Inhaltsübersicht
• Was ist ein ProzentRANG (PR) ?.
• Testpsychologische Interpretation.
• Testtheoretischer und statistischer Sinn und Nutzen des ProzentRANGmaßes.
• ProzentRANG-Kuriositäten.
• Abhängigkeit statistischer Normen von den Stichproben und Grundgesamtheiten.
• Dichte und Differenziertheit von ProzentRÄNGen.
• Unterschiedliche ProzentRANG-Bestimmungsmethoden.
• Beispielberechnung unmittelbare direkte und häufigkeitsinterpretierbare Methode.
• Umgang mit fehlenden Prozentrangnormen in der Bezugs-(Eich)-Stichprobe.
• 1) Intervallgrenzen-Regel.
• 2) Näherungsregel.
• 3) Auf- und Abrundregel zugunsten der ProbandIn.
• 4) Interpolations-Regel.
• Beispiel ProzentRANGberechnung der Anzahl der Corona-Neuinfektionen Deutschland.
• Beispiel ProzentRANGberechnung der Anzahl der Corona-Neuinfektionen Berlin.
• Prozentrang-Interpretationen bei Vergleichen.
• Exkurs: Messen in der Psychologie.
• Exkurs: Berücksichtigung der ProzentRANGidee im Alltag und Leben.
• Literatur (Auswahl).
• Links (Auswahl).
• Querverweise.

Was ist ein ProzentRANG (PR) ?
Stellen Sie sich 100 unterschiedlich große Menschen der Größe nach von links nach rechts aufsteigend geordnet vor. Der kleinste in dieser Reihe hat nun den ProzentRANG PR=1, der größte den PR=100. Derjenige mit dem ProzentRANG von 50 ist größer als die 49 vor ihm und kleiner als die 50 nach ihm in der Reihe. Der ProzentRANG sagt uns also etwas über den RANG oder die STELLUNG, die jemand in einer bestimmten Stichprobe einnimmt - und nicht, wie groß jemand ist..
    Wie man sieht, kann man den ProzentRANG sehr schön und klar verstehen. Das Wort RANG hat hier auch seine wichtige Bedeutung. Aus dem RANG oder der Stellung in der Stichprobe erfahren wir nämlich nicht, wie stark oder wie sehr die Unterschiede sind, wir erhalten nur eine RANG-Information vom Typ, mehr, weniger oder größer, kleiner. Es ist also möglich, daß zwei nahe beieinander liegende Testwerte weit auseinanderliegende ProzentRÄNGE aufweisen ebenso wie, daß zwei weiter auseinanderliegende Testwerte nahe beieinander liegende ProzentRÄNGE zeigen.
 

DerProzentRANG ist ein außerordentlich nützliches und unmittelbar verständliches statistisches Rang-Maß. Er gibt die relative Stellung an, die man bezüglich eines bestimmten Merkmals in einer Vergleichs- oder Bezugsgruppe einnimmt. Daher ist eine ProzentRANG-Angabe ohne Nennung der  Vergleichs- oder Bezugsgruppe wenig sinnvoll, wie man der Illustration entnehmen kann: Der "Kleine" (Große) unter den "Kleinen" (Großen) erhält einen ebenso geringen (großen) ProzentRANG wie unter den Großen. Man muß aufpassen, ihn nicht mit dem Prozentwert (Anteil von einem Ganzen) zu verwechseln, obwohl natürlich die Berechnung auch auf einer Prozentrechnung beruht.    In der Illustration bezeichnen die Ziffern 1-10 die Namen der Mitglieder. In beiden Bezugs- oder Vergleichsgruppen könnte man 2 und 3, 4 und 5, 6 und 7, 8 und 9, vertauschen, da diese gleich groß sind. An den ProzentRÄNGEN würde sich nichts ändern. Die Häufigkeiten H, der Prozentanteil von der Größe der Stichprobe, hier N(Pygmäen) = 10, N( Europäer) = 10 ändern sich nicht.

Begriffsumfeld ProzentRANG > Normwerte.
Häufigkeit, relative Häufigkeit, Häufigkeitsverteilung, Quantil, Quantile, Quartil, 1. Quartil, 3. Quartil, Median, Mittelwerte, Modalwert, Percentil, Normen, Flächennorm, T-Werte (McGall), Transformation, Ausprägung, Rohwerte, Rang, nonparametrisch, Verteilung.

Testpsychologische Interpretation:

Der Prozentrang PR gibt an, welche Rangposition eine BearbeiterIn in einer Bezugs-Stichprobe einnimmt. Ein PR=50 bedeutet im allgemeinen (hochgerechnet), sofern die Stichprobe und die Feindifferenzierung der Werte groß genug sind, daß jemand mit seinem Testwert 49% der Stichprobe übertrifft und selbst von 50% übertroffen wird. Als statistischen Durchschnittsbereich zählt man gewöhnlich die mittleren 50 Prozent, also den Bereich 25<=PR<=75. Der PR=25 hat den Namen "1. Quartil", der PR=50 heißt Median und PR=75 heißt 3. Quartil.

Die Psycho-Fachschaft der Uni-Osnabrück definiert kurz und bündig: "Prozentrangnormen = Wahrscheinlichkeit, einen solchen oder kleineren Rohwert in der Normverteilung zu finden."

Prozentrangnormen sind vernünftige und unmittelbar nachvollziehbare Ausprägungs-Normen. Vereinfacht kann man sagen: wer viele Aufgaben im Sinne des Merkmals löst, verfügt über viel Ausprägung des Merkmals. Voraussetzungen  für eine wissenschaftlich einwandfreie Interpretation sind:
 

1. die Anzahl der im Sinne der Bewertung erfolgten Bearbeitungen ist eine repräsentative Abbildung der Ausprägung des erfaßten Merkmals;
2. die Bearbeitung erfolgte wahrheitsorientiert und motiviert. Bei introspektiven Verfahren (wo die BearbeiterIn etwas über ihr Innenleben und sich selbst mitteilt) muß man
3. zusätzlich voraussetzen, daß sie über diese Fähigkeit verfügt und sie auch richtig anwendet.

Bei Leistungstests ist Voraussetzung (1) und (2) eher als erfüllbar anzusehen als im Persönlichkeitsbereich. Außerdem muß man streng zwischen den verschiedenen Erhebungssituationen unterscheiden: Menschen bearbeiten Tests ganz unterschiedlich, je nachdem um was es für sie geht und was davon abhängt. Tests - wie auch jede andere Art der Informationsgewinnung - unkritisch  in interessegeleiteten psychologischen Untersuchungen anzuwenden ist daher ein Kunstfehler. Nirgendwo dürfte Wahrheit und Wirklichkeit von den Parteien so individuell interessegeleitet wahrgenommen und ausgedrückt werden, wie dort, wo es für die Betroffenen um etwas geht (Wirtschaft, Gericht, Prüfung, Erwerb eines Privilegs usw.).

Testtheoretischer und statistischer Sinn und Nutzen des ProzentRANGmaßes
Gutjahr (1971, S. 94) schreibt: "Die Prozentrang-Transformation führt zu psychologisch relevanten Werten. ... Mit der Prozentrangskala sind die Willkürlichkeit und Zufälligkeiten der Rohskalen überwunden."
    Anmerkung: Das logistische Testmodell von Rasch will mit seinem Konzept der spezifisichen Objektivität die Stichprobenabhängigkeit der Testwerte ganz überwinden, was m.E. sehr fraglich und unrealistisch ist.

ProzentRANG-Kuriositäten
Auch sehr geringe Ausprägungen können hohe ProzentRÄNGE bekommen, wenn sehr viele in der Stichprobe geringe Ausprägungen ankreuzen (z.B. die Frage nach einem Phäochromozytom). Zur richtigen Interpretation eines ProzentRANGs muß man neben der  Polung  des erhobenen Sachverhalts auch den Testwert selbst berücksichtigen. Manche Merkmale haben nur hohe ProzentRÄNGE, wenn etwa in einem Fragebogen als letzte Frage "Ich habe alle Fragen verstanden und sorgfältig bearbeitet" erfaßt wird.

Abhängigkeit statistischer Normen von den Stichproben und Grundgesamtheiten
Statistische Werte wie der ProzentRANG sind grundsätzlich abhängig von der Stichprobe bzw. der Grundgesamtheit (Population) aus der die ProbandInnen ausgewählt werden. Eine statistische Norm erfordert daher stets eine Bezugsangabe zu einer Stichprobe und Grundgesamtheit.

Dichte und Differenziertheit von ProzentRÄNGen
Theoretisch können die ProzentRÄNGE beliebig dicht und genau gefaßt werden, wenn 1) die Test- oder Meß-Werte fein genug und 2) genügend ProbandInnen zur Verfügung stehen und 3) die Testwerte dieser ProbandInnen sich entsprechend differenziert verteilen. Wenn in einem Test (Untertest), nur wenige numerische Differenzierungen zur Verfügung stehen, können auch nur wenige ProzentRANGnormen erfaßt werden (die ProzentRÄNGE sind in der Praxis also meist diskret und quantisch).

Unterschiedliche ProzentRANG-Bestimmungsmethoden
Es gibt unterschiedliche ProzentRANG-Definitionen und damit auch Bestimmungsmethoden. Welche man wählt, hängt von den Zielen und Zwecken ab, die man verfolgt. Die hauptsächlichsten Methoden sind:
 

1. Unmittelbar direkte und häufigkeitsinterpretierbare Methode
2. Intervalle und Klassenbildung mit Mittengrenzen [Formel z.B. bei Lienert 1969, S. 333]
3. Spezielle Bestimmungen, um PR=0 oder PR=100 zu vermeiden
4. Spezielle Schätzmethoden zur Bestimmung in der Eichstichprobe nicht vorkommender Werte

Beispielberechnung unmittelbare direkte und häufigkeitsinterpretierbare Methode
Prozentrangbestimmung bei einem Test mit 14 Ausprägungsmöglichkeiten

Testwerte   W1  W2  W3  W4  W5  W6  W7  W8  W9  W10 W11 W12 W13 W14
Häufigkeit  0   0   0   3   0   5   6   3   0   9   4   7   0   0
Summiert    0   0   0   3   3   8   14  17  17  26  30  37  37  37
ProzentRANG 0   0   0   8   8   22  38  46  46  70  81  100 100 100

Hier besteht die ProzentRANGbestimmung darin: Man bestimmt nun die relative Häufigkeit H, mit der jeder Wert in der Stichprobe vorkommt und trägt bei jedem Wert ein (Zeile Häufigkeit), wie oft er in der Stichprobe vorkommt. Anschließend summieren wir die relative Häufigkeit von jedem Wert zum nächsten Wert auf (Zeile Summiert).

Umgang mit fehlenden Prozentrangnormen in der Bezugs-(Eich)-Stichprobe

Die in die verschiedenen Normstichproben eingegangenen Werte erschöpfen oft nicht sämtliche theoretisch möglichen Werte. Es kann daher sein, daß man auf einen Testwert stößt, für den es noch keine direkt zugeordnete Prozentrangnorm in den Tabellen gibt.  Im wesentlichen sind drei Fälle zu unterscheiden: (1) es gibt ein neues Minimum; (2) es gibt ein neues Maximum; (3) es gibt einen neuen Zwischenwert. Auch hier gibt es eine Reihe unterschiedlicher Methoden, für fehlende Testwerte in der Normstichprobe die ProzentRÄNGE zu schätzen.

1) Intervallgrenzen-Regel
Nach dieser Regel muß man gar nicht rechnen, sondern man gibt einfach die obere und untere Intervallgrenze der Prozentränge an zwischen denen sich der gesuchte befinden muß. Liegt ein erhaltener Testwert, z.B. 56, zwischen den schon statistisch verarbeiteten von TW< = 48 mit PR(48) = 65 und TW> = 61 mit PR(61) = 76, so gibt man einfach nur an PR = 65(48) < PR(56) < PR = 76(61). Ist der kleinste Testwert bei einer Dimension in der Normstichprobe z.B. 11 für den sich ein ProzentRANG von z.B. 4 ergab und erzielt eine ProbandIn ein neues Minimum mit Testwert 0, dann ist die beste Angabe PR < 4.

2) Näherungsregel
Man wähle den Prozentrang, der dem Testwert am nächsten kommt. Beispiel: Gegeben seien folgende Testwerte mit zugeordneten ProzentRANGwerten: TW< = 17 mit PR< = 57 und TW> = 33 mit PR> = 62, erhaltener Testwert sei TWerhalten = 22. Der TWerhalten ist näher an 17 als an 33. Also wähle man nach der Näherungsregel den PRgeschätzt = 57. Diese Regel ist anwendbar für Fälle bei denen die erhaltenen Testwerte nahe bei einem schon statistisch erfaßten liegen. Hat eine ProbandIn ein neues Minimum oder Maximum, das bei der statistischen ProzentRANGbestimmung noch nicht vorlag, so kann man als Schätzung dem neuen Minimum oder Maximum den ProzentRANG des alten Minimums oder Maximums zuordnen. Die bessere Regel ist aber die oben beschriebene Intervallgrenzen-Methode.

3) Auf- und Abrundregel zugunsten der ProbandIn
Auf- und Abrundregel, wie es für die ProbandIn günstiger ist. Bei schwerwiegenden Folgen wird man eher konservativ, d.h. ungünstig schätzen, um entsprechende Sicherungsmaßnahmen zu fördern.

4) Interpolations-Regel
Eine genauere Möglichkeit ist die Interpolation, die man wie folgt rechnen kann: Wenn wir das Zeichen „>" für den jeweils größeren Wert - Testwert TW und ProzentRANGwert PR - und das Zeichen „<" und für den jeweils kleineren Wert - Testwert TW und ProzentRANGwert PR - mit TW_i erhaltener und zu interpolierender Testwert verwenden, ergibt sich allgemein:

PR_i = PR_< + [( TW_i - TW_< ) / ( TW_> - TW_< )] * ( PR_> - PR_< )

Beispiel: Enthalte der Wertevorrat nur die Testwerte 7 mit PR=11 und 0 mit PR=5, aber nicht den Testwert 4, so ergibt sich interpolativ für den Testwert 4 ein ProzentRANG von gerundet 8, nämlich wie folgt:

PR_i = PR_< + [( TW_i - TW_< ) / ( TW_> - TW_< )] * ( PR_> - PR_< )
PR_i  = 5  +  [ (4 -0)  / (7-0)] * (11-5)
PR_i  = 5  +  [ (4  / 7)] * 6
PR_i  = 5 + .57142 * 6
PR_i  = 5 + 3,42857
PR_i  = 8,42857
PR_i  = 8 [abgerundet]
Der gesuchte (interpolierte) Prozentrang für den erhaltenen Testwert 4 beträgt 8 (gerundet).
 

Anwendungsprobe für die Werte im Beispiel 1) Intervallgrenzenregel:
TW = 56;  TW_< = 48, TW_> = 61, PR_< = 65 , PR_>= 76.
PR_i = PR_< + [( TW_i - TW_< ) / ( TW_> - TW_< )] * ( PR_> - PR_< )
PR_i = 65 + [( 56 - 48 ) / (61 - 48 )] * ( 76 - 65)
PR_i = 65  +  [ 8  / 13)] * (11)
PR_i  = 65 + .61538 * 11
PR_i  = 65 + 6,769
PR_i  = 71,769
PR_i  = 72 [gerundet]
Der gesuchte (interpolierte) Prozentrang für den erhaltenen Testwert 56 beträgt 72 (gerundet).

[noch nicht 2. kontrolliert, gültig unter Vorbehalt]

Beispiel Depressiv bei 6 Vergleichsgruppen
 

Beispiel Merkmal Depressivität	Zufriedene / Gesunde	Normgruppe _	Fallgruppe Anfang	Fallgruppe Ende _	Nachunter- suchung	Spezialgruppe Depressive
Rohwert	5 von 10	5 von 10	5 von 10	5 von 10	5 von 10	5 von 10
ProzentRANG	99	95	65	85	90	35

Depressiv-Interpretationssätze zu den einzelnen ProzentRÄNGEN
    Nur 1 von 100 in der Gruppe Zufriedene / Gesunde erreicht mehr als 5 Rohwertpunkte, 99 haben höchstens einen Rohwert von 5. Das heißt, bei den Zufriedenen / Gesunden kommt Depressivität in mittlerer Rohwertausprägung (5 von 10) nur zu 1/100 vor. Ein solches Ergebnis kann man als Bestätigung dafür ansehen, dass die Skala das schätzt, was sie schätzen soll (man sagt auch: die Skala ist für Depressivität  valide).
    Nur   5 von 100 in der Normgruppe erreichen mehr als 5 Rohwertpunkte, 95 haben höchstens einen Rohwert von 5.
    Nur 35 von 100 in der Fallgruppe Anfangsphase erreichen mehr als 5 Rohwertpunkte, 65 haben höchstens einen Rohwert von 5.
    Nur 15 von 100 in der Fallgruppe Endphase erreichen mehr als 5 Rohwertpunkte, 85 haben höchstens einen Rohwert von 5.
    Nur 10 von 100 in der Fallgruppe Nachuntersuchung erreichen mehr als 5 Rohwertpunkte, 90 haben höchstens einen Rohwert von 5.
    65 von 100 in der Spezialgruppe Depressive erreichen mehr als 5 Rohwertpunkte, 35 haben höchstens einen Rohwert von 5.

Depressiv-Interpretationssätze zu den Vergleichen der ProzentRÄNGE
Die Depressivität wird offensichtlich gut geschätzt, weil Depressive beim Merkmal Depressivität deutlich höhere Rohwerte haben. Das heißt, niedrigere ProzentRÄNGE zeigen beim Vergleich höhere Rohwertausprägungen an.
 

Beispiel Radikales Erleben (Borderline-Merkmal)
 

Beispiel Merkmal Radikales Erleben	Normgruppe _	Fallgruppe  Psychotherapie	Waffenrechts- Probanden
Rohwert	10 von 45	10 von 45	10 von 45
ProzentRANG	24	14	42

Radikalerleben-Interpretationssätze zu den einzelnen ProzentRÄNGEN
76 von 100 der Normgruppe erzielen einen höheren Rohwert als 10; 24 von 100 der Normgruppe haben höchstens einen Rohwert von 10.
86 von 100 der Fallgruppe Psychotherapie erzielen einen höheren Rohwert als 10; 14 von 100 haben höchstens einen Rohwert von 10.
58 von 100 der Waffenrechts-Probanden erzielen einen höheren Rohwert als 10; 42 von 100 haben höchstens einen Rohwert von 10.

Radikalerleben-Interpretationssätze zu den Vergleichen der ProzentRÄNGE
In der Fallgruppe Psychotherapie gibt es bei diesem Vergleich mehr Probanden, die einen höheren Rohwert als 10 haben als bei der Normgruppe und den Waffenrechts-Probanden, bei denen die Ausprägung deutlich am niedrigsten beschrieben wird.

Allgemeine InterpretationsREGEL bei ProzentRANG-Vergleichen mit positiver Merkmalspolung
Betrachtung in einer Gruppe: Bei gegebenem Rohwert X in einer Vergleichsgruppe (VG) bedeutet ein ProzentRANG PR, dass dieser Rohwert X in der Vergleichsgruppe (VG) von 100-PR überschritten wird und höchstens PR Probanden den Rohwert X in dieser Vergleichsgruppe (VG) erreichen.
    Hohe ProzentRÄNGE bedeuteten, dass viele (genau PR) höchstens einen solchen Rohwert X erreichen.
    Ist der Rohwert X niedrig und der ProzentRANG niedrig, dann haben viele in der Vergleichsgruppe höhere Merkmalsausprägungen.
    Ist der Rohwert X niedrig und der ProzentRANG hoch, dann haben viele in der Vergleichsgruppe kleinere Merkmalsausprägungen.
    Ist der Rohwert X hoch und der ProzentRANG niedrig, dann haben viele in der Vergleichsgruppe höhere Merkmalsausprägungen.
    Ist der Rohwert X hoch und der ProzentRANG hoch, dann haben viele in der Vergleichsgruppe kleinere Merkmalsausprägungen.
 

Exkurs: Messen in der Psychologie
In der (Test-) Psychologie sind Messungen, wie aus Naturwissenschaft und Technik bekannt, in aller Regel nicht möglich. Daher ist die gesamte traditionelle psychologische Testtheorie, die gewöhnlich wenigstens intervallskalierte Daten voraussetzt zutiefst wissenschaftlich fragwürdig und im Grunde genommen, wie es Orth 1974 nach wie vor trefflich ausdrückte, nur ein Messen "per fiat", also eine Art "wissenschaftstheologische" Entscheidung und damit ein Widerspruch in sich, eine contradictio in adjecto: eine Art "schwarzer Schimmel" oder "viereckiger Kreis".
    ProzentRANGnormen setzen nur ein RANGdaten-Niveau voraus und sind daher für psychologische Zwecke besonders - wie nonparametrische und Rang-Methoden - geeignet. Das gilt natürlich nur dann, wenn nicht auch sonst verdeckte Rechenprozeduren verwendet werden, die stillschweigend ein höheres Datenniveau voraussetzen.

Exkurs: Berücksichtigung der ProzentRANGidee im Alltag und Leben
Sport am Beispiel der Ligen: Man kann den Rang 1,2, ... in der Bundesliga, 2. Bundesliga, ..., Regionalliga, ... bis hin zur Kreisklasse C einnehmen. Die verschiedenen Gewichtsklassen, Trennung von Frauen und Männern geht ebenfalls von verschiedenen Bezugsgruppen aus.  In Nationalgarden werden oft nur Männer ab einer bestimmten Mindestgröße aufgenommen; selbst kleine Prozentränge bedeuten dort schon hohe Körpergrößen wie z.B. auch in Basketballmannschaften. Das Sprichwort "Unter den Blinden ist der Einäugige König" enthält ebenfalls die Idee der relativen Tüchtigkeit je nach Voraussetzungen innerhalb der Bezugsgruppe. Gegenbeispiele: Eine vielfach vertretene Rechtsidee besagt: vor dem Gesetz sind alle gleich. Auch die Wählerstimmen werden selbst in den modernen Hollywooddemokratien gleichwertig behandelt. Gute Noten in der Grundschule setzen sich nicht unbedingt an den höheren Schulen fort. Die verschiedenen Schultypen repräsentieren daher verschiedene Bezugs- und Vergleichsbasen. Einser-AbiturientInnen sind nicht unbedingt an Universitäten gleichermaßen erfolgreich. Ungeachtet der Bildung kann sich auch der Geschäfts- oder der Lebenserfolg entwickeln.

Literatur

• Gutjahr, W. (1971). Die Messung psychischer Eigenschaften. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften.
• Kotz, S. & Johnson, N. (1982-1989, Ed.). Encyclopedia of Statistical Science.  Vol. 1-10. New York: Wiley. [hier das Begriffsumfeld nachschlagen]
• Lienert, G. A. (1962). Über die Anwendung von Variablen-Transformationen in der Psychologie. Biometrische Zeitschrift 4, 3, 145-181.
• Lienert, G. A. (1969 ff). Testaufbau und Testanalyse. Weinheim: Beltz. [Formeln S. 333]
• McGall, W. A. (1922). How to measure in Education. New York: McMillan.
• Orth, B. (1974). Einführung in die Theorie des Messens. Stuttgart: Kohlhammer.

• Fern-Uni-Hagen Glossar Prozentrang: [Fehler 404]
• Fern-Uni-Hagen Glossar Häufigkeitsverteilung: [Fehler 404]
• Psycho-Fachschaft-Uni-Osnabrück: "Prozentrangnormen = Wahrscheinlichkeit, einen solchen oder kleineren Rohwert in der Normverteilung zu finden." [Fehler 404]

IP-GIPT-Links

• Testtheorie der Allgemeinen und Integrativen Psychotherapie.
• "Zahlen". Die Grundlagen praktischer ArithMETRIK für die Messung  im Unscharfen, Unklaren und Flüchtigen in der Allgemeinen und Integrativen Psychologie und Psychotherapie.
• Normen und Normieren * Vergleichen * Beweisen * Statistik in der IP-GIPT *
• Überblick Wissenschaft in der IP-GIPT.

gelesen am: 07.03.04 irs