenerator, durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zulässig sein soll. Da die Folgen immerhin  unendlich gedacht werden, könnten die Anteile grenzwertgenau bestimmt werden.

PU-Aspekt: Betrachten wir die natürlichen Zahlen 1,2,3,4,5, ... so kann man immerfort weiterzählen. Zu jeder beliebigen natürlichen Zahl n kann ein Nachfolger n+1 angegeben werden, ohne daß man jemals zu einer letzten natürlichen Zahl, zu einem Ende gelangen könnte. Das kann man auch so sagen: Es gibt keine größte natürliche Zahl - wohl eine kleinste: 0 oder 1, jenachdem, ob man die 0 einbezieht oder nicht. Oder: Die natürlichen Zahlen haben zwar einen Anfang, aber kein Ende. Dieser Aspekt heißt in der Geistgesgeschichte des Unendlichen traditionell das "potentiell Unendliche." Dies kennzeichnen wir wie folgt: 1,2,3,4,5, ..., PU oder auch mit IN_p =: {1,2,3, ..., PU}.

AU-Aspekt. Betrachten wir die natürlichen Zahlen 1,2,3,4,5, ... , so kann man sich die natürliche Zahlenfolge als ein abgeschlossenes Ganzes und Fertiges denken. Dieser Aspekt heißt in der Geistesgeschichte des Unendlichen das aktual Unendliche und war schon Aristoteles bekannt. Dies kennzeichnen wir wie folgt: 1,2,3,4,5, ..., AU oder auch mit IN_a =: {1,2,3, ..., AU}.

Anmerkung Finitismus: Neben dem potentiell Unendlichen gibt es noch sog. finite Standpunkte mit unterschiedlicher Strenge. Im Finitismus werden nur endliche - oder in einer extrem strengen Form - nur berechenbare Zahlen akzeptiert.
Anmerkung U?-Aspekt. Ist unklar oder unsicher, welche Unendlichkeit gemeint ist, drücken wir dies mit oBdA "1,2,3, ..., U?" aus.
Anmerkung UG: Als Zeichen für eine unendliche Größe wählen wir die Zeichenverbindung "UG".

Die natürlichen Zahlen als Zähl-Maß
Die natürlichen Zahlen werden gewöhnlich angeordnet vorgestellt und angeschrieben: 1,2,3,... Die Maßkriterien, die ihre Anordnung repräsentieren, sind: (1) Anzahl der Glieder, (2) Verschiedenheit der Glieder, (3) Lückenlosigkeit der Glieder, (4) zu jedem Vorgänger kann ein Nachfolger angegeben werden , (5) sie haben kein Ende und daher gibt es keine größte natürliche Zahl, (5) Anordnung der Glieder (gewöhnlich vom Anfang beginnend in aufsteigender Ordnung).

Anwendung der natürlichen Zahlen auf sich selbst
Zählt man die natürlichen Zahlen durch sie selbst, so geht die Rechnung Glied für Glied ohne Lücken oder Kopien auf. Als unendliche Maßeinheit wird vorgeschlagen:

Definition Naleph
Die Gesamtheit der natürlichen Zahlen kann keine Zahl im üblichen Sinne sein. Daher wird hier die unendliche Größe der natürlichen Zahlen mit der Basiseinheit Naleph bezeichnet. Die unendlich vielen natürlichen Zahlen 1,2,3,...,AU definieren die Basiseinheit 1 Naleph als Größe für diese Unendlichkeit. Die zentrale Idee für die Definition und alle daraufbauenden  Vergleiche beruht auf dem Zählen, der Addition von Kopien und der Subtraktion summierter Lücken. UG(1,2,3,...,AU)= Naleph.
    Anmerkung Klammer "()": Hier wurden bewußt keine geschweifte Klammern "{}", die Elemente von Mengen kennzeichnen, verwendet, weil auch Ausdrücke wie z.B. (1,2,3,1,2,3,1,2,3, ..., AU) oder sogar (1,1,1,1,1,1,1, ..., AU)  in Bezug auf ihre unendliche Größe hin untersuchbar sein sollen. In der klassischen Mengenlehre sind aber keine Kopien als echt verschiedene Elemente zugelassen.

Zählvarianten
Geht man der gewöhnlichen Ordnung 1,2,3, ... der natürlichen Zahlen als Standardbezug aus, so stellen sich folgende Möglichkeiten und damit Probleme der Handhabung: (1) Die zu vergleichende Folge hat einen anderen und damit zwingend späteren Anfang z.B. (117,118,119,... ). (2) Die zu vergleichende Folge enthält Lücken, z.B. 3,6,9, ... . (3) Die zu vergleichende Folge enthält Kopien, z.B. 1,22,333,4444,55555, ....

Zählregel
Mit Hilfe der natürlichen Zahlen werden einmal die Anzahl der Glieder im Vergleich zu N gezählt und dann die Summe der Lücken zwischen den natürlichen Zahlen oder in einem natürlichen Zahlen-Zähl-Modell - siehe z.B. rationale Zahlen -  in der Folge davon abgezogen. UG = f (Anzahl Glieder, Summe Lücken). Dies führt zum Ansatz:
 

a) UGa (Folge) = (Anzahl der Glieder im Vergleich zu IN) - (Summe der fehlenden natürlichen Zahlen). b) UGb (Folge) = (Anzahl der Glieder im Vergleich zu IN) - (Summe der Lücken zwischen den Vorgängern und Nachfolgern).  c) UGc (Folge) =  (Anzahl der Glieder im Vergleich zu IN) + Summe der Kopien. d) Werden Zählungen nach Bedingungen unterschieden - bedingte Zählungen - kann analog der Schreibweise bei den bedingten Wahrscheinlichkeiten geschrieben werden UG(Folge | Bedingung) lies: für die Folge unter der Bedingung ... Kleinere Einheiten unendlicher Größen werden bei natürlichen Zahlen mit dem Index nUG gekennzeichnet, um deutlich zu machen, daß es sich um eine naiv unendliche Größenzahl handelt.

Anmerkung (27.11.4): Eine genaue Definition der "Lücke" kann über das zugrundeliegende 'Zahlenalphabet' ('Zahlenvorrat'), hier die natürlichen Zahlen 1,2,3,...,AU, erfolgen. Gehen wir von einer zu vermessenden unendlichen Folge a₀,a₁,a₂,a₃, ..., AU aus, so wird diese mit der Standardmaßeinheit 1,2,3,...,AU verglichen in zweierlei Hinsicht: (1) Zählen der Glieder  und (2) Zählen der Vorkommen (Lücken) der "Buchstaben" des Vergleichs-Alphabets, hier die natürlichen Zahlenfolge 1,2,3,...,AU und (3) Zählen der Kopien.

Beispiele

Unterscheidung von Naleph-Unendlichkeiten
1,2,3, ..., AU = Naleph
2,3,4, ..., AU = Naleph-1
3,4,5, ..., AU = Naleph-2
4,5,6, ..., AU = Naleph-3
....
n, n+1, n+2, ..., AU = Naleph - (n-1) für n>1

Anwendung unendliche Menge natürlicher Zahlen mit Kopien
Verdoppeln wir jede natürliche Zahl, so entsteht die Folge 1,1,2,2,3,3, .... UG(1,1,2,2,3,3, ....,AU) = 2 Naleph.

Anwendung unendliche Menge gerader und ungerader natürlicher Zahlen
Die unendlich vielen geraden (ungeraden) natürlichen Zahlen entsprechen 1/2 Naleph, weil jede zweite entfällt. Für die Ungeraden: 1,3,5,7,9, ..., AU. Für die Geraden 2,4,6,8,..., AU.

Anwendung Quadratzahlen
Für 1,2,3,4,5,6,7, ... ergeben die Quadratzahlen 1,4,9,16,25,36,49,..., AU
Hier werden die Lücken zwischen Vorgänger und Nachfolger zunehmend größer: 0,2,4,6,8,10,12 und kummuliert, aufsummiert, ergibt sich: 0,2,6,12,20,30,42. Für n>1 fehlen: n²-n. Die unendliche Folge der Quadrate der natürlichen Zahlen hat daher die Größe UG(1,4,9,16,25,36,49,..., AU) =  Naleph - (n²-n).
Anmerkung 041129: Der Ausdruck  UG_a = Naleph - (n²-n) läßt sich nicht ausrechnen, da es ja keine größte natürliche Zahl gibt. Man kann diesen Ausdruck aber für Vergleiche nutzen. Ergibt sich z.B. in anderen Fällen UG_b =  Naleph - n².oder UG_c  = Naleph - n, so kann man sagen: UG_b  <  UG_a   <  UG_c. Sinnvoll ist womöglich für "n" das Zeichen L für Lücken-Anzahl zu verwenden, am besten noch mit Indexspezifikation: L_UG, um deutlich zu machen, daß hier mit einer unendlichen Größenvariabe gearbeitet wird. Also: UG(1,4,9,16,25,36,49,..., AU) =  Naleph - (L_UG² - L_UG).

Anwendung Primzahlen
2,3,5,7,11,13,17,19, ..., AU
Seit spätestens Euklid wissen wir, daß die Primzahlen unendlich viele sind. Aber wir kennen ihr Bildungsgesetz (noch) nicht, so daß wir die Lücken nicht genau auszählen können wie z.B. bei den Quadratzahlen. Daher können wir nur formal sagen: UG(Primzahlen) = Naleph - [Summe (Nicht-Primzahlen)]. Möglicherweise muß man sich in solchen Fällen mit Abschätzungen begnügen, sofern überhaupt diese möglich sind.

Anwendung unendlich - periodische - Kopien-Folgen
oBdA: 1,1,1,1,1,...,AU
Der Fall der 1er-Folge erscheint auf den ersten Blick seltsam und schwierig und ich bin mir auch gar nicht sicher, wie er korrekt und im Einklang mit den anderen Ausrechnungen auszuzählen ist. Nimmt man die Regel: wir zählen die Glieder und die Lücken, dann gibt es hier in Bezug auf die Erkennung von Lücken zwei Möglichkeiten: a) man sagt, hier gibt es keine Lücken oder b) hier gibt es die maximale Lücke Naleph -1. Für a) gälte: UG(1,1,1,...,AU | a) = Naleph. Für b) gälte: UG(1,1,1,...,AU | b) = Naleph - (Naleph - 1) = 1_UG. Der Fall b) erscheint mir intuitiv einleuchtender. Die kleinste unendliche Größe im Bereich der natürlichen Zahlenfolgen für gleichförmige Kopien wäre demnach UG(gleichförmige Einer-Kopien) =1_UG.  Dies gälte dann für alle gleichförmigen unendlichen Kopien, also z.B. UG(2,2,2,2,2,2, ..., AU) = 1_UG oder UG(70,70,70,..,AU) =1_UG. Für 2,3,4, ...  wiederkehrende Kopien ergäben sich dann analog UG(2er-Kopien-Folgen, AU) = 2_UG oder UG(3er-Kopien-Folgen,AU) = 3_UG usw.

Anwendung Ganze Zahlen
AU, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...,  AU
Die ganzen Zahlen haben im Gegensatz zu den natürlichen (positiven ganzen) Zahlen zwar einen Anfang, aber nach zwei Richtungen hin kein Ende. Daher gilt UG(AU, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...,  AU) = 2 Naleph.
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Wie sieht nun die naive Undlich-Betrachtung für die rationalen Zahlen aus ?
Von Cantor stammt die vielfach wohl zurecht als genial gefeierte Idee, die rationalen Zahlen nach folgendem Schema diagonal abzuzählen (Cantor DV-I):

Cantor DV-I Schema

Die rationalen Zahlen können ähnlich wie die ganzen Zahlen betrachtet werden. Sie haben einen Anfang bei 0 und sind in zwei Richtungen - positiv und negativ - offen. In allen Zeilen und allen Spalten werden Naleph natürliche Zahlen gebraucht, also Naleph². Für die negativen rationalen Zahlen kann man sich das gleiche Abzählschema denken, also muß man verdoppeln: 2 Naleph². Nachdem aber so und so viele Brüche kürzbar sind, werden die kürzbaren Brüche zu viel gezählt. Setzen wir für die kürzbaren Brüche D, ergibt sich UG(rationale Zahlen) = 2 Naleph²  - D.

F=(1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/6, 5/6, ..., AU)
Die Folge einer Teilmenge der rationalen Zahlen beginnt bei 1 und strebt gegen 0, ohne diese jemals zu erreichen. Damit findet man die Lösung z.B. in DV-I Schema.
    (1) Cantors DV-I Schema ist eine Naleph * Naleph = Naleph² unendliche Matrix nach den Zeilen und Spalten "UG(..,AU)" kennzeichne eine naive unendliche Größe, "AU" bedeute, daß die Folge "(...)" als aktual Unendliches Ganzes ('fixfertig') aufgefaßt wird. UG(F) = Naleph²  - X.
    (2) Bestimmung der Glieder X: Die Folge F ist in Cantors DV-I Schema die untere Hauptdiagonalmatrix zusätzlich mit dem ersten Haupt-Diagonalelement 1, wobei die Doppelten/Kürzbaren gestrichen werden. Nebenüberlegung: die quadratische Matrix Cantor DV-I setzt sich zusammen aus:

OHDM =: obere Haupt-Diagonal-Matrix (ohne HD)
UHDM =: untere Haupt-Diagonal-Matrix (ohne HD)
HD   =: Hauptdiagonale

mit halbe DV-I = [(Naleph²)/2]
mit davon abzüglich (Naleph/2) Haupt-Diagonalelementen in DV-I
mit davon abzüglich D_UHDM Doppelten, Mehrfachen oder Kürzbaren.
mit zusätzlich dem ersten Diagonalelement 1.

Naleph und die reellen Zahlen
(In Vorbereitung)