Bibliographie: Mückenheim, Wolfgang (2006). Die Mathematik des Unendlichen. Reihe: Mathematik. Shaker-Verlag. [Verlags-Info] [Vorwort & Inhalt]  [ISBN: 978-3-8322-5587-9.]

Verlagsinfo:

 

Vorwort
"In diesem Buch möchte ich den Begriff des Unendlichen in seinen verschiedenen Bedeutungen, Facetten und Nuancen innerhalb der Mathematik klären und - soweit das möglich ist - eine Vorstellung dieser Idee vermitteln.
Das Buch entstand aus dem mathematischen Teil der Vorlesung "Die Geschichte des Unendlichen", die ich seit mehreren Jahren als geisteswissenschaftliches Wahlfach für Studentinnen und Studenten aller Studiengänge an der Fachhochschule Augsburg halte; es wendet sich also nicht nur an Mathematiker, sondern ist so angelegt, daß es von jedem interessierten Laien mit guten mathematischen Schulkenntnissen verstanden werden kann. Daher sind auch viele Beispiele mit konkreten Zahlen durchgeführt. Tiefergehende oder den Fluß der Entwicklung störende Erläuterungen wurden in Kästen zusammengefaßt, die mitunter etwas anspruchsvollere Ableitungen enthalten oder umfangreichere Vorkenntnisse erfordern. Wer sie durcharbeitet, kann sich von den Darlegungen des Haupttextes selbst überzeugen, wer sie überschlägt, wird dem Gedankengang ebenfalls folgen können.
    Die Darstellung folgt nicht unbedingt der historischen Entwicklung, sondern ist darauf angelegt, den Stoff thematisch zu ordnen und die großen Bereiche aufzuzeigen, in denen das Unendliche in der Mathematik gesucht und - tatsächlich oder vermeintlich - gefunden worden ist. Redundanzen wurden bewußt stehengelassen, denn sie dürften das Verständnis der Zusammenhänge eher fördern als stören.
Um den Text nicht zu überlasten, wurden Lebensdaten der genannten Personen in der Regel nicht dort, sondern im Personenverzeichnis angegeben. Ausgenommen davon ist lediglich das achte Kapitel, um den darin nachgezeichneten historischen Ablauf zu verdeutlichen. Dabei wurde nicht zwischen genauen und ungefähren Angaben unterschieden. Die Daten der älteren hier genannten Gelehrten sind oft nicht mehr genau zu ermitteln. Für einen ungefähren Überblick ist es aber unwichtig, ob Euklid 365 v. Chr. oder, wie andere Quellen berichten, erst 325 oder 322 v. Chr. geboren wurde. Die Zusätze "vor Christi Geburt" oder "nach Christi Geburt" entfallen, wenn sie aus Geburts- und Todesjahr eindeutig ersichtlich sind.
    Über 200 Jahre alte Quellen wurden nicht in das Literaturverzeichnis aufgenommen. Vor allem der Stoff der ersten Kapitel ist in so vielen modernen Lehrbüchern und populären Darstellungen verbreitet, daß es genügt, interessierte Leser auf einige nach dem Literaturverzeichnis zusätzlich angegebene Monographien zu den angesprochenen Themen und das inzwischen allumfassende, wenn auch nicht in allen Fällen zuverlässige Internet zu verweisen.
    Augsburg, im Juli 2006, W. Mückenheim"

Schlagwörter: Mathematik; das Unendliche; transzendent; infinitesimal; transfinit; Zahlen; Zahlentheorie.

Inhaltsverzeichnis

Inhalt
Einleitung   1
1.   Natürlich unendlich  2
2.   Gegen Unendlich  8
3.   Alogos   21
4.   Transzendent   35
5.   Infinitesimal  42
6.   Paradoxien des Unendlichen  56
7.   Transfinit    68
8.   Potentiell versus aktual   95
9.   Infinit  111
10. Was sind Zahlen?   127
Literaturverzeichnis 142
Zusätzlich herangezogene Monographien und weiterführende Literatur    147
Personenverzeichnis   149
Stichwortverzeichnis  153

Leseprobe: Erste Seite des Abschnitts "Infinit"

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Obwohl jeder weiss, dass die Folge der natürlichen Zahlen kein Ende hat, also gar keine feste, konstante Grösse sein kann, definiert Cantor in sich widersprüchlich die Folge der natürlichen Zahlen als ein fertiges "Ding für sich". Der innere - und von Cantor 1883 verbotene - Widerspruch ergibt sich durch die Bestimmung "ein in allen Teilen, festes, bestimmtes Quantum, ein [aktual Unendliches], das offenbar größer zu nennen ist als jede endliche Anzahl." Letzeres ist natürlich richtig, dass "das" Unendliche größer als jede endliche Anzahl ist. Die contradictio in adjecto steckt im vorderen Teil der Aussage: "ein in allen Teilen, festes, bestimmtes Quantum" (hierzu auch eine Kritik Brouwers 1907). Aber die Basis für die Absurditäten der Mengenlehre wurde bereits mit der Definition einer unendlichen Menge gelegt. Und der absurde Sprung geschieht genau dann, wenn der Begriff der Gleichmächtigkeit mit der Anzahl gleichgesetzt wird, die auf einer unabschliessbaren (potentiell offenen) bijektiven Zuordnung beruht. Vollzieht man diesen absurden Sprung, hat man Euklid8 aufgehoben, dass das Ganze stets grösser als sein Teil ist (Weyl hierzu).
    Die Geschichte der Mathematik des Unendlichen ist auch eine Geschichte des Grundlagenstreits. Im engeren Sinne umfasst dieser grob betrachtet ein gutes halbes Jahrhundert, ungefähr 1890-1940 und hatte in diesem Zeitraum seine Höhepunkte in den 1920iger und 1930iger Jahren (emotionaler Gipfel 1928), aus dem das Hilbertprogramm hervorging. Genauer betrachtet hat dieser Streit aber sehr alte Wurzeln und zieht sich als problematisches Thema durch die ganze Geistesgeschichte, wie Mückenheim mit seinem kompakten Büchlein sehr schön zeigt. Inzwischen wissen die meisten nichts mehr von diesem Streit oder sie wollen von ihm nichts mehr wissen; viele betrachten ihn auch als historisch und erledigt. Das ist er aber für einige - Intuitionisten, Konstruktivisten und Finitisten - nicht, wofür letztlich Hilbert selbst auch einiges getan hat (siehe).
Inzwischen scheint sich aber neben dem unguten formalistisch-technizistischen auch ein liberal-relativistischer Trend oder status quo ausgebildet zu haben: es gibt nicht mehr die eine Mathematik, sondern viele Mathematiken (Geometrien wie Logiken oder Mengenlehren oder ...) - und je nach Axiomatik und zugelassenen Beweismitteln kann sich jeder die aussuchen, die er braucht oder mag. In gewisser Weise könnte dadurch der Grundlagenstreit als erledigt angesehen werden. Aber die liberal-relativistische Beliebigkeit passt nicht so recht zur Ideal-Vorstellung von "ewig gültiger" Wahrheit, Sicherheit und Zuverlässigkeit der Mathematik. Die Paradoxien haben Hochkonjunktur und ziehen eine neue Effekt- und Gauklermathematik nach sich, wenn aus einer Kugel plötzlich zwei werden. Es scheint ein neues Abrakadabra- Super- Axiom zu gelten, nämlich: Alles ist möglich, wenn wir es nur entsprechend einrichten, zumindest im neuen von Cantor geschaffenen Höllen-Paradies.
   Wenn nun aber die liberal-relativistische Haltung als die derzeit angemessene erscheint, ist nicht verständlich, weshalb der Autor weger seiner ultrafinitistischen Idee eines physikalisch motivierten Zahlen-Realismus so nachhaltig und verbissen nicht nur bekämpft, sondern regelrecht gemobbt wird. Er vertritt dann auch nur eine spezielle Mathematik neben vielen anderen möglichen. Die Wissenschaft - und nach Cantor ganz besonders die Mathematik - ist frei, auch für Mückenheim.

    Anmerkung: Das Poincaré Zitat S. 104 ließ sich an der angegebenen Quelle (S. 145) nicht finden. Ich habe den Autor um Aufklärung seiner Quellen gebeten und werde diese, wenn sie eingehen, bei Gelegenheit nachtragen.
    W. Mückenheim teilte mir am 11.6.7 mit, dass er meine,  das Zitat von Dauben (1979) übernommen zu haben.
    19.6.7: Inzwischen fand ich einen Hinweis bei Skolem (1929) und mit besonders starken Verbreitungsgrad bei Hellemans (26.6.7).

• Uni-Homepage.
• Bewertungsseite StudentInnen: [URL verändert]
• Private Homepage.

Literatur (Auswahl) > Materialien zur Kontroverse um "das" Unendliche * Unendlichkeitsbegriffe.

• Mückenheim, Wolfgang (2004 ff). Die Geschichte des Unendlichen. Augsburg: Skript.

Dauben, John Warren (1979). Georg Cantor. His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Pricenton (N.J.): Princeton: Princeton-University Press. Dort findet sich die Arbeit Poincarés (1908) im Kontext wie folgt zitiert (p.266):

     Fußnote 113. gibt als Quelle Poincaré (1908), 182 an.

    Wie man sich überzeugen kann, ist der Schlußsatz
 

"The paradoxes of set theory were direct evidence that Cantor's ideas were a grave disease that seemed to infect all mathematics. Poincare's medicine was hard stuff indeed: his prescription called for the elimination of virtually every aspect of Cantor's work from respectable, permissible, and finite mathematics."

kein direktes Zitat Poincarés, sondern eine - passende - Interpretation Daubens, d.h. diese Aussage könnte zu Poincaré Bewertung der Cantoschen Mengenlehre passen.

Skolem schreibt (1929) in Über die Grundlagendiskussionen in der Mathematik:

Quelle (p. 214): Skolem, T. A. (1970). Selected works in logic, Fenstad, J. E., ed. Oslo: Scandinavian University Books. Siehe auch p. 223.

Das Zitat findet sich auch bei Hellemans, Alexander & Bunch, Bryan (dt. 1990. engl. 1988)- Fahrplan der Naturwissenschaften. Ein chronologischer Überblick.  München: Droemer Knaur, S. 495, Eintrag unter Mathematik für das Jahr 1908.
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formalistisch-technizistisch. Die Mathematik hat sich extrem anwender-unfreundlich entwickelt und ist für NichtmathematikerInnen oft unverständlich.
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