IP-GIPTDAS=30.05.2001 Interneterstausgabe, letzte Änderung 21.12.6
Impressum: Diplom-PsychologInnen Irmgard Rathsmann-Sponsel und Dr. phil. Rudolf Sponsel
Stubenlohstr. 20 D-91052 Erlangen Mail: sekretariat@sgipt.org_ Zitierung & Copyright
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Willkommen in der Abteilung Wissenschaftstheorie, Methodologie und Statistisch-Mathematische Methoden in der Allgemeinen und Integrativen Psychologie, Psychodiagnostik und Psychotherapie hier zu Matrizen in der Psychologie und Psychotherapie:
0. Zusammenfassung
Kollinearitätsanalyse und Therapie
der indefiniten Spearman- & Hart- Matrix (1913) EnglishRudolf Sponsel, Erlangen
Es wird gezeigt, wie mit Hilfe der HAINschen (1994) PESO-Analyse (Pivotisierte Erhard Schmidt Orthonormalisierung) und der numerischen Stabilitätsanalyse (Sponsel 1994) die Kollinearitätsanalyse durchgeführt werden kann. Weiter wird gezeigt, wie die indefinite Korrelationsmatrix von Spearman & Hart 1913, die hochpathologische multiple und partielle Korrelationskoeffizienten produziert, mit Hilfe der THURSTONEschen Centroid-Methode "therapiert" werden kann. Schließlich wird gezeigt, daß die Multikollinearität, also die mehrfachen Gesetzmäßigkeiten in dieser Korrelationsmatrix nach erfolgreichen "Centroid-Therapie" - leider - verschwinden. Damit wird zugleich gezeigt, daß über indefinite Korrelationsmatrizen keine zuverlässigen Aussagen möglich sind. Zahlreiche auch historisch bedeutsame Korrelationsmatrizen wie z.B. die "Primaries ..." von THURSTONE - am extremsten bislang die Matrix einer Thurstone Schülerin - sind hiervon betroffen (Sponsel 1994, Empirical Correlation Matrices Report 1910-1993).
21.12.2006.
Ergänzende Relativierung zur Interpretierbarkeit der indefiniten und
damit Pseudokorrelationsmatrix
Es bestehen inzwischen große Zweifel, ob die indefinite Pseudokorrleationsmatrix
interpretationsfähig ist.
1. Einführung
Indefinite Korrelationsmatrizen-Matrizen, also solche die ihre positive
Definitheit verloren haben, produzieren unsinnige multiple und partielle
Korrelationskoeffizienten, was meist auf schwerwiegende methodische Fehler
zurückzuführen ist (Sponsel 1994). Besonders schlimme Fälle
werden durch größere negative Eigenwerte angezeigt (Faustregel:
> |.03|). Sind die negativen Eigenwerte hingegen "klein" (Faustregel: im
dritten Nachkommastellenbereich), so ist die Störung ziemlich wahrscheinlich
eine Folge von Kollinearität, d.h. die Repräsentation einer linearen
Gesetzmäßigkeit, im Zusammenhang mit Rundungsfehlern, die beim
konkreten numerischen Rechnen unumg„nglich sind. Mit indefiniten Korrelations-Matrizen
kann man nicht mehr verantwortlich und vernünftig rechnen. Daher stellt
sich die Frage, ob und wie man solche Matrizen "therapieren" kann. Ein
effektives Verfahren haben KNOL & TEN BERGE (1989) vorgelegt. Wir wollen
hier die Effiziens der THURSTONEschen
Centroid-Methode an der Spearman- und Hart Matrix von 1913 demonstrieren.
Zugleich soll gezeigt werden, wie mit Hilfe der HAINschen (1994) PESOAnalyse
(Pivotisierte Erhard Schmidt Orthonormalisierung) und der numerischen Stabilitätsanalyse
(Sponsel 1994) die Kollinearitätsanalyse durchgeführt werden
kann.
2. Erläuterungen zu den Matrix Analyse Kriterien
Samp_Or_MD_NumS_Condit_Determ_HaInRatio_R_OutIn_K_Norm_C_Norm
_
Samp =: Stichprobengröße.
Md =: Missing Data Information: Meist steht hier der Eintrag <-1>, da es in der Fachliteratur leider nicht üblich ist, anzugeben, ob Missing Data vorliegen, was meist der Fall ist, und welche Methode der Behandlung des Problems angewandt wurde.
NumS =: Hier gibt es bislang folgende Faustregel Bewertungen:
? unklar, fraglich, z. B. bei Distanzmatrizen,
die konstruktionsbedingt indefinit sein müssen
+ numerisch stabil
+? Borderline, tendenziell eher numerisch stabil
-? Borderline, tendenziell eher numerisch
instabil
- numerisch instabil
--Z indefinit mit Z negativen Eigenwerten
| Liegt auch nur ein negativer Eigenwert vor, ist die Matrix indefinit und Entgleisungen jeglicher Art sind möglich. Die Matrix ist sozusagen "psychotisch" geworden: keinem Wert kann man mehr vertrauen, alles ist möglich. Ein solcher Zustand ist unter allen Umständen zu verhindern, oder rückgängig zu machen bzw. umgehend zu "therapieren" bevor weitergerechnet werden kann. |
Condit = Konditionszahl: Größter Eigenwertbetrag dividiert durch kleinsten Eigenwertbetrag
Determ =: Determinante. Die Determinante
repräsentiert den Betrag des Volumens des n-dimensionalen
Spats (mehrdimensionaler Körper). Je kleiner sie ist, desto kleiner
ist das Volumen des Spats. Ein kleines Volumen kann hierbei durch einen
einzigen kleinen Vektor, was einem kleinen Winkel entspricht, hervorgerufen
werden. Das ist der kritische Fall. Eine kleine Determinante kann aber
auch ganz "normal" durch den "natürlichen" Rechenprozeß entstehen,
ohne daß sie numerische Instabilität ausdrücken muß.
Eine Beurteilung allein aufgrund des Determinantenbetrages ist daher nicht
sinnvoll. Folgende Faustregeln haben daher nur orientierenden Wert.
HaInRatio =: HADAMARD Zahl Inverse.
Die HADAMARDsche Zahl für die Inverse gibt an, in welchem Verhältnis
die reale Determinante der Inversen gegenüber ihrem theoretischen
Maximalwert bei gegebener Koeffizientenmatrix liegt. Nach der Faustregel
von FADDEJEW & FADDEJEWA kann eine Inversendetermi-
nante als klein gelten, für deren Verhältnis 1 : 50 000 gilt,
also deren HaInRatio < .00002 ist.
R_OutIn =: LES Input Output Ratio (SPONSEL 1994). Dieser Wert gibt an, um das wievielfache sich der output ändert, wenn an der dritten Stelle im Nachkommabereich eine Veränderung um eine Einheit vorgenommen wird.
K_Norm =: Kleinste PESO-Norm Korrelationsmatrix. Die kleinste reduzierte Norm ("kürzeste" Norm, "flachster" Winkel) der Korrelationsmatrix ist ein Maß für den Grad der Kollinearität. Je kleiner der Wert der K_Norm, desto stärker der Grad an Kollinarität. Das Produkt aller reduzierten Normen ergibt den Betrag der Determinante. Es genügt also eine einzige kleine K_Norm, um das Volumen nahe an 0 zu führen (Entsprechung zur Funktion kleiner Eigenwerte). PESO für die Korrelationsmatrix ist so justiert, daß für alle K_Normen < 0.01 in Klammern die Anzahl der Relationen (Kollinearitäten) ausgegeben wird. Die Wurzel aus der K_Norm liefert eine obere Schranke für den höchsten Korrelationskoeffizienten.
C_Norm =: Kleinste PESO-Norm Cholesky-Matrix. Die C_Norm repräsentiert die kleinste reduzierte Norm der Cholesky-Matrix. Die Bedeutung der Cholesky-Zerlegung beruht u. a. auf der Isometrie zu den Rohdaten. Die kleinste C_Norm gibt den kleinsten Winkel an, der für die zentriert normierten Rohdaten vorliegt. Das Quadrat der kleinsten C_Norm ist größer-gleich der kleinsten K_Norm. Als empirische Faustregel gilt: (C_Norm^2)/(2...5) ~ K_Norm. Weiter gilt: r(multiple) = SQR(1-C_NORM^2). Aus der C_Norm können also direkt die multiplen Korrelationskoeffizienten bestimmt werden. Die Relation oder Kollinearität kann über die kleinste Cholesky Norm also auch über den bekannten und gewohnten multiplen Korrelationskoeffizienten ausgedrückt werden. Eine C_Norm <.31 kann hier als kritische Grenze für den Beginn deutlicherer Kollinearität dienen.
Table 1
Original Korrelationsmatrix Spearman & Hart
1913
Detailed Ausführliche Standard-Matrix-Analysis
der Spearman & Hart Korrelations Matrix (1913)
Original input data with 2-digit-accuracy and
read with
2-digit-accuracy (for control here the analysed original
matrix):
1 2
3 4 5 6
7 8 9 10
11 12 13
1 1 .77 .67 .6
.69 .57 .57 .5 .52 .48 .38
.2 .16
2 .77 1 .74 .61
.66 .59 .53 .29 .52 .16 .62 .31
.07
3 .67 .74 1 .52
.72 .45 .61 .34 .52 .14 .22 .19
.23
4 .6 .61 .52 1
.44 .76 .47 .67 .4 .29 .13
.57 -.13
5 .69 .66 .72 .44 1
.51 .65 .4 .34 .47 .23 .19
.01
6 .57 .59 .45 .76 .51
1 .41 .45 .47 .25 .03 .26
.11
7 .57 .53 .61 .47 .65
.41 1 .45 .47 .08 .26 -.05
.22
8 .5 .29 .34 .67
.4 .45 .45 1 .34 .16
.08 .05 -.05
9 .52 .52 .52 .4
.34 .47 .47 .34 1 -.07 -.01 .01
-.13
10 .48 .16 .14 .29 .47
.25 .08 .16 -.07 1 .26 .06
.19
11 .38 .62 .22 .13 .23
.03 .26 .08 -.01 .26 1 .16
.29
12 .2 .31 .19 .57 .19
.26 -.05 .05 .01 .06 .16 1
.05
13 .16 .07 .23 -.13 .01 .11
.22 -.05 -.13 .19 .29 .05 1
Table 2: Matrix Analysis Criteria
Or_MD_NumS_
Condit_
Determ_
HaInRatio_ R_OutIn_
K_Norm_
C_Norm
13 -1 --1 733.3 -.0000167538 2.21 D-12
394.2 5D-3(1) -1(-1)
Highest inverse negative diagonal value____= -.021075044
thus multiple r( 5.rest)_________________=
6.960566542 (!)
and there are 2 multiple r > 1 (!)
i.Eigenvalue Cholesky i.Eigenvalue
Cholesky i.Eigenvalue Cholesky
1. 5.63691 1
2. 1.61837 .638
3. 1.33718 .654
4. 1.09919 .7636
5. .87991 .6319
6. .75463 .6054
7. .60908 .712
8. .41475 .6371
9. .32742 .7243
10. .2103 .5212
11. .18194 -.1899 12. 7.69D-3
-.2362
13.-.07735 -.2838
The matrix is not positive definit. Cholesky decomposition
is not success-
ful (for detailed information Cholesky's diagonalvalues are
presented).
3. Diskussion bezüglich der Kriterien der Original Matrix
Tabelle: Multiple Korrelationskoeffizienten r(i.rest)
| r1.rest = .9495 | r5.rest = 6.9606 | r9.rest = .7154 | r13.rest = .9175 |
| r2.rest = .9922 | r6.rest = .9665 | r10.rest = .757 | |
| r3.rest = .9669 | r7.rest = imaginary | r11.rest = .9755 | |
| r4.rest = 1.3566 | r8.rest = .7307 | r12.rest = imaginary |
Die negative Determinante zeigt eine indefinite und bösartig entgleiste 'Korrelations'-Matrix an. Die Konditionszahl - größter Eigenwert dividiert durch kleinsten Eigenwert - zeigt mit 733 einen hohen Wert an. Die LES Analyse, die ab der dritten Nachkommastelle ab- und aufrundet, zeigt Input-Output-Ratio von 394 an, d.h. einer Änderung auf der Eingangsseite um eine Einheit in der dritten Nachkommastelle führt auf der Ausgangseite zu einem 394 mal so großen Wert. Die HADAMARD-Zahl der Inverse zeigt mit 2*10 ^ -12 ein sehr kleines Verhältnis an. Der negative Eigenwert ist mit einem Wert von -0.07735 sehr hoch und vermittelt auf den ersten Blick wenig Hoffnung auf eine auf erfolgreiche Therapie. Jedoch kam es zu meiner Überraschung heraus, das eine "Centroid-Therapie" entsprechend der Centroid-Methode nach Thurstone trotz des hohen negativen Eigenwerts erfolgreich funktionierte. Wahrscheinlich liegt keine Indefinitheit wegen einer reinen Kollinearität vor, aber es ist zu erwarten, daß die Korrelationsmatrix mehrfach bechädigt wurde: falsche Missing-Data-Lösung, falsche Mittelwertsbildungen, "correction of attenuation" oder auch kein Vorliegen eines Produkt-Moment-Korrelationskoeffizienten mögen die Gründe sein. Der höchste multiple Korrelationskoeffizient ist sage und schreibe r5.rest = 6,96 (!) [in Worten: Sechs-Komma-sechsundneunzig], also völlig entgleist als eine Folge des Verlustes der positiven Definitheit.
4. Welche Variablen sind für die Kollinearität verantwortlich?
Die Eigenwertposition erlaubt keinen Rückschluß, welche Variablen die Kollinearität konstituieren. Das kann man leicht kontrollieren, indem man Zeilen und Spalten der Korrelationsmatrix vertauscht und feststellt, daß die Eigenwerte gleich bleiben. Information gibt aber die von Dr. HAIN (1994) entwickelte PESO-Analyse (Pivotisierte Erhard Schmidt Orthonormalisation).
21.12.2006. Ergänzende Relativierung zur Interpretierbarkeit
der indefiniten und damit Pseudokorrelationsmatrix
Es bestehen inzwischen große Zweifel, ob die indefinite Pseudokorrleationsmatrix
interpretationsfähig ist.
Table 3: PESO-Analysis of the correlation matrix
Var. RN Reduced Norm
ON Original Norm Ratio
RN/ON
1 2.1186080323290788
2.1186080323290788 1.0000
13 1.0830630275311198
1.1414902533297001 0.9488
12 1.0688990982453775
1.2796874610809581 0.8352
10 .89566410275237469
1.3368993970637328 0.6699
11 .87263435136430641
1.3781509343086692 0.6331
8 .72829442742515084
1.6174671548075548 0.4502
6 .5198933852503035
1.8568252464596398 0.2799
5 .50466376705114477
1.9727899014746841 0.2558
9 .38749960154371265
1.6328502677286861 0.2373
7 .33804356960980048
1.8269373267907007 0.1850
3 .27300931252094519
1.9755758642348769 0.1381
4 .11747153111497607
2.0115416961068529 0.0583
2 .010887210195374477
2.1077713335900289 0.0051
products of:
1.6753770848438221D-5 844.16208542332548
1.9846627961307499D-8
Bemerkung: wie man sieht, ergibt das Produkt der reduzierten Normen den Betrag der Determinante. Das Produkt der Ratios ergibt die HADAMARD Konditionszahl (oben nicht angeführt).
Bezüglich der gewählten Schranke in PESO („quivalent >= einem multiplen Korrelationskoeffizienten von .99499) findet PESO "relations" (HAINscher Terminus für Fast-Kollinearität), hier eine:
Table 4: Relation
1 -0.3146527856
8 0.1316158518
2
1.0000000000 9 0.0183634921
3
-0.4556784876 10 0.1700240126
4
0.1663107489 11 -0.5511173581
5
0.0554053195 12 -0.0898030079
6
-0.4653680932 13 0.3019404255
7
-0.0053392459
Praktische Probe: Multipliziert man die Originalmatrix mit diesem Vektor, ergibt sich entsprechend der gewählten Schranke eine Fast-Null. Die Beträge der Relationen sagen etwas über den Anteil, den die jeweilige Variable an der linearen Abhängigkeit hat. Man könnte die kleinsten Beträge als Eliminationsvorschläge interpretieren. Eliminiert man die Variablen 7, 9, 12 ergibt sich die Matrix:
Table 5: Reduced Matrix (7,9,12)
1 2
3 4 5 6
8 10 11 13 Multiple
correlations
1 1 .77 .67 .6
.69 .57 .5 .48 .38 .16
1.rest .99353
2 .77 1 .74 .61
.66 .59 .29 .16 .62 .07
2.rest .99906
3 .67 .74 1 .52
.72 .45 .34 .14 .22 .23
3.rest .97033
4 .6 .61 .52 1
.44 .76 .67 .29 .13 -.13 4.rest
.992
5 .69 .66 .72 .44 1
.51 .4 .47 .23 .01 5.rest
.98908
6 .57 .59 .45 .76 .51
1 .45 .25 .03 .11
6.rest .9774
8 .5 .29 .34 .67
.4 .45 1 .16 .08 -.05
8.rest .99137
10 .48 .16 .14 .29 .47
.25 .16 1 .26 .19
10.rest .99288
11 .38 .62 .22 .13 .23
.03 .08 .26 1 .29
11.rest .99609
13 .16 .07 .23 -.13 .01 .11
-.05 .19 .29 1 13.rest
.93259
Ergebnis: Die Entfernung der Vektoren 7,9,12 bewirkt eine gerade wieder positiv definite Matrix, jedoch mit vielen Fast-Kollinaritäten. Wie man sieht. haben bereits 6 multiple Korrelationskoeffizieten Werte > .99. Es ist klar, daß diese Matrix sehr schlecht konditioniert ist, wie die folgende Matrix-Analyse auch zeigt:
Table 6: Matrix analysis criteria of the reduced matrix
Or_MD_NumS_
Condit_
Determ_
HaInRatio_ R_OutIn_
K_Norm_
C_Norm
10 -1 - 4645 .000005694 1.28
D-18 330.4 1D-3(1) .043(1)
Wir versuchen nun, die indefinite Matrix mit Hilfe von THURSTONE's centroid-Methode zu "therapieren", d.h. die negativen Eigenwerte wegzubekommen, um anschließend zu prüfen, was von den Kollinearitäten übrig bleibt.
5. "Centroid-Therapie" nach THURSTONEs Centroid-Methode
Table 7: 13. RESIDUAL MATRIX
-.0016 .0114-.0200-.0169 .0098-.0123 .0093 .0171 .0092-.0069-.0159
.0047 .0133
.0114-.0020 .0341-.0002-.0168 .0206-.0246-.0054 .0014-.0275
.0087 .0055-.0326
-.0200 .0341-.0035 .0087-.0045-.0437-.0084-.0210 .0138-.0304
.0059-.0192 .0395
-.0169-.0002 .0087-.0174-.0443 .0384 .0032 .0533-.0030 .0549-.0327-.0052-.0719
.0098-.0168-.0045-.0443-.0154 .0201 .0242 .0347-.0133
.0233 .0198 .0309-.0278
-.0123 .0206-.0437 .0384 .0201-.0038-.0418-.0134 .0383-.0100-.0363-.0183-.0070
.0093-.0246-.0084 .0032 .0242-.0418-.0042-.0264-.0029-.0263
.0209-.0310 .0418
.0171-.0054-.0210 .0533 .0347-.0134-.0264-.0163-.0007-.0018
.0047-.0280 .0180
.0092 .0014 .0138-.0030-.0133 .0383-.0029-.0007-.0021-.0079-.0013
.0099-.0143
-.0069-.0275-.0304 .0549 .0233-.0100-.0263-.0018-.0079-.0103
.0254-.0347 .0155
-.0159 .0087 .0059-.0327 .0198-.0363 .0209 .0047-.0013 .0254-.0083
.0091 .0347
.0047 .0055-.0192-.0052 .0309-.0183-.0310-.0280 .0099-.0347
.0091-.0076 .0242
.0133-.0326 .0395-.0719-.0278-.0070 .0418 .0180-.0143 .0155
.0347 .0242-.0132
Jetzt wir führen eine Standardmatrixanalyse durch und entdecken zu unser völligen Überraschung, daß die "Centroid-Therapie" trotz des hohen erfolgreich negativen Eigenwertes mit ~-.07 von der Originalmatrix erfolgreich war und daß die centroid-therapierte Matrix wenigstens wieder positiv definit ist, obwohl sie immer noch sehr schlecht konditioniert, d.h. sehr numerisch instabil ist, wenn auch nicht mehr so schlimm wie vorher. Der entscheidende Vorteil ist jedoch, daß nunmehr ein klares Bild der kollinearen Struktur gewonnen werden kann.
Table 8: Centroid-cured matrix
Original input data with 2-digit-accuracy and read with 2-digit-accuracy (for control here the analyzed original matrix):
1 .76 .69 .62 .68
.58 .56 .48 .51 .49 .4 .2
.15
.76 1 .71 .61 .68
.57 .55 .3 .52 .19 .61 .3
.1
.69 .71 1 .51 .72
.49 .62 .36 .51 .17 .21 .21 .19
.62 .61 .51 1 .48
.72 .47 .62 .4 .24 .16 .58 -.06
.68 .68 .72 .48 1
.49 .63 .37 .35 .45 .21 .16 .04
.58 .57 .49 .72 .49 1
.45 .46 .43 .26 .07 .28 .12
.56 .55 .62 .47 .63 .45
1 .48 .47 .11 .24 -.02 .18
.48 .3 .36 .62 .37 .46
.48 1 .34 .16 .08 .08 -.07
.51 .52 .51 .4 .35 .43
.47 .34 1 -.06 -.01 0 -.12
.49 .19 .17 .24 .45 .26 .11
.16 -.06 1 .23 .09 .17
.4 .61 .21 .16 .21 .07
.24 .08 -.01 .23 1 .15 .26
.2 .3 .21 .58 .16
.28 -.02 .08 0 .09 .15 1
.03
.15 .1 .19 -.06 .04 .12
.18 -.07 -.12 .17 .26 .03 1
Table 9: Centroid cured matrix analysis criteria
Or_MD_NumS_
Condit_
Determ_
HaInRatio_ R_OutIn_
K_Norm_
C_Norm
13 -1 - 148.8 .00007525
0.0000007 52 .026(0) .266(0)
i.Eigenvalue Cholesky i.Eigenvalue
Cholesky i.Eigenvalue Cholesky
1. 5.64638 1
2. 1.55102 .6499
3. 1.3104 .6651
4. 1.04562 .7543
5. .87813 .634
6. .76073 .6654
7. .58635 .7248
8. .41204 .7076
9. .31787 .7784
10. .18913 .6723
11. .15321 .4617
12. .11117 .6337
13. .03795 .8032
Cholesky decomposition successful, thus the matrix is (semi) positive
definite.
Table 10: Multiple correlations of centroid cured matrix
r1.rest= .89232
r5.rest= .91033 r9.rest = .77994
r2.rest= .96400
r6.rest= .81196 r10.rest= .80758
r3.rest= .84951
r7.rest= .82456 r11.rest= .89483
r4.rest= .93215
r8.rest= .79282 r12.rest= .78257
r13.rest= .59575
6. Ergebnis der Centroid-Therapie
Die Analyse der multiplen Korrelationskoeffizienten von der "centroid-kurierten" Matrix zeigt ganz klar, daß die starken kollinearen Strukturen der originalen indefiniten Matrix verschwunden sind. Dies bedeutet ohne Zweifel, daß die oben zunächst aufgestellte Kollinearitäts- Hypothese nicht bestätigt werden kann. Dies unterstreicht die Wichtigkeit von Therapiemethoden, und zeigt wie indefinitie Korrelationsmatrizen kollineare Strukturen simulieren, die in Wirklichkeit nicht aufrechterhalten werden können. Die Bedeutung der Thurstone'schen Centroid Faktorenanalyse als eine wirkungsvolle Therapie-Methode für indefinite Korrelationsmatrizen wird hier sehr deutlich. Auch wenn sie nicht immer so gut wie die Methode von KNOL & BERGE sein mag, so ist ist die doch sehr einfach und schnell.
21.12.2006. Ergänzende Relativierung zur Interpretierbarkeit
der indefiniten und damit Pseudokorrelationsmatrix
Es bestehen inzwischen große Zweifel, ob die indefinite Pseudokorrleationsmatrix
interpretationsfähig ist.
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Glossar, Anmerkungen und Endnoten
GIPT= General and Integrative Psychotherapy, internationale Bezeichnung für Allgemeine und Integrative Psychotherapie.
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FN01 Sponsel, Rudolf & Hain, Bernhard (1994). Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie. Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology. Deutsch-Englisch. Übersetzt von Agnes Mehl. Kapitel 6 von Dr. Bernhard Hain: Bemerkungen über Korrelationsmatrizen. Erlangen: IEC-Verlag [ISSN-0944-5072 ISBN 3-923389-03-5]. Aktueller Preis: www.iec-verlag.de.
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21.12.06 Ergänzende Relativierung zur Interpretierbarkeit der indefiniten und damit Pseudokorrelationsmatrix.
12.09.04 Link zur Attenuitäts-Korrektur.
29.04.04 Links zur Thurstone-Fachbiographie und zu einer extrem entgleisten Matrix einer Schülerin von ihm.
Standort: Kollinearitätsanalyse und Therapie der indefiniten Spearman- & Hart- Matrix (1913).
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Numerisch instabile Korrelations-Matrizen bei Spearman (Analyse von 38 Korrelationsmatrizen).
Für NichtmethodikerInnen: worauf kommt es an bei Korrelationsmatrizen.
Für professionell Interessierte: Abkürzungen, Definition, Erklärung und Bedeutung zur
Standard- (Korrelations)- Matrix- Analyse (SMA).
Gesamtzusammenfassung: "Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie".
Hintergrund und Entstehungsgeschichte der Arbeit "Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie".
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site:www.sgipt.org
z.B. Numerisch instabile Matrizen site:www.sgipt.org. * Spearman site:www.sgipt.org |
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Sponsel, Rudolf (DAS). Kollinearitätsanalyse und Therapie der indefiniten Spearman- & Hart- Matrix (1913). Aus der Abteilung Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie - Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology - Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie. IP-GIPT. Erlangen: https://www.sgipt.org/wisms/nis/sma/speahartd.htm
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