Einführung Begriff in der Mathematik:

• Cantor fordert (1883) widerspruchslose Begriffe.
• Aus: Ruzsa, Imre (1976) Die Begriffswelt der Mathematik: "BEGRIFFE, KLASSEN, MENGEN"
• Aus dem Vorwort: Ganter, Bernard & Wille, Rudolf (1996) Formale Begriffsanalyse. Mathematische Grundlagen.
• Definition Formaler Begriff.
• Aus Pollandt  (1997) Fuzzy-Begriffe. Formale Begriffsanalyse unscharfer Daten.
• Aus der Dissertation Pfeffers (2017).
• Probleme in der mathematischen Begriffsbildung:
• In sich widersprüchliche Begriffsbildung.
• Imprädikative Begriffsbildung.
• Notizen.

• Beutelsbacher, Albrecht (1992) "Das ist o.B.d.A. trivial" Tips und Tricks zur Formulierung mathematischer Gedanken. Braunschweig: Vieweg.
• Ganter, Bernard & Wille, Rudolf (1996) Formale Begriffsanalyse. Mathematische Grundlagen. Berlin: Springer.
• Grassmann, Robert (1872) Die Begriffslehre oder Logik. Zweites Buch der Formenlehre oder Mathematik. [BSB]
• Ludwig, M. (2004/05) Didaktik der Geometrie II Kapitel 6 Begriffserwerb. 6.1. Das Lehren und Lernen geometrischer Begriffe.
• Pfeffer, Wolfgang  (2017) Qualitative Entwicklung der Begriffsbildung im Fach Mathematik in der Studieneingangsphase. Dissertation Universität Passau.
• Piaget, Jean (1975) Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kinde. Gesammelte Werke, Bd. 3. Stuttgart: Klett.
• Piaget, Jean (1975) Die natürliche Geometrie des Kindes  Gesammelte Werke,  Bd. 7.  Stuttgart: Klett.
• Piaget, Jean (1975) Die Entwicklung des Erkennens I. Das mathematische Erkennen. Gesammelte Werke, Bd. 8. Stuttgart: Klett.
• Pollandt, Silke (1997) Fuzzy-Begriffe. Formale Begriffsanalyse unscharfer Daten. Berlin: Springer.
• Ruzsa, Imre (1976) Die Begriffswelt der Mathematik. Berlin: Volk und Wissen.
• Thiel, Rainer (1967) Quantität oder Begriff. Der heuristische Gebrauch mathematischer Begriffe in Analyse und Prognose gesellschaftlicher Prozesse. Berlin: VEB der Wissenschaften.
• Wittenberg, Alexander (1957) Vom Denken in Begriffen, Mathematik als Experiment des reinen Denkens. Basel: Birkhäuser.

Cantor fordert (1883) widerspruchslose Begriffe: "Die Mathematik ist in ihrer Entwicklung völlig frei und nur an die selbstredende Rücksicht gebunden, daß ihre Begriffe  (BM_widfrei) sowohl in sich widerspruchslos sind, als auch in festen durch Definitionen geordneten Beziehungen zu den vorher gebildeten, bereits vorhandenen und bewährten Begriffen (BM_Bbew) stehen". [zit. n. Bourbaki 1971, S. 33]

S 17f:f "BEGRIFFE, KLASSEN, MENGEN
Zur Bezeichnung einer Gesamtheit »gleichartiger« Dinge — die gemeinsame Eigenschaften haben, von derselben Gattung sind — pflegt man Sammelnamen, gewöhnlich Hauptwörter, wie beispielsweise »Musikinstrument«, »Verkehrsmittel« u. a. m., zu gebrauchen. In der Logik sagt man, daß solche Wörter Begriffe(BM_DefCha)  ausdrücken. Die Gesamtheit aller Dinge, die der Name eines Begriffs(BM_Name) benennt, bildet den Umfang des Begriffs(BM_umfang). Zum Beispiel gehört jedes Musikinstrument, eine beliebige Violine oder Flöte, zum Umfang des Begriffs(BM_umfang)»Musikinstrument« (BM_BspGeg), Der Umfang eines Begriffs(BM_umfang) wird oft auch Klasse genannt. Somit ist die Klasse der Verkehrsmittel (BM_BspGeg) nichts anderes als der Umfang oder die Extension des Begriffs (BM_umfang) »Verkehrsmittel«; hierher gehört jedes Verkehrsmittel; ein beliebiger Zug, ein Fahrrad, ein Flugzeug usw. (BM_BspGeg)
    Die Logik kennt jedoch auch sogenannte individuelle Begriffe(BM_eignam). Zur Bezeichnung dieser Begriffe  bedient man sich häufig der sogenannten Eigennamen (BM_eignam), wie beispielsweise »Albert Einstein«, »Kahlenberg« usw. Es gibt aber auch Fälle, in denen wir sie umschreiben, z. B. »der Begründer der allgemeinen Relativitätstheorie«, »der radelnde Verehrer der stupsnasigen Hausmeisterstochter von nebenan« usw. Zum Umfang der individuellen Begriffe((BM_eignam)) gehört jeweils [>18] ein Ding. Wenn wir die Extension des Begriffe(BM_klasse) »Klasse« nennen, nehmen wir dementsprechend zur Kenntnis, daß es auch Klassen gibt, zu denen jeweils nur ein Ding gehört. Damit entfernen wir uns vielleicht ein wenig vom trivialen Sinn des Wortes »Klasse«, aber es bedeutet ja z. B. das Wort »Masse« in der Physik auch etwas anderes als im Alltagsleben.
    Endlich gibt es auch Begriffe(BM_leer), zu deren Umfang gar nichts gehört. Dabei handelt es sich um Begriffe(BM_leer), die wir operativ aus anderen Begriffen(BM_BB) bilden, wie z. B. den Begriff(BM_BspGeg) »eine italienische Stadt mit drei Millionen Einwohnern«, den wir aus den Begriffen (BM_BB) »eine Stadt mit drei Millionen Einwohnern« und »eine italienische Stadt« gebildet haben. Von solchen Begriffen(BM_leer) können wir sagen, daß sie keine echte Extension besitzen, oder daß ihr Umfang leer ist. Die letztgenannte Bezeichnungsweise hat einmal einen formalen Vorteil, sie beseitigt nämlich die Ausnahmen: JederBegriff(BM_umfang) besitzt einen Umfang, der Umfang ist immer eine Klasse, die aber auch eine leere Klasse sein kann. Zum anderen ermöglicht diese Bezeichnungsweise bei neu einzuführenden Begriffen(BM_leer?), daß die Frage nach der leeren oder nichtleeren Beschaffenheit des Umfangs zunächst noch unentschieden bleiben kann. Zum Beispiel wissen wir heute noch nicht mit völliger Sicherheit, ob es auf dem Mars Lebewesen gibt. Es wäre jedoch mehr als sonderbar, untersagte man deshalb, von der Extension des Begriffs(BM_leer?)»Marsbewohner«(BM_BspGeg) zu sprechen. Vielleicht wäre es richtiger, den Standpunkt zu vertreten, daß der Umfang des Begriffs »Marsbewohner« eine Klasse darstellt, von der wir heute noch nicht aussagen können, ob sie leer ist oder nicht. Aber ob sie nun leer ist oder nicht, sie ist unabhängig von unserem Bewußtsein, objektiv so, wie sie eben ist, und dient somit dazu, einen realen Zusammenhang zum Ausdruck zu bringen.
    Eine Klasse, die den Umfang eines Begriffs (BM_klasse), (BM_umfang) bildet, stellt stets eine Gesamtheit bestimmter Dinge dar, umgekehrt aber ist die Gesamtheit bestimmter Dinge nicht immer eine Klasse, die den Umfang eines Begriffes (BM_Frage) bildet. Zwei Pakete Waschpulver, sechs Eier und ein Paar Strümpfe, die gelegentlich in eine Einkaufstasche hinein gefeuert werden, bilden wohl eine Gesamtheit bestimmter Dinge; wie steht es aber um einen Begriff(BM_Frage), dessen Umfang durch diese Dinge determiniert wird? Natürlich können wir, wenn wir durchaus wollen, einen »Begriff«(BM_Frage) definieren, dessen Umfang gerade durch diese Dinge bestimmt wird: »Der Inhalt der im gegenwärtigen Augenblick in meiner Hand befindlichen Einkaufstasche«. Viele Philosophen bestreiten jedoch (und nicht immer grundlos), daß Definitionen von derartigem Gelegenheits- bzw. Zufallscharakter des Ranges »Begriff«(BM_Frage) würdig wären. Wir können jedoch die Gesamt[>19]heit der erwähnten Dinge als Extension einer Eigenschaft betrachten: Die erwähnten Dinge verfügen alle über die Eigenschaft, daß »sie sich in der Einkaufstasche befinden, die ich gerade jetzt in der Hand halte«. Und dieser Auffassung ist nun auch mit philosophischen Erwägungen nicht beizukommen.
    Die Eigenschaft (oder, um einen Fachausdruck der Logik zu gebrauchen: das Prädikat) ist ein sehr allgemeiner logischer Begriff(BM_LogB); Eigenschaft ist all das, was über etwas ausgesagt (»prädiziert«) werden kann (daher stammt wohl auch die Bezeichnung »Prädikat«). Gewisse Dinge verfügen über eine gegebene Eigenschaft, andere dagegen nicht (das pflegt man auch — insbesondere wenn man statt des Wortes »Eigenschaft« die Bezeichnung »Prädikat« setzt — so zu formulieren, daß eine gegebene Eigenschaft für gewisse Dinge wahr, für andere falsch sein kann). Die Gesamtheit der Dinge, die über eine gegebene Eigenschaft verfügen, bildet den Umfang der Eigenschaft. So besitzen z. B. einige Menschen die Eigenschaft der »Kahlköpfigkeit«, andere Menschen hingegen nicht; die Gesamtheit der Kahlköpfigen stellt die Extension dieser Eigenschaft dar.
    Jeder Begriff(BM_merkm) läßt sich durch Angabe einer Eigenschaft ausdrücken, was so zu verstehen ist, daß wir zu einem beliebigen Begriff(BM_merkm) eine Eigenschaft nennen, deren Umfang mit dem des in Frage stehenden Begriffs(BM_merkm) identisch ist. So entspricht z. B. dem Begriff»Musikinstrument«(BM_BspGeg) die Eigenschaft »ein Musikinstrument sein«, dem Begriff(BM_BspGeg) »Dachziegel« die Eigenschaft »Dachziegel sein« usw. Diese Eigenschaften klingen manchmal sonderbar, sie sind jedoch trotz ihres sonderbaren Klanges ebenso klar wie die Begriffe(BM_BspGeg), aus denen sie gebildet wurden. Ihr Vorteil besteht darin, daß sie die folgende allgemeine Formulierung ermöglichen: Die Klassen sind die Umfänge der Eigenschaften. Diese Formulierung enthält die Aussage, daß die Extensionen der Begriffe (BM_umfang) ebenfalls Klassen sind, da ja jeder Begriff(BM_begriff), wie wir bereits gesehen haben, durch eine Eigenschaft ersetzt werden kann, die den gleichen Umfang besitzt wie der betreffende Begriff (BM_umfang). Eine Untersuchung der Zusammenhänge zwischen Begriffen (BM_zush) und Eigenschaften erfordert oft eine Untersuchung der Relationen zwischen den Klassen, die ihre Extensionen bilden. Zum Studium dieser Beziehungen entstand ein besonderer Zweig der Logik, die Klassenlogik.
    Aber kehren wir zu unserem Thema zurück! Die Untersuchung der Klassen, die den Umfang der mathematischenBegriffe(BM_Bmath) bilden, erwies sich alsbald innerhalb der Mathematik als äußerst wichtig. (Warum sich das so verhält, davon soll später noch ausführlich die Rede sein.) Zu diesen Untersuchungen bediente sich die Mathematik ihrer eigenen charakteristischen Methoden, und so kam eine rein mathematische Lehre, die Mengenlehre, zustande. (Im Verlauf der späteren Entwicklung haben sich dann Klassenlogik und mathematische Mengenlehre ziemlich verflochten.)
    Ein Grundbegriff der Mengenlehre ist der Begriff der Menge (BM_grundB). In jener Zeit, als die Mengenlehre ausgearbeitet wurde, gebrauchte man den Ausdruck »Menge« im wesentlichen als Synonym für »Klasse«. Im Kapitel 5 werden wir sehen, daß nach der heutigen Auffassung der Begriff(BM_klasse), (BM_vergl ) der Klasse umfassender ist als der der Menge: Jede Menge ist eine Klasse; es gibt aber gewisse besondere Klassen, die nicht als Mengen betrachtet werden dürfen. Es ist dies eine feine Unterscheidung, auf die wir jedoch noch eine geraume Weile verzichten können. Vorläufig verwenden wir regelmäßig den Ausdruck »Menge«.
    Jede Menge ist der Umfang einer genau eindeutig bestimmten Eigenschaft, aber es gibt Eigenschaften, deren Umfänge solche besonderen Klassen sind, die nicht als Menge betrachtet werden können. Was die Genauigkeit betrifft, mit der die Eigenschaft bestimmt sein muß, so können wir z. B. weder von der Menge der altehrwürdigen Leipziger Häuser noch von der Menge der betagten Berliner sprechen (höchstens dann, wenn wir im voraus genau festsetzen, in welchem Sinn wir die Begriffe »altehrwürdiges Haus« (BM_BspGeg) bzw. »betagter Berliner« (BM_BspGeg) zu gebrauchen gedenken). Wir können aber (weil es in der Zoologie den Begriff »Säugetier« (BM_BspGeg) gibt) von der Menge der Säugetiere oder von der Menge der durch 3 (ohne Rest) teilbaren ganzen Zahlen sprechen.
    Von den zu einer gewissen Menge gehörigen Dingen sagt man, daß sie die Elemente der Menge sind. Zwischen einem Ding und einer Menge besteht die Elementbeziehung, wenn das betreffende Ding zur betreffenden Menge gehört, mit anderen Worten: wenn es ein Element der in Frage stehenden Menge ist. Ein Ding ist entweder Element einer gegebenen Menge oder nicht, eine dritte Möglichkeit gibt es nicht (darum vereinbarten wir auch, daß nur die Umfänge genau definierter Eigenschaften als Mengen zu betrachten sind).
    Die Mengen als Umfänge der Eigenschaften gehören in die Sphäre einer von unserem Wissen unabhängigen, objektiven Realität. Denken wir nun aber nicht, daß die Mengen wahrnehmbare materielle Gegenstände seien. Die Menge der Leipziger Häuser z. B. ist nicht wahrnehmbar; was wir mit den Sinnen zu erfassen vermögen, das sind nur die Elemente dieser Menge, die einzelnen Leipziger Häuser. In der Menge haben wir die abstrakt-ideale Hülle ihrer Elemente zu sehen. Somit sind die Mengen abstrakte Dinge, unabhängig davon, ob ihre Elemente materielle Gegenstände oder ebenfalls abstrakte Dinge sind. Die Realität dieser abstrakten Dinge wird durch den realen Charakter jener Eigenschaften gesichert, deren Umfänge sie sind.
    Die Mengenlehre baut sich auf dem Begriff (BM_grundB) der »Menge« und dem der »Elementbeziehung« auf. Diese Begriffe (BM_grundB) werden durch formale Definitionen weder auf logische(BM_LogB) noch auf andere mathematische Begriffe(BM_Bmath) zurückgeführt: Beide werden daher als Grundbegriffe(BM_grundB) betrachtet. Das, was wir bisher von ihrer Entwicklung sagten, genügt uns vollkommen, um sie zumindest mit der gleichen Sicherheit anzuwenden wie beispielsweise den Begriff »Säugetier«(BM_BspGeg). Im übrigen läßt sich alles das, was wir im folgenden von diesen beiden Begriffen () zu verwerten gedenken, in einem einzigen Satz zusammenfassen:
    Eine Menge wird durch ihre Elemente eindeutig bestimmt (BM_grundB). Mit anderen Worten: Eine Menge angeben heißt nichts anderes als aussagen, welche Dinge ihre Elemente bilden.
    Dieses Übereinkommen ermöglicht uns, eine Menge zu definieren, die keinerlei Ding zum Element hat. Diese Menge nennt man die leere Menge (BM_leer). Da wir uns häufig auf sie berufen werden, ist es zweckmäßig, ein Zeichen zu ihrer Abkürzung einzuführen, sagen wir eine schräg durchstrichene Null: [Z]."

Links von RS und begriffe, die Ruzsa kursiviert hat, hat RS teilweise gefettet und kursiviert.

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Inhalt dieses Buches ist eine Einführung in die Theorie der Fuzzy-Begriffe (BM_fuzzy) auf der Grundlage der Formalen Begriffsanalyse. Ausgehend von der Theorie der Fuzzy-Mengen und der Fuzzy-Logik werden durch Formalisierung von Begriff und Begriffshierarchie neue Methoden zur Analyse unscharfer Daten entwickelt. Durch die graphische Darstellung von Systemen unscharfer Begriffe (BM_unscharf) können Zusammenhänge veranschaulicht, (unscharfe) Daten interpretiert werden.
    Die Grundlagen der Theorie der Fuzzy-Mengen (oder „unscharfen Mengen“) wurden in den sechziger Jahren geschaffen. Seitdem sind zu diesem Gebiet zahlreiche Arbeiten - darunter eine Reihe von Lehrbüchern wie [7], [64], [26], [1] und [23] - veröffentlicht worden.
    In der Praxis treten verschiedene Arten von „Unschärfe“ auf. Beispielsweise wird in [64] zwischen „intrinsischer Unschärfe“ - der Unschärfe menschlicher Empfindungen (z.B. „alte Frau“) - und „informationaler Unschärfe“ - der Unschärfe beim Bilden eines Gesamturteils aufgrund zu umfangreicher Informationen (z. B. „Kreditwürdigkeit“) - unterschieden. In [43] werden außerdem „unscharfe Relationen“ (z.B. „nicht viel größer als“) aufgeführt.
Der Versuch, mathematische Modelle zur Verarbeitung solcher unscharfen Informationen zu schaffen, führte zur Verallgemeinerung des Mengenbegriffes (BM_theoMath). Neben mathematischen Anwendungen wie in der Algebra, Graphentheorie, Topologie, Analysis, Maßtheorie (siehe [64]) und der mathematischen Optimierung ([43]) gestattet die Theorie der Fuzzy-Mengen vielfältige praktische Anwendungen auf den Gebieten der Ingenieurwissenschaften und Regelungstechnik (siehe zum Beispiel [44], [33], [30], [34], [50], [64], ...), der Mustererkennung und Clusteranalyse ([64], [50]) sowie der Entscheidungstheorie und Künstlichen Intelligenz (siehe zum Beispiel [44], [11], [33], [30], [43], [34], [50], [64], ...). In [2] werden Methoden zur Analyse unscharfer Daten behandelt. Begriffsanalytische Methoden (BM_unscharf) werden erstmals in [49], [41] und [6] sowie in [24] zur Analyse unscharfer Daten vorgeschlagen. [>VI]
    Die Grundlagen der Formalen Begriffsanalyse (BM_FBA) wurden Anfang der achtziger Jahre an der TH Darmstadt entwickelt (siehe [53], [54]). Seitdem ergaben sich anhand von praktischen Beispielen vielfältige Anwendungsmöglichkeiten (vgl. [55]), die von der Wissensdarstellung, Datenanalyse und Entscheidungsunterstützung bis hin zur Entwicklung Begrifflicher Wissenssysteme  () (siehe [56], [31], [57], [58]) reichen. Im Lehrbuch [18] sind die mathematischen Grundlagen der Formalen Begriffsanalyse  (BM_FBA) systematisch dargestellt.
    Im vorliegenden Buch wird die Theorie der Formalen Begriffsanalyse (BM_FBA) unter Verwendung der Theorie der Fuzzy-Mengen und der Fuzzy-Logik um eine Reihe von Methoden und Verfahren erweitert. Damit wird der Forderung von Anwendern nach Möglichkeiten zur begriffsanalytischen Erfassung unscharfer Daten (BM_unscharf) Rechnung getragen. Die Herleitung und Begründung der im vorliegenden Buch entwickelten Theorie der Fuzzy-Begriffe (BM_fuzzy) erfolgt mittels Aussagen der mehrwertigen Prädikatenlogik unter Ausnutzung von Zusammenhängen zwischen L-Fuzzy-Mengen nach [52] und mehrwertiger Logik.
    Anliegen des Buches ist die mathematische Entwicklung der theoretischen Grundlagen der Theorie der Fuzzy-Begriffe (BM_fuzzy) sowie deren Veranschaulichung an leicht nachvollziehbaren Anwendungsbeispielen. Die benötigten Grundlagen der Theorie der Fuzzy-Mengen und der Formalen Begriffsanalyse (BM_FBA) werden in einem einführenden Kapitel bereitgestellt. ..."  [Es folgen Danksagungen]

"3.2. Theorien zur Aneignung und zum Verständnis mathematischer Begriffe   60
3.2.1 Begriffsentwicklung im Mathematikunterricht   62
3.2.2 Möglichkeiten und Grenzen von Visualisierungen   67
3.2.3 Concept Image und Concept Definition   71
3.2.3.1 Begriffsdefinition   71
3.2.3.2 Wechselwirkung im Begriffsbildungsprozess   75
3.2.3.3 Wechselwirkung bei mathematischen Problemstellungen   78"

"3.2.1 Begriffsentwicklung im Mathematikunterricht
„Die Vermittlung einer Definition, und sei sie noch so gut illustriert und sprachlich einfach gebaut, garantiert nicht, da[ss] auf der Schülerseite auch ein Begriff beim Worte (BM_UnWoBe) ist“ (Winter, 1983, S. 181)
    Neben den bereits genannten Änderungen zwischen Schul- und Hochschulmathematik erfahren an den beiden Institutionen auch die mathematischen Konzepte eine unterschiedliche Auslegung. Während es gerade die Stärke der Wissenschaftsdisziplin Mathematik ist, dass Begriffe(BM_praez) präzise gefasst und definiert werden, thematisiert die Schulmathematik diese häufig auf unterschiedlichen Bedeutungsebenen, „es wird also mehr Spielraum geboten und die Exaktheit steht nun nicht mehr so sehr im Zentrum des Interesses“ (Riedl, 2015, S. 17). Weiter muss in der Schule „mit Plausibilität um die Anerkennung der Begriffsbildungen(BM_BB) gerungen werden, die dann zu Definitionen und zum Aufbau einer Fachsprache führen. Auch wenn Axiome das ’unmittelbar Einleuchtende’ formulieren sollen, so ist der Umgang mit Axiomatik nicht für [>63] jeden sachstrukturellen Entwicklungsstand sinnvoll“ (Lorbeer & Reiss, 2010, S. 90 f).
    „Begriffe (BM_wichtig) bilden Bausteine der Mathematik. Sie sind Gegenstände, über die wir nachdenken, und Werkzeuge mit denen wir arbeiten. Begriffsbildung(BM_BB) ist also schöpferisches Tun des Mathematikers. Das sollte dem Schüler auch im Mathematikunterricht bewusst werden. Er sollte erleben, wie sich Mathematik aus dem Bilden, Erforschen und Benutzen von Begriffen(BM_EWGB) entwickelt. Dabei werden Begriffe (BM_Blern) im Unterricht gelernt. Begriffeverstehen (BM_Bverst) heißt Eigenschaften zu kennen, Beziehungen zu sehen und mit Begriffen(BM_arbkoen) arbeiten zu können“ (Vollrath, 1987, S. 125). Bei der Einführung neuer Begriffe(BM_BneuE) im Mathematikunterricht wird Wert darauf gelegt, „da[ss] sich der Begriff(BM_Bdid), (BM_Blern) über einen längeren Zeitraum hin entwickeln kann, da[ss] Vorwissen aktiviert und neues Wissen sinnvoll integriert wird“ (Vollrath, 1984, S. 201). Weiter werden durch Wiederholungen die bereits vorhandenen Kenntnisse immer wieder „aufgefrischt“ und anschließend durch Aufdecken weiterer Eigenschaften hin zu einem tieferen Verständnis erweitert. Dieses von dem Entwicklungs-Kognitionspsychologen J. Bruner begründete didaktische Prinzip (Spiralprinzip) ist fest in den bayrischen Lehrplänen aller Schularten verankert. Diesem Vorgehen liegt im Bezug auf die Mathematik folgende Idee zu Grunde: „Betrachtet man das Verständnis von Zahl, Maß und Wahrscheinlichkeit als unumgänglich für die Beschäftigung mit exakter Wissenschaft, dann sollte die Unterweisung in diesen Gegenständen so geistig-aufgeschlossen und so früh wie möglich beginnen, und zwar in einer Weise, die den Denkformen des Kindes entspricht. In höheren Klassen mögen die Themen weiter entwickelt und wieder aufgenommen werden“ (Bruner, 1972, S. 63). Zwei zentrale Eigenschaften des Spiralprinzips sind das Prinzip des vorwegnehmenden Lernens sowie das Prinzip der Fortsetzbarkeit. Dabei meint Ersteres: „Die Behandlung eines Wissensgebietes soll nicht aufgeschoben werden, bis eine endgültig-abschließende Behandlung möglich erscheint, sondern ist bereits auf früheren Stufen in einfacher Form einzuleiten“ (Wittmann, 2009, S. 86). Unter dem Prinzip der Fortsetzbarkeit versteht man: „Die Auswahl und die Behandlung einesThemas an einer bestimmten Stelle des Curriculums soll nicht ad hoc, sondern so erfolgen, dass auf höherem Niveau ein Ausbau möglich wird. Zu vermeiden sind vordergründige didaktische Lösungen, die später ein Umdenken erforderlich machen“ (ebd., S.86)."

In sich widerspruechliche Begriffsbildung (BM_wid)
Aktual unendliche Menge. Die natürlichen Zahlen haben kein Ende, sie sind nicht endlich. Trotzdem wird vom größten Teil der MathematikerInnen die unendliche natürliche Zahlenreihe, die kein Ende hat, als fix und fertige Einheit gedacht und gehandhabt (BM_fragl). Hier stellt sich allgemein, denkpsychologisch  aber auch mathematisch die Frage: Kann man etwas, das kein Ende (oder keinen Anfang, allgemein keine Grenzern) hat zu einem Ganze, Fix- und Ferrtigen zusammenfassen?

Impraedikative Begriffsbildung (BM_impraed)
Hier kommt im Definiens (BM_Definiens) das Definiendum (BM_Definiendum) vor, ein klarer Verstoß gegen die elementaren Definitionsregeln.
Poincaré (1910, p. 47): "(Bei Russell, dem ich das Wort entlehne, ist eine Definition zweier Begriffe A und A' nicht prädikativ, wenn A in der Definition von A' und umgekehrt vorkommt). Ich verstehe darunter folgendes: Jedes Zuordnungsgesetz setzt eine bestimmte Klassifikation voraus. Ich nenne nun eine Zuordnung prädikativ, wenn die zugehörige Klassifikation prädikativ ist. Eine Klassifikation aber nenne ich prädikativ, wenn sie durch Einführung neuer Elemente nicht verändert wird." [Online]

    Querverweise:

• Fehler beim Definieren (Nr.7): Impredikativ, imprädikativ.
• Nicht-prädikativer Begriffsbildung
• Russell, und Poincaré fordern prädikative Begriffsbildungen.
• Imprädikativ/Impredikativitä in der Enzyklopädie für Philosophie und Wissenschaftstheorie.

Lit.Hinweise:
• Kutschera, Franz von  () Die   logischen  Antinomien  in sprachphilosophischer Sicht. [Online]
• Kutschera, Franz von  (1998) Die Teile der Philosophie und das Ganze der Wirklichkeit.  [GB]
• Poincaré, Henri (1910). Sechs Vorträge über ausgewählte Gegenstände aus der reinen Mathematik
• und mathematischen Physik. Leipzig / Berlin. [Online]
• Sommaruga-Rosolemos, Giovanni (2002). Paradoxien der modernen Logik. In (105-130): Hagenbüchle,  Roland & Geyer, Paul  (2002, Hrsg.). Das Paradox - Eine Herausforderung des abendländischen Denkens. [GB, 120]

• Die Sprache der Mathematik: Metamathematische Hilfsbegriffe aus der Sicht eines mathematisch interessierten Laien

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Element wohlunterscheidbares Objekt einer Menge.
Gegenstand
Formaler Begriff, formale Begriffsanalyse.
Hasse-Diagramm > Wikipedia.Verband.Hasse-Diagramme.
Infimum > kleinstes Element in einer Menge. Mathepedia Infimum und Supremum.
Kontext
Majorante > alle oberen Schranken in einer Menge.
Menge "Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ von M genannt werden) zu einem Ganzen."  (Cantor 1895)
Menge, geordnete.
Merkmal. Undefinierter Grundbegriff, wird als bekannt vorausgesetzt.
Minorante > alle unteren Schranken in einer Menge.
Relation mathematischer und logischer Grundbegriff.
Supremum > Größtes Element in einer Menge. Mathepedia Infimum und Supremum.
Verband > Wikipedia.Verband.