von Rudolf Sponsel, Erlangen (ohne Gewähr)
Zusammenfassung,
Abstract, Summary.
Es wurden 24 Zeitreihen (Variablen 2-25) wichtiger Daten aus dem Wirtschafts-,
Finanz-, Sozial- und Staatsleben von 1991-2007 einer multivariaten, Eigenwert-
und Faktorenanalyse mit einem Vergleich der Hauptkomponenten,- Quartimax-
und Varimaxmethode unterzogen. Die stetigen und jährlichen Wachstumsraten
- etwa zur vergleichenden Beurteilung und für Prognosen
- und die Datenquellen sind an anderer
Stelle mitgeteilt.
Nachdem 24 Spalten, aber nur 17 Zeilen vorliegen
(Spaltenrang = Zeilenrang), hat die Rohwertematrix höchstens Rang
17, d.h. 7 Eigenwerte müssen aus formalmathematischen Gründen
0 sein. Die Korrelationsmatrix ist daher singulär und entgleist -
wahrscheinlich rundungsfehlerbedingt durch die nur einstellig mitgeteilten
Sparquoten und Verbraucherpreisindices geringfügig in den letzten
drei Eigenwerten, so dass bei der multivariaten Weiterverarbeitung sehr
darauf geachtet werden muss, wie mit den imaginären Werten in den
letzten drei Faktoren - die keine Bedeutung haben - umgegangen wird. Aus
Dokumentationsgründen habe ich darauf verzichtet, die negativen Eigenwerte
im Grenzbereich der rechnerischen Genauigkeit 0 zu setzen, so dass sich
Kundige und / oder Interessierte einen Eindruck von der numerisch instabilen
Situation verschaffen können. Man sieht hier sehr deutlich, wie wichtig
"Therapiemethoden" für numerisch entgleiste Matrizen sind und mit
welchen extremen Schwierigkeiten die Ökonometrie zu kämpfen hat.
Die gesamte 24*24 Matrix wird von einem einzigen
großen Eigenwert (19.77, das sind 82.38%) dominiert, den man
nur als Wachstums-GENERAL-Faktor interpretieren kann. Nach
dem Kriterium der Fast-Kollinearität
enthält die Korrelationsmatrix neben 7 formalen Eigenwerten = 0 noch
einen weiteren artefiziellen Eigenwert = 0 (die Arbeitslosenquote ist kollinear
aus den Variablen Erwerbtätige und Arbeitslose) und 10 fast-kollineare
Eigenwerte (< 0.20). Nur noch zwei weitere Eigenwerte (2,52; 0.99) spielen
eine nennenswerte Rolle, so dass die Reproduktionsmatrix aus nur drei Faktoren
mit einer durchschnittlichen Abweichung von den originären Korrelationskoeffizienten
mit 0,01 für
sozialwissenschaftliche Verhältnisse aussergewöhnlich gut gelingt.
Reproduziert man aus vier Faktoren, ist der durchschnittliche AbweichungsBETRAG
nur noch 0,005.
Man sieht also, dass Faktorenanalysen sinnvoll möglich sind, wenn
es die Daten hergeben und nicht Daten der Unsitte des sog. Kaiser-Kriteriums
(alle Eigenwerte < 1 als "Fehler"
wegwerfen) oder des sog. "Scree-Tests" geopfert
werden.
Ergebnisse der verschiedenen
Faktorenanalyse-Methoden (Hauptkomponente, Quartimax, Varimax). Wie
gezeigt wird, spielen nur 3, höchstens 4 Faktoren eine nennenswerte
Rolle. Die Hauptkomponenten- und Quartimaxmethode liefern ein übereinstimmendes
Ladungsmuster im 1. großen Wachstums-GENERAL-Faktor. Zur Interpretation
ist eine genaue Betrachtung der Datenentwicklung und ihrer Besonderheiten
notwendig:
Bei der Hauptkomponentenmethode sind Faktor F3 und
F4 nicht klar unterscheidbar, sie scheinen hier dieselben ökonomischen
Bereiche zu beschreiben, nämlich die Variablen zum Sparen (16, 17)
und zur Erwerbstätigkeit (19, 20, 21). Die Quartimaxmethode trennt
die beiden Bereiche Sparen und Erwerbstätigkeit, unterscheidet aber
bei den Auftragseingängen (Variable 25) nicht zwischen Faktor Fq3
und Fq4. Die Varimaxmethode bläht kleine Faktorenladungen auf und
täuscht Einflüsse vor, die es auch bei sonstiger (Regression,
Korrelation) Betrachtung so nicht gibt.
Interpretation
der vier Faktoren orientiert an Quartimax:
1. Faktor Fq2: Wachstums-GENERAL-Faktor (Wirtschafts-Produktivität).
2. Faktor Fq3: Sparen, Gewinne, Vermögen, Steuer (Geld)
3. Faktor Fq4: Erwerbstätigkeit und Arbeitslosigkeit.
4. Faktor Fq5: Zinsausgaben des Staates (die Staatsverschuldung hat
die höchste jährliche Wachstumsrate mit 6,15%).
Die Faktorenanalyse
im engeren Sinne - mit den Kommunalitätsmatrizen
liefert hier weitgehend (wenig Heywood-Cases)
akzeptable und nur gering entgleiste Ergebnisse, was hier aber an den fast-kollinearen
Daten liegt.
Vorzeichenbedeutung. Man
sieht hier an den Daten, dass man die Vorzeichen bei den Faktorenladungen
bei der Hauptkomponentenmethode klar interpretieren kann. Während
die Vorzeichen bei allen Werten, die wachsen, positiv sind, werden sie
negativ bei den Daten (17 Sparquote und 24 Diskont), die negativ
wachsen, also schrumpfen. Die Aufklärung der Bedeutung des Vorzeichens
bei den Faktorenladungen ist für mich ein neuer Befund und soll daher
auch gesondert ausgewiesen werden.
Dokumentation der vergleichenden Faktorenanalysen
Rohwerte [Quellenbelege
hier]
Bemerkung: Logarithmiert man die Rohwerte, resultiert überraschenderweise
eine kaum unterschiedliche Korrelationsmatrix (Dokumentation hier).
Literatur (Auswahl)
Links (Auswahl: beachte)
Glossar, Anmerkungen und Endnoten:
1) GIPT= General and Integrative Psychotherapy, internationale Bezeichnung für Allgemeine und Integrative Psychotherapie.
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Ergebnisse Faktorenanalyse im engeren Sinne (Kommunalitätsmatrizen).
Kommunalitätsmatrix mit quadriertem multiplen Korrelationskoeffizienten in der Hauptdiagonale
Kaiser-iterierte Kommunalitätsmatrix
Guttman-iterierte Kommunalitätsmatrix
Wiesent-iterierte Kommunalitätsmatrix
Vergleich der Eigenwerte und Kommunalitäten
Aus Faktoren reproduzierte Korrelationsmatrizen:
Aus drei Faktoren reproduzierte Matrix der Faktor-Korrelationsmatrix:
Aus vier Faktoren reproduzierte Matrix der Faktor-Korrelationsmatrix:
___
Prognosen. Intern habe ich beim Vergleich
Rohdaten und LN-logarithmierte Daten - die überraschenderweise zu
einer kaum unterschiedlichen Korrelationsmatrix führen (Dokumentation
hier)
- bis zum Jahr 3007 gerechnet. Vorgreifend sei an dieser Stelle nebenbei
bemerkt, dass die Zinslasten des Staates im Jahre 2214 sämtliche Staatseinnahmen
überschritten, wenn die Wachstumsraten unverändert beibehalten
würden.
___
Variable 2-25. Variable 1, die
Neuverschuldung als Differenz zwischen Staatsausgaben - Staatseinnahmen,
wurde weggelassen, da erstmals 2007 erfreulicherweise ein negativer Wert
resultierte (Staatseinnahmen > Staatsausgaben), weil die Zeitreihe nicht
in den Vergleich mit den LN-logarithmierten Werten einbezogen werden kann.
Das Weglassen ist auch insofern völlig unproblematisch, da die gesamte
Information dieser kollinearen Variablen sich aus Variable 2 und 3 ergibt.
Die Numerierung der Variablen wurde aber, um nicht immer wieder umdenken
zu müssen, beibehalten, so dass die Zählung hier mit Variablen,
Faktoren usw. 2 beginnt.
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Querverweise
Standort: Faktorenanalyse Wirtschaftsstatistik 1991-2007.
*
Überblick der Dokumentationen zur Handhabung der Faktorenanalyse
Kritik der Handhabung der Faktorenanalyse
Was für ein Typ Matrix entsteht durch Faktorenanalysen?
Überblick Numerisch Instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie
Zahlenmystik und numerologische Esoterik in Statistik und Testtheorie
Überblick Arbeiten zur Definitionslehre, Methodologie, Meßproblematik, Statistik und Wissenschaftstheorie
*
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Zitierung
Sponsel, Rudolf (DAS). Faktorenanalyse von 24 wichtigen wirtschaftlichen Variablen der Zeitreihen 1991-2007. IP-GIPT. Erlangen: https://www.sgipt.org/wisms/fa/WS9107/WS9107.htm
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