Internet Publikation für Allgemeine und Integrative Psychotherapie
(ISSN 1430-6972)
IP-GIPT DAS=05.11.2002 Internet-Erstausgabe, letzte Änderung: 19.01.20
Impressum Diplom-PsychologInnen Irmgard Rathsmann-Sponsel und Dr. phil. Rudolf Sponsel
Stubenlohstr. 20 D-91052 Erlangen * Mail: sekretariat@sgipt.org
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Willkommen in der Abteilung Wissenschaftstheorie, Methodologie und Statistisch-Mathematische Methoden in der Allgemeinen und Integrativen Psychologie, Psychodiagnostik und Psychotherapie, hier:Die ersten 30 der 1500 Versuche mit zufällig normalverteilter Fehlerspannweite von 1% bezüglich der definierten wahren Werte des Quaders zur explorativen Untersuchung des Verhaltens der Eigenwerte und Faktoren
Materialien und Dokumente zur Kritik der Handhabung der Faktorenanalyse.
von Rudolf Sponsel, Erlangen
Überblicks- und Verteilerseite zu diesen Versuchen
- Beschreibung dieser Versuchsserie: Was wurde gemacht?
- Vollständiges Beispiel aus dieser Versuchsserie, hier F01v15
- Urdatenliste dieses Versuchsserien Beispiels F01v15
- Standard-Matrixanalyse der Korrelationsmatrix des Beispiels
- Die drei Hauptfaktoren und Rückrechnung der Reproduktionsmatrix des Beispiels mit Residualanalysen der Original-Korrelationmatrix mit aus allen 8 und 3-Faktoren rückgerechneten Koeffizienten des Beispiels
- Reproduktionen der Originalkorrelationsmatrix aus den drei konstituierenden Faktoren des Quaders der ersten 30 Fehlerversuche
- Statistik der Eigenwerte der ersten dreißig Fehlerversuche (WW+- 0,5%)
Beschreibung dieser Versuchsserie: Was wurde gemacht ?
Ausgehend von den wahren Werten der Ausgangsbasis wurden für jeden der 800 Werte - 100 Quader- 'ProbandInnen' mit insgesamt 8, davon drei unabhängigen und 5 linear abhängigen Variablen - mit dem Zufallsgenerator von Jörn Wilms zufällig normalverteilte Fehlerwerte für die Fehlerspannweite WW +- 0,5% für die 30 verschiedenen Ziehungen erzeugt aus denen eine Versuchsserie besteht. Dann wurden die 30 Produkt-Moment-Korrelationsmatrizen berechnet. Anschließend wurden die 30 Korrelationsmatrizen einer Standardmatrix-Analyse (Sponsel 1994) unterzogen und hierbei die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet. Hieraus wurden die Faktoren nach Cooley & Lohnes der Hauptkomponentenmethode berechnet. Sofern kollinearitäts- und rundungsbedingt 'kleine' negative Eigenwerte auftraten, wurden diese 0 gesetzt. Anschließend wurden aus den Faktoren, einmal aus allen 8, einmal aus den ersten 3 Faktoren Reproduktionsmatrizen erstellt und die Mittelwerte und Standardabweichungen der Abweichungen nach einer Residualanalysemethode von der Originalkorrelationsmatrix auf der Basis 17stelliger Genauigkeit berechnet. Wie die Mathematik erwarten läßt, gelingt die Reproduktion der Originalkorrelationsmatrix mit allen 8 Faktoren fast - weil zwei negative Eigenwerte 0 gesetzt wurden - vollständig und die aus den ersten drei Faktoren in Abhängigkeit von der Fehlerspanne nur mehr oder minder angenähert. Sinn dieser 1500 Eigenwert-, Faktoren- und Residualanalysen ist, Aufschlüsse darüber zu erhalten, wie sich die Eigenwerte, Faktorenanalysen und Reproduktionsgüten in Abhängigkeit von den Fehlerspannweiten verhalten und entwickeln. Es wurde bewußt ein Quader gewählt, weil dieser unserer dreidimensionalen Anschauung sehr zugänglich ist und weil wir jeden Wert und jede Veränderung ganz genau kennen und dokumentieren können.
Anmerkung 5.11.2, 17.30: Die unten folgenden Vermutungen sind vermutlich ;-) falsch
Zu meiner großen Überraschung ändert sich die Eigenwertstruktur und die Reproduktionsgüte auch bei Vorgabe zufällig normalverteilter Fehlerspannen um selbst sage und schreibe 50% nur wenig (siehe bitte Anlage). Das hieße: Eigenwertstruktur und Reproduktionsgüte sind bis zu 50% Fehlerspannweiten weitgehend invariant. Die großen Eigenwerte werden zwar etwas kleiner und die kleinen ein bißchen größer, aber zu meiner völligen Überraschung nur ziemlich wenig. Und an der Reproduktionsgüte ändert sich auch nichts.
Anmerkung 7.11.2: Wenn es stimmen würde, daß sich die Korrelationsmatrix,- Eigenwertstruktur und damit die Reproduktionsgüte durch drei Faktoren bei zufällig normalverteilten Fehlerspannen selbst bis zu 100% in den Rohdaten kaum ändert, wäre dies eine kleine methodische Sensation. Bedeutete es doch, daß bei solchen Rohdaten- und Matrizen-Strukturen vom Typ Quader eine einzige Erhebung, also ein Stichprobenumfang von N=1 genügte. Die empirische Sozialforschung hätte ein einfaches und mächtiges Instrument, gesetzesartige Beziehungen in Datenstrukturen aufzuspüren: Eigenwerte 'nahe' 0, die von individuellen Fehlern, sofern diese sich zufällig normal verteilen und die Stichprobe entsprechend groß ist, weitgehend unabhängig wäre. Wenn es stimmen würde ...
(1a) Mit zunehmenden zufällig normalverteilten Fehlern um die wahren Werte herum werden in den Korrelationsmatrizen die größten Eigenwerte kleiner und (1b) die kleinsten Eigenwerte größer werden, sich also aufeinander zu bewegen. (1c) Der Graph der Eigenwertverläufe nähernd sich einer Geraden von links oben nach rechts unten, die mit zunehmenden Zufallswerten sich immer mehr in Richtung einer Waagrechten (Einheitsmatrix) dreht und nähert. (2) Die Reproduktionsgüte der aus drei Faktoren rückgerechneten Korrelationsmatrizen wird mit zunehmenden zufällig normalverteilten Fehlern immer schlechter und nimmt kontinuierlich ab. Fragen:
Gibt es Deutungsregeln - relativ zu bestimmten Fehlerannahmen - für die Anzahl von Faktoren, die eine Korrelationsmatrix erzeugen können? Was läßt sich aus diesem Versuch ableiten, falls sich die Vermutungen bestätigen? Entsprechen die Vermutungen, falls sie sich bestätigen, schon existierenden Sätzen oder lassen sich solche beweisen? Welche Folgerungen ergeben sich für die Praxis der Faktorenanalysen (Hauptkomponentenmethode) aus dem Versuch 'Typ Quader'?
Vollständiges Beispiel aus dieser Versuchsserie, hier F01v15
Hier die Roh- bzw. Urdatenliste des 15. von 30 Versuchen mit einer zufällig normalverteilten Fehlerspanne von 1% bezüglich der "wahrenWert"-Basisdaten:
i\j: 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1.002 94.261 62.105 5807.3 11958 94 62 5826.3
2 2 64.8 70.9 9235.9 9777.2 130.38 141.88 4606.7
3 3 19 39.1 2217.2 1823.5 56.9 117.03 741.71
4 4.01 70.21 92.02 25812 14159 279.97 369.36 6453.9
5 5 84.8 8 3404.8 2289.6 424.91 39.98 679
6 6.01 97.38 72.94 42379 16185 581.63 438.6 7088.5
7 7 46.1 45 14478 5423.8 323 314.78 2063.8
8 8 19 75.1 11394 4356.3 151.98 601.38 1425.1
9 9 13 85.9 10067 4010.3 116.97 772.67 1118
10 10 58.3 39 22605 6459 580.63 390.29 2261.3
11 11 13 71 10145 3695 142.94 780.37 923.43
12 12 1 59.02 707.72 1555.3 12 707.99 59.05
13 12.98 41 72.96 38849 8970.2 532.58 948.97 2994.9
14 14 32 20 8941.6 2744.5 448.61 279.71 641.03
15 14.99 82.11 34.07 41857 9041.1 1229.2 510.32 2782.9
16 16 19 29.1 8807.4 2637.1 303.62 464.96 549.52
17 17.03 97.03 56.89 94073 16276 1651.5 969.31 5527
18 18 72 53 68629 12139 1297.2 953.76 3815.4
19 19 87.2 43.1 71214 12405 1651.8 816.77 3744.3
20 20 78.9 37.9 60190 10673 1578.4 761.71 2995.3
21 21 54 48.9 55571 9634.6 1132.3 1026.9 2648.5
22 22 82 19 34284 7564.9 1800.9 417.39 1558.7
23 23 40 55 50636 8741.9 918.89 1262.8 2201.4
24 24.1 74 73 129627 17839 1771.3 1751.4 5402.2
25 24.9 78.8 49.9 98780 14319 1975.5 1249.6 3949
26 26.1 80 40.1 83340 12650 2081.6 1039.2 3202.1
27 27 46 2 2478.3 2772.3 1243.8 54.1 92
28 28.1 53.2 42 62373 9793.2 1485.4 1174.5 2228.1
29 29 32 52.1 48191 8229.2 927.31 1506.7 1662.5
30 30.1 36 80 86524 12681 1081 2400.3 2879.3
31 31 78 79 190572 22048 2415.4 2450.5 6172.5
32 32.1 63.9 68 139546 17134 2052.2 2174.6 4348.4
33 33 44 12 17401 4753.2 1452.9 396.44 526.3
34 34.01 59.86 66.99 136720 16675 2046 2275.8 4021.5
35 34.9 6 90.8 19112 7874.6 209.92 3186.5 544.8
36 36.15 58.05 26.05 54328 9045.5 2083.4 936.15 1509.4
37 37 92.1 27 91955 13780 3401.3 999.79 2484.4
38 38 16 25 15173 3921.2 608.92 951.68 399.9
39 38.97 71.92 9.01 25254 7594.7 2801.3 351.23 648.97
40 40.04 66.85 48.03 128940 15669 2678.4 1919 3220
41 41.1 51.9 31 66038 10009 2127.4 1270.5 1611.8
42 42 34 46.1 65603 9827.8 1430.1 1931 1562.9
43 43 15 6 3874.2 1986.1 643.22 258.32 90.08
44 44.02 75.92 14.01 46792 10042 3347 617.43 1064.7
45 45 95.2 99.9 427292 36522 4285.2 4498.1 9490.2
46 46 97.9 74.9 338186 30631 4507.1 3444 7337.5
47 47 74.9 40 141067 16783 3520.5 1878.7 2999.8
48 47.9 25 20.9 25144 5458.2 1197.1 1009.6 525.53
49 49.05 46.93 37.91 87474 11911 2292 1862.3 1789.2
50 50.1 90.7 12 54668 12467 4554.9 601.08 1089
51 51 83.9 85 364668 31535 4291.3 4342.1 7138
52 51.9 49 53.9 137560 16036 2553 2813.5 2643.1
53 53 92.1 20 97545 15539 4881.7 1059.8 1833.9
54 53.9 43.1 8 18506 6180.7 2324.1 431.56 344.45
55 54.97 96.16 67.97 358028 31181 5280.3 3736.2 6533.4
56 55.9 86.8 64 312586 28129 4853.2 3587.3 5572.9
57 57.2 64 66.9 244128 23495 3652.3 3830.1 4293.5
58 57.9 98.2 84 476863 37485 5696.7 4876.7 8212
59 59 90.2 25 132714 18054 5308 1474.9 2257.2
60 60 9 12 6474.6 2739.7 540.14 719.71 107.83
61 61.04 36 64.25 140295 16778 2202 3900 2300.3
62 61.8 55 26.1 88588 12905 3411.7 1614.3 1435.6
63 63 82.9 22 115216 16920 5239.9 1386.9 1826.7
64 64.1 60.1 89.1 341717 29829 3846.8 5695.6 5330.9
65 64.9 54 23 80869 12486 3508.5 1494.8 1242.5
66 65.9 36 38 90163 12504 2371.4 2513.9 1371.8
67 66.8 13 19.9 17420 4947.3 873.86 1340.3 261.05
68 68.13 77.91 68.87 366218 30667 5297.2 4691.9 5383.1
69 69 80.2 83.9 465109 36051 5540.8 5792.6 6725
70 70.1 46 45 144616 16850 3224.8 3155 2075.4
71 70.9 38 81.8 220980 23282 2696 5851.7 3115.8
72 72.1 4 69 19868 11057 288.53 4985.8 275.49
73 73.12 52.16 38.02 144392 17083 3784.6 2767.8 1975.8
74 73.9 60.8 66.9 302510 27046 4501.4 4950.5 4083.9
75 75.1 81.8 96 590505 42516 6151.2 7227.3 7890.8
76 75.8 7 94.9 50512 16819 531.24 7221.7 663.89
77 76.77 78.93 46.12 280432 26476 6082.3 3538.2 3625.6
78 77.9 12 21 19617 5654.4 934.68 1639.1 251.86
79 78.81 40 99.99 316493 30173 3163.6 7886.5 3997.5
80 80.1 51 100.13 406431 34264 4082.6 8014.4 5095.8
81 80.8 4 23 7432.8 4551.3 323.92 1868.2 92.1
82 82.2 56 51.9 239026 23526 4581.4 4268.8 2912.1
83 82.8 79.1 97.9 643793 44892 6578.4 8142.2 7727.7
84 83.8 75.1 60 377556 31700 6301.5 5037 4502.6
85 85.2 3 17 4337.9 3495.4 254.42 1445.2 51.1
86 86 72 32 198185 22461 6194.7 2738 2311.7
87 86.9 95.9 41 341718 31779 8340.5 3565.5 3950.4
88 87.8 31 77.2 209874 23750 2727.5 6754.6 2383.2
89 89 64.9 13 75375 15595 5774.5 1156.6 847.06
90 89.91 41.98 92.9 350988 32152 3771 8375.6 3901.6
91 90.8 54.2 69 338937 29842 4936.6 6278.7 3719.1
92 91.9 9 2 1655.5 2066.8 828.14 184.53 18.05
93 93.15 52.8 98.75 487695 38894 4920.9 9222.9 5238
94 94 24 23 51729 9931.7 2258.5 2165.5 552.32
95 95.24 46.94 24.99 111586 15983 4476.2 2372.3 1176.4
96 96.4 1 59 5668.7 11672 96 5646.9 58.9
97 97.2 97.2 85 798026 51605 9436.7 8254.1 8241.1
98 98.2 92.1 64.8 586018 42723 8983 6383.5 5963.7
99 98.9 27 72 192732 23528 2669.3 7143.8 1946.4
100 99.7 46.8 83.6 395614 34236 4693.8 8371.4 3947[Interne Quellen: 30.10.2002 fuer Batchbetrieb Kor fuer Quaderversuch
Daten von C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\URDAT\BASIS\QF01\QF01v15
Dateiname = C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\URDAT\BASIS\QF01v15\KOR\QF01v15.DAN
Korrelation in C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\URDAT\BASIS\QF01v15\KOR\.d08
Auswertung vom 11/03/02 19:20:20]
Standard-Matrixanalyse der Korrelationsmatrix dieses Beispiels F01v15
Abstract/ Zusammenfassung Analyse Korrelationsmatrix für 1% Fehlerspanne
Die Korrelationsmatrix ist kollinearitäts- und rundungsbedingt indefinit und produziert zwei negative Eigenwerte, die, falls man die Matrix so belassen würde, bei multivariater Weiterverarbeitung zu extremen Entgleisungen führen kann und hier auch führt.
Man wird nach der Konstruktion des Beispiels bei nur einem Prozent Fehler drei konstituierend erschöpfende Faktoren erwarten, aus denen sich die ursprüngliche Korrelationsmatrix noch gut reproduzieren lassen sollte. Die ersten drei Eigenwerte schöpfen in der Tat 96,99% der Spur aus. Das heißt praktisch, daß für den Typ Quader bei drei unabhängigen und fünf abhängigen Variablen 1% zufällig normalverteilte Fehlerstreuung der 800 einzelnen Werte die Reproduktionsgüte der Originalmatrix kaum beeinträchtigt.Samp _Ord_ MD_ NumS_ Condition_ Determinant_ HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
100 8 0 --2 1023.7 2.53D-7 3.87D -9 41143 .004(2) -1(-1)
Informationen zur Matrixanalyse: Numerische Laien hier und Professionell Interessierte hier Weitere Querverweise ********** Summary of standard correlation matrix analysis ***********
File = QF01v15.d08 N-order= 8 N-sample= 100 Rank= 8 Missing data = 0
Positiv Definit=Cholesky successful________= No with 2 negat. eigenvalue/s
HEVA: Highest eigenvalue abs.value_________= 5.0893332885406001
LEVA: Lowest eigenvalue absolute value_____= 4.9713182102527299D-3
CON: Condition number HEVA/LEVA___________~= 1023.7391921612418
DET: Determinant original matrix (OMIKRON)_= 2.5265761423995924D-7
DET: Determinant (CHOLESKY-Diagonal^2)_____= -999 (not positive definit)
DET: Determinant (PESO-CHOLESKY)___________= -999 (not positive definit)
DET: Determinant (product eigenvalues)_____= 2.5265761423995954D-7
DET: Determ.abs.val.(PESO prod.red.norms)__= 2.5265761423995924D-7
HAC: HADAMARD condition number_____________= 1.5505738638769905D-9
HCN: Heuristic condition |DET|CON__________= 2.4679880986735238D-10
D_I: Determinant Inverse absolute value____= 3957925
HDA: HADAMARD Inequality absolute value___<= 1.020414242002718D+15
HIR: HADAMARD RATIO: D_I / HDA ____________= 3.878743828731901D-9
There are only negative inverse diagonal values (extremely pathological)
Maximum range (upp-low) multip-r( 7.rest)_= .1
LES: Numerical stability analysis:
Ratio maximum range output / input _______= 41142.886025022914
PESO-Analysis correlation least Ratio RN/ON= 4.043D-3 (<-> Angle = .23 )
Number of Ratios correlation RN/ON < .01__ = 2
PESO-Analysis Cholesky least Ratio RN/ON__ = (Not positiv definit)Ncor L1-Norm L2-Norm Max Min m|c| M|c| N_comp s-S S-S
64 39.4 5.44 1 -.098 .561 .266 378 .301 .237class boundaries and distribution of the correlation coefficients
-1 -.8 -.6 -.4 -.2 0 .2 .4 .6 .8 1
0 0 0 0 2 8 2 14 18 20Original data with 17, input read with 17, computet with 19,
and showed with 3 digit accuracy
(for control here the analysed original matrix):1 -.098 .1 .552 .567 .633 .722 .053
-.098 1 .122 .479 .542 .614 .057 .713
.1 .122 1 .605 .662 .21 .703 .705
.552 .479 .605 1 .981 .844 .823 .778
.567 .542 .662 .981 1 .849 .848 .819
.633 .614 .21 .844 .849 1 .586 .546
.722 .057 .703 .823 .848 .586 1 .488
.053 .713 .705 .778 .819 .546 .488 1i.Eigenvalue Cholesky i.Eigenvalue Cholesky i.Eigenvalue Cholesky
1. 5.08933 1 2. 1.53198 .9952 3. 1.13752 .9861
4. .10671 .4153 5. .09098 -.0108 6. .05854 -.6484
7. -4.97D-3 -1.0029 8. -.01008 -1.1288
The matrix is not positive definit. Cholesky decomposition is not success-Eigenwerte in Prozentanteilen von der Spur = 8
1 .6362 2 .1915 3 .1422 4 .0133 5 .0114 6 7.3D-3
7 -6D-4 8 -1.3D-3[Intern: analysed: 11/03/02 21:38:40 PRG version 30.10.2002 MABAT9q.BAS
File = C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\QF\QF01v15\QF01v15.SMA
with data from C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\QF\QF01v15\QF01v15.d08]
Die drei Hauptfaktoren und Rückrechnung der Reproduktionsmatrix dieses Beispiels F01v15 mit Residualanalysen zur Original-Korrelationmatrix mit aus allen 8 und 3-Faktoren rückgerechneten Koeffizienten
Kleine negative Eigenwerte wurden 0 gesetzt. Diese Veränderung führt in einigen Fällen auch zu etwas größeren Diagonalwerten 8Maximum 1.007 - was die numerische Stabilität erhöht).
Matrix F01v15 der 8 Faktoren nach VEK * EIW^1/2:
.564 -.739 -.311 -.171 .077 -.062 0 0
.534 .724 -.397 -.138 -.113 .043 0 0
.665 .069 .728 -.012 -.097 -.119 0 0
.976 -.03 -.028 .178 .09 .082 0 0
1.004 2D-3 -8D-3 -3D-3 -1D-3 7D-3 0 0
.841 -.031 -.505 .133 -.081 -.114 0 0
.844 -.445 .242 -.051 -.11 .136 0 0
.815 .507 .196 -.077 .19 -.019 0 0Transponierte der 8 Faktoren:
.564 .534 .665 .976 1.004 .841 .844 .815
-.739 .724 .069 -.03 2D-3 -.031 -.445 .507
-.311 -.397 .728 -.028 -8D-3 -.505 .242 .196
-.171 -.138 -.012 .178 -3D-3 .133 -.051 -.077
.077 -.113 -.097 .09 -1D-3 -.081 -.11 .19
-.062 .043 -.119 .082 7D-3 -.114 .136 -.019
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0Reproduktionsmatrix F01v15 aus allen 8 Faktoren:
1 -.098 .1 .553 .567 .633 .721 .053
-.098 1.001 .123 .48 .541 .613 .057 .712
.1 .123 1 .606 .662 .21 .702 .704
.553 .48 .606 1.002 .98 .844 .822 .777
.567 .541 .662 .98 1.007 .847 .845 .817
.633 .613 .21 .844 .847 1.001 .588 .547
.721 .057 .702 .822 .845 .588 1.002 .489
.053 .712 .704 .777 .817 .547 .489 1.002Residualanalyse Original-Korrelationen und aus 8 Faktoren reproduzierte:
0 0 0 1D-3 1D-3 0 0 0
0 1D-3 1D-3 1D-3 1D-3 0 0 1D-3
0 1D-3 0 1D-3 1D-3 0 0 0
1D-3 1D-3 1D-3 2D-3 1D-3 1D-3 1D-3 1D-3
1D-3 1D-3 1D-3 1D-3 7D-3 2D-3 2D-3 2D-3
0 0 0 1D-3 2D-3 1D-3 2D-3 1D-3
0 0 0 1D-3 2D-3 2D-3 2D-3 2D-3
0 1D-3 0 1D-3 2D-3 1D-3 2D-3 2D-3Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = 0.0010059539771319653
Standardabweichung der abs. Abweichungen = 0.00098124697123848234
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = 0.0074001597588552064Reproduktionsmatrix F01v15 aus 3 Faktoren:
.961 -.11 .098 .581 .567 .655 .729 .024
-.11 .967 .116 .511 .54 .628 .032 .724
.098 .116 .977 .627 .662 .19 .707 .719
.581 .511 .627 .955 .98 .837 .83 .775
.567 .54 .662 .98 1.007 .848 .844 .817
.655 .628 .19 .837 .848 .964 .601 .571
.729 .032 .707 .83 .844 .601 .969 .509
.024 .724 .719 .775 .817 .571 .509 .959Residualanalyse Original-Korrelationen und aus 3 Faktoren reproduzierte F01v15 :
.039 .012 2D-3 .03 0 .022 8D-3 .029
.012 .033 7D-3 .032 1D-3 .014 .026 .011
2D-3 7D-3 .023 .021 0 .02 4D-3 .015
.03 .032 .021 .045 1D-3 8D-3 7D-3 3D-3
0 1D-3 0 1D-3 7D-3 1D-3 4D-3 2D-3
.022 .014 .02 8D-3 1D-3 .036 .015 .025
8D-3 .026 4D-3 7D-3 4D-3 .015 .031 .021
.029 .011 .015 3D-3 2D-3 .025 .021 .041Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .01464755082576522
Standardabweichung der abs. Abweichungen = .012174247662280004
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045260272791781692Summary/Abstract/Zusammenfassung der Rückrechnung des Beispiels F01v15
Die Matrix ist kollinearitäts- und rundungsfehler bedingt nicht positiv semi-definit, sondern indefinit, enthält also negative Eigenwerte, die bei der Rückrechnung 0 gesetzt werden, weil nach der von Cooley und Lohnes beschriebenen Methode - und wie es auch für positiv semidefinite symmetrische Korrelationsmatrizen gilt - keine Wurzeln aus negativen Eigenwerten gezogen werden können. Somit muß die Matrix zunächst in Ordnung gebracht, d.h. die negativen Eigenwerte beseitigt werden. Bei kleinen Eigenwerten und für den Forschungszweck hier genügt es, die negativen Eigenwerte 0 zu setzen. Das ist für Faktorenanalysen nach der Hauptkomponentenmethode auch notwendig, weil sich sonst die Faktoren gar nicht berechnen lassen. 0-Setzen der negativen Eigenwerte hat hier, wie man sieht, nicht unerhebliche numerische Auswirkungen. Einige Diagonalwerte haben Werte über 1 (was die numerische Stabilität gewöhnlich erhöht). Die Reduktion auf drei Faktoren ist nach dem Quadermodell mit den drei unabhängigen Parametern Länge, Breite und Höhe klar und wird durch die Rückrechnung konstruktionsbedingt erwartungsgemäß auch bestätigt. Der 1%ige konstruierte und zufällig normal verteilte Fehler hat auf die Reproduktionsgüte keine nennenswerten Auswirkungen. Eine Übersicht der Ergebnisse für die Reproduktionsgüte bei den 30 Versuchen erfolgt unten. [Interne Quellen: Faktoren in C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\QF\QF01v15\FAK\QF01v15.PFA
als 1-zeiliger Spaltenvektor in C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\QF\QF01v15\FAK\QF01v15.FAK
Vektordaten von C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\QF\QF01v15\QF01v15.VEK
Negative Eigenwerte wurden 0 gesetzt:
Eigenwerte von C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\QF\QF01v15\QF01v15.EDI]
Reproduktionen der Originalkorrelationsmatrix aus den drei konstituierenden Faktoren des Quaders
Bemerkung: Kleine negative Eigenwerte - eine Folge der Kollinearität im Zusammenhang mit Rundungsfehlern - wurden 0 gesetzt, sonst wäre die Haupkomponentenmethode weder regulär noch durchführbar gewesen. Auf kompliziertere "Therapien" der neativen Eigenwerte wurde hier verzichtet. Zur Methode der Residualbestimmung
Reproduktionsmatrix F01v01 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
.957 -.111 .097 .576 .562 .65 .725 .021
-.111 .962 .111 .507 .536 .624 .03 .718
.097 .111 .973 .622 .657 .186 .703 .715
.576 .507 .622 .947 .972 .83 .823 .768
.562 .536 .657 .972 .999 .841 .837 .81
.65 .624 .186 .830 .841 .958 .595 .565
.725 .03 .703 .823 .837 .595 .962 .504
.021 .718 .715 .768 .81 .565 .504 .953
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .01589774069535565
Standardabweichung der abs. Abweichungen = .013680463182332531
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .052973513478267075Reproduktionsmatrix F01v02 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
.962 -.108 .099 .582 .567 .655 .73 .025
-.108 .967 .115 .511 .541 .629 .032 .724
.099 .115 .977 .627 .663 .19 .707 .72
.582 .511 .627 .955 .98 .836 .83 .775
.567 .541 .663 .98 1.007 .848 .844 .818
.655 .629 .190 .836 .848 .964 .601 .571
.73 .032 .707 .83 .844 .601 .969 .509
.025 .724 .72 .775 .818 .571 .509 .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .014643298217053267
Standardabweichung der abs. Abweichungen = .012158470803040904
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045364889594035219Reproduktionsmatrix F01v03 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
.962 -.111 .098 .581 .566 .654 .729 .024
-.111 .967 .115 .511 .541 .627 .032 .723
.098 .115 .977 .627 .663 .19 .707 .719
.581 .511 .627 .955 .98 .836 .83 .775
.566 .541 .663 .98 1.007 .848 .843 .818
.654 .627 .190 .836 .848 .964 .601 .571
.729 .032 .707 .83 .843 .601 .969 .51
.024 .723 .719 .775 .818 .571 .51 .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .014685368816139805
Standardabweichung der abs. Abweichungen = .012196328870239586
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045484651993755707Reproduktionsmatrix F01v04 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
.962 -.109 .099 .581 .567 .655 .73 .024
-.109 .967 .115 .511 .541 .628 .032 .723
.099 .115 .977 .628 .663 .191 .707 .72
.581 .511 .628 .955 .98 .836 .83 .775
.567 .541 .663 .98 1.007 .848 .844 .818
.655 .628 .191 .836 .848 .964 .601 .571
.73 .032 .707 .83 .844 .601 .969 .509
.024 .723 .72 .775 .818 .571 .509 .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .014654810621446411
Standardabweichung der abs. Abweichungen = .012174962740053994
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045458335693507443Reproduktionsmatrix F01v05 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
.962 -.11 .099 .581 .567 .655 .729 .023
-.11 .966 .114 .51 .54 .628 .031 .723
.099 .114 .977 .627 .663 .19 .708 .719
.581 .51 .627 .955 .98 .836 .829 .775
.567 .54 .663 .98 1.007 .848 .843 .817
.655 .628 .190 .836 .848 .964 .600 .570
.729 .031 .708 .829 .843 .600 .968 .509
.023 .723 .719 .775 .817 .57 .509 .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .014698090716662083
Standardabweichung der abs. Abweichungen = .012193022510336063
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045438928071815814Reproduktionsmatrix F01v06 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
.961 -.111 .099 .581 .566 .654 .73 .024
-.111 .966 .115 .511 .541 .628 .031 .723
.099 .115 .977 .627 .662 .19 .707 .72
.581 .511 .627 .955 .98 .836 .83 .775
.566 .541 .662 .98 1.007 .848 .843 .818
.654 .628 .19 .836 .848 .964 .6 .57
.73 .031 .707 .83 .843 .6 .968 .509
.024 .723 .72 .775 .818 .57 .509 .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .014709094347904534
Standardabweichung der abs. Abweichungen = .012212463863763782
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045344884825475225Reproduktionsmatrix F01v07 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
.962 -.111 .099 .581 .566 .654 .73 .024
-.111 .966 .114 .51 .54 .628 .031 .723
.099 .114 .977 .627 .662 .19 .707 .719
.581 .51 .627 .955 .98 .836 .83 .775
.566 .54 .662 .98 1.007 .848 .843 .817
.654 .628 .19 .836 .848 .964 .601 .57
.73 .031 .707 .83 .843 .601 .969 .509
.024 .723 .719 .775 .817 .57 .509 .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .014683460966685695
Standardabweichung der abs. Abweichungen = .012200092353692947
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .04519599103854392Reproduktionsmatrix F01v08 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
.962 -.11 .098 .58 .566 .654 .729 .023
-.11 .966 .115 .511 .54 .628 .032 .723
.098 .115 .977 .627 .663 .19 .707 .72
.58 .511 .627 .955 .98 .836 .83 .775
.566 .54 .663 .98 1.007 .848 .844 .818
.654 .628 .19 .836 .848 .964 .601 .57
.729 .032 .707 .83 .844 .601 .969 .509
.023 .723 .72 .775 .818 .57 .509 .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .014689242938650962
Standardabweichung der abs. Abweichungen = .012202389248656606
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045486714700507218Reproduktionsmatrix F01v09 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
.961 -.11 .098 .581 .566 .654 .729 .023
-.11 .967 .115 .511 .541 .628 .032 .724
.098 .115 .977 .627 .663 .19 .707 .719
.581 .511 .627 .955 .98 .836 .83 .774
.566 .541 .663 .98 1.007 .848 .844 .817
.654 .628 .19 .836 .848 .964 .601 .57
.729 .032 .707 .83 .844 .601 .968 .509
.023 .724 .719 .774 .817 .57 .509 .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .014688437855688297
Standardabweichung der abs. Abweichungen = .012216815699217692
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045463609752691607Reproduktionsmatrix F01v10 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
.962 -.11 .099 .581 .566 .654 .73 .024
-.11 .966 .115 .511 .541 .628 .031 .723
.099 .115 .977 .627 .663 .19 .707 .72
.581 .511 .627 .955 .98 .836 .83 .775
.566 .541 .663 .98 1.007 .848 .843 .818
.654 .628 .19 .836 .848 .964 .601 .571
.73 .031 .707 .83 .843 .601 .968 .509
.024 .723 .72 .775 .818 .571 .509 .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .014688264162048481
Standardabweichung der abs. Abweichungen = .012194338576653615
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045278228304989434Reproduktionsmatrix F01v11 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
.961 -.11 .1 .581 .567 .654 .73 .024
-.11 .967 .116 .511 .541 .628 .032 .723
.1 .116 .977 .628 .663 .19 .708 .72
.581 .511 .628 .955 .98 .836 .83 .775
.567 .541 .663 .98 1.007 .848 .844 .817
.654 .628 .190 .836 .848 .964 .600 .570
.73 .032 .708 .83 .844 .6 .969 .509
.024 .723 .72 .775 .817 .57 .509 .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .014676994359495645
Standardabweichung der abs. Abweichungen = .012200609995707886
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045380966642959496Reproduktionsmatrix F01v12 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
.962 -.109 .099 .582 .567 .655 .73 .025
-.109 .967 .115 .511 .541 .628 .032 .723
.099 .115 .977 .627 .662 .19 .707 .72
.582 .511 .627 .955 .98 .836 .83 .775
.567 .541 .662 .980 1.007 .848 .843 .817
.655 .628 .190 .836 .848 .964 .600 .571
.73 .032 .707 .83 .843 .6 .968 .509
.025 .723 .72 .775 .817 .571 .509 .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .014650699980989179
Standardabweichung der abs. Abweichungen = .012183509693668288
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045358594304564557Reproduktionsmatrix F01v13 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
.962 -.109 .1 .582 .568 .655 .73 .025
-.109 .967 .115 .512 .541 .629 .032 .724
.1 .115 .977 .627 .662 .19 .708 .719
.582 .512 .627 .955 .98 .836 .83 .775
.568 .541 .662 .98 1.007 .848 .844 .817
.655 .629 .190 .836 .848 .964 .601 .571
.73 .032 .708 .83 .844 .601 .969 .509
.025 .724 .719 .775 .817 .571 .509 .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .014633326768451333
Standardabweichung der abs. Abweichungen = .012162824549033173
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045305799367242716Reproduktionsmatrix F01v14 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
.962 -.109 .099 .581 .566 .654 .729 .023
-.109 .966 .114 .511 .54 .628 .031 .723
.099 .114 .977 .628 .663 .191 .708 .72
.581 .511 .628 .954 .98 .836 .83 .774
.566 .54 .663 .98 1.007 .848 .843 .817
.654 .628 .191 .836 .848 .964 .600 .570
.729 .031 .708 .83 .843 .6 .968 .508
.023 .723 .72 .774 .817 .57 .508 .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .014681151885433884
Standardabweichung der abs. Abweichungen = .012225338916371458
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045567217240725023Reproduktionsmatrix F01v15 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
Dieser Versuch ist oben vollständig dokumentiert.
.961 -.11 .098 .581 .567 .655 .729 .024
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Standardabweichung der abs. Abweichungen = .012174247662280004
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045260272791781692Reproduktionsmatrix F01v16 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
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Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045457164576488143Reproduktionsmatrix F01v17 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
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.567 .541 .662 .98 1.007 .848 .844 .817
.655 .628 .19 .836 .848 .964 .601 .57
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.024 .723 .72 .775 .817 .57 .509 .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .014642324862497295
Standardabweichung der abs. Abweichungen = .012183211253825246
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045403995419188349Reproduktionsmatrix F01v20 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
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Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .014664807510709563
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Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045405476556058957Reproduktionsmatrix F01v21 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
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-.109 .967 .114 .511 .541 .628 .032 .723
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Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .014668763141587971
Standardabweichung der abs. Abweichungen = .012178198137878089
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045104109441930364Reproduktionsmatrix F01v22 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
.962 -.111 .099 .581 .566 .654 .73 .024
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Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .014707460387293146
Standardabweichung der abs. Abweichungen = .012204022549240484
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045378366068026175Reproduktionsmatrix F01v23 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
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-.11 .967 .115 .511 .54 .628 .032 .723
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.025 .723 .72 .775 .818 .571 .51 .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .014669046119452326
Standardabweichung der abs. Abweichungen = .012183018028829998
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045270100796813473Reproduktionsmatrix F01v24 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
.962 -.109 .099 .582 .567 .655 .73 .025
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.73 .031 .708 .83 .843 .601 .969 .509
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Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045358505999099706Reproduktionsmatrix F01v25 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
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-.11 .967 .115 .511 .54 .628 .032 .723
.099 .115 .977 .628 .663 .191 .708 .72
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.654 .628 .191 .836 .848 .964 .601 .57
.729 .032 .708 .83 .844 .601 .969 .509
.023 .723 .72 .775 .817 .57 .509 .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .01466338703703872
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Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045388812878013608Reproduktionsmatrix F01v26 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
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-.11 .967 .115 .511 .54 .628 .032 .723
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Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .014659833869807301
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Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045383490069242741Reproduktionsmatrix F01v28 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
.962 -.11 .099 .581 .567 .654 .729 .024
-.11 .966 .114 .511 .54 .628 .031 .723
.099 .114 .977 .627 .662 .19 .707 .719
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.567 .54 .662 .98 1.007 .848 .843 .818
.654 .628 .190 .836 .848 .964 .600 .571
.729 .031 .707 .83 .843 .6 .968 .509
.024 .723 .719 .775 .818 .571 .509 .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .01470094372519175
Standardabweichung der abs. Abweichungen = .012201562377827634
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045296910067648659Reproduktionsmatrix F01v29 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
.962 -.11 .098 .582 .567 .655 .73 .024
-.11 .967 .116 .511 .54 .628 .032 .723
.098 .116 .977 .627 .663 .19 .707 .72
.582 .511 .627 .955 .98 .836 .83 .775
.567 .54 .663 .98 1.007 .848 .844 .818
.655 .628 .190 .836 .848 .964 .601 .57
.73 .032 .707 .83 .844 .601 .969 .51
.024 .723 .72 .775 .818 .57 .51 .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .014653055297356613
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Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045222496867326078Reproduktionsmatrix F01v30 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
.962 -.11 .098 .581 .567 .655 .73 .024
-.11 .967 .116 .511 .541 .628 .032 .723
.098 .116 .977 .628 .663 .191 .707 .721
.581 .511 .628 .955 .98 .836 .83 .775
.567 .541 .663 .98 1.007 .848 .844 .817
.655 .628 .191 .836 .848 .964 .601 .57
.73 .032 .707 .83 .844 .601 .968 .509
.024 .723 .721 .775 .817 .57 .509 .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .014663172801323216
Standardabweichung der abs. Abweichungen = .012193137542678181
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .045464862652089603
Statistik der Eigenwerte der ersten dreißig Fehlerversuche (WW+- 0,5%)
Die Eigenwerte sind die 'Gene' und das 'Herzstück' einer Korrelationsmatrix. Kennt man die Eigenwerte, weiß man alles Wesentliche über die Gesetz- und Regelhaftigkeiten der Korrelationsmatrix und wie viele Fast- Kollinearitäten, d.h. fast-funktionale Abhängigkeiten sie enthält, um so mehr, je mehr Eigenwerte 'nahe' 0 sich in der Korrelations- Matrix finden. Jede ForscherIn sollte daher bestrebt sein, Eigenwerte 'nahe' 0 aufzuspüren, und sodann Theorien, Modelle und Hypothesenprüfungen entwickeln, um diese Gesetzmäßigkeiten zu erklären. Nur FaktorenanalytikerInnen interessieren sich anscheinend nicht dafür, sie definieren und beschließen einfach wie numerologische MetaphysikerInnen durch ein narzißtisches Orakel, daß so und so viele Eigenwerte per definitionem 0 gesetzt werden und spielen damit Lieber Gott. Allerdings meist um den Preis einer fürchterlichen Matrix-Malträtierung. Hierbei verkennen sie in aller Regel, daß die Korrelationmatrix zu den zentriert-normierten Rohdaten in isometrischer Relation steht (Hain 1994, Kap. 6, S. 20, Satz 3.4), d.h. eine gewaltsame 0-Setzung ist einer Datenverfälschung äquivalent. Gewaltsam heißt hier, daß die Matrix nicht in ihrer empirischen Erscheinung von vorneherein Eigenwerte 'nahe' 0 enthält. Zusammenfassung der Ergebnisse unten.
Mittelwert, Sigma, Max und Min der Eigenwerte der Serie F01v1-30:
Mit 5.0878 1.5312 1.1379 0.1070 0.0917 0.0588 -0.0046 -0.0098
Sig 0.0075 0.0011 0.0005 0.0017 0.0017 0.0017 0.0018 0.0018
Max 5.0912 1.5328 1.1387 0.1158 0.1006 0.0681 0.0052 0.0000
Min 5.0477 1.5260 1.1366 0.1063 0.0911 0.0582 -0.0050 -0.0101Eigenwerte der Serie:
F01v01 5.0477 1.5260 1.1366 0.1158 0.1006 0.0681 0.0052 0.0000
F01v02 5.0889 1.5318 1.1375 0.1067 0.0914 0.0586 -0.0048 -0.0100
F01v03 5.0885 1.5320 1.1378 0.1067 0.0917 0.0584 -0.0050 -0.0101
F01v04 5.0889 1.5307 1.1386 0.1067 0.0914 0.0587 -0.0050 -0.0101
F01v05 5.0890 1.5311 1.1383 0.1067 0.0915 0.0584 -0.0049 -0.0101
F01v06 5.0888 1.5315 1.1380 0.1069 0.0913 0.0585 -0.0050 -0.0101
F01v07 5.0883 1.5316 1.1383 0.1069 0.0913 0.0585 -0.0049 -0.0101
F01v08 5.0897 1.5317 1.1375 0.1064 0.0914 0.0585 -0.0050 -0.0101
F01v09 5.0891 1.5313 1.1381 0.1066 0.0912 0.0586 -0.0049 -0.0101
F01v10 5.0899 1.5322 1.1368 0.1065 0.0913 0.0585 -0.0049 -0.0101
F01v11 5.0897 1.5309 1.1381 0.1065 0.0913 0.0586 -0.0050 -0.0101
F01v12 5.0902 1.5310 1.1376 0.1067 0.0911 0.0584 -0.0049 -0.0101
F01v13 5.0875 1.5328 1.1375 0.1071 0.0915 0.0586 -0.0050 -0.0101
F01v14 5.0885 1.5316 1.1383 0.1066 0.0916 0.0585 -0.0050 -0.0101
F01v15 5.0890 1.5313 1.1383 0.1064 0.0914 0.0586 -0.0049 -0.0101
F01v16 5.0892 1.5307 1.1382 0.1068 0.0913 0.0588 -0.0049 -0.0101
F01v17 5.0873 1.5323 1.1385 0.1069 0.0915 0.0585 -0.0049 -0.0101
F01v18 5.0901 1.5308 1.1382 0.1063 0.0912 0.0584 -0.0050 -0.0101
F01v19 5.0896 1.5318 1.1370 0.1070 0.0913 0.0584 -0.0050 -0.0101
F01v20 5.0904 1.5311 1.1373 0.1068 0.0913 0.0582 -0.0050 -0.0101
F01v21 5.0881 1.5314 1.1387 0.1066 0.0917 0.0585 -0.0049 -0.0101
F01v22 5.0891 1.5315 1.1375 0.1069 0.0915 0.0585 -0.0050 -0.0101
F01v23 5.0912 1.5306 1.1369 0.1066 0.0913 0.0585 -0.0050 -0.0101
F01v24 5.0895 1.5308 1.1381 0.1065 0.0916 0.0586 -0.0050 -0.0101
F01v25 5.0894 1.5314 1.1379 0.1067 0.0915 0.0582 -0.0050 -0.0101
F01v26 5.0890 1.5313 1.1383 0.1067 0.0912 0.0586 -0.0050 -0.0101
F01v27 5.0900 1.5309 1.1379 0.1064 0.0916 0.0582 -0.0050 -0.0101
F01v28 5.0890 1.5312 1.1382 0.1068 0.0913 0.0586 -0.0050 -0.0101
F01v29 5.0892 1.5311 1.1382 0.1065 0.0915 0.0585 -0.0049 -0.0101
F01v30 5.0895 1.5318 1.1376 0.1066 0.0913 0.0583 -0.0050 -0.0101Abweichungen Eigenwerte der Serie von den Wahre Wert Eigenwerten
0.0007 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0002 0.0001 0.0000
0.0405 0.0057 0.0010 0.0089 0.0091 0.0093 0.0099 0.0100
0.0400 0.0059 0.0013 0.0089 0.0088 0.0095 0.0100 0.0101
0.0405 0.0047 0.0021 0.0089 0.0091 0.0092 0.0100 0.0101
0.0405 0.0050 0.0018 0.0089 0.0089 0.0095 0.0100 0.0101
0.0404 0.0055 0.0016 0.0087 0.0091 0.0094 0.0100 0.0101
0.0399 0.0056 0.0018 0.0087 0.0091 0.0094 0.0100 0.0101
0.0412 0.0056 0.0010 0.0092 0.0091 0.0094 0.0101 0.0101
0.0407 0.0053 0.0017 0.0090 0.0092 0.0093 0.0100 0.0101
0.0414 0.0061 0.0003 0.0091 0.0092 0.0094 0.0100 0.0101
0.0413 0.0048 0.0016 0.0091 0.0091 0.0093 0.0101 0.0101
0.0418 0.0049 0.0011 0.0089 0.0093 0.0095 0.0100 0.0101
0.0390 0.0067 0.0011 0.0085 0.0089 0.0093 0.0100 0.0101
0.0400 0.0056 0.0019 0.0090 0.0089 0.0094 0.0101 0.0101
0.0405 0.0052 0.0018 0.0092 0.0091 0.0092 0.0100 0.0101
0.0408 0.0046 0.0017 0.0088 0.0091 0.0091 0.0100 0.0101
0.0389 0.0062 0.0021 0.0087 0.0089 0.0094 0.0100 0.0101
0.0417 0.0047 0.0018 0.0093 0.0092 0.0095 0.0101 0.0101
0.0411 0.0058 0.0006 0.0086 0.0092 0.0095 0.0101 0.0101
0.0420 0.0050 0.0008 0.0088 0.0091 0.0097 0.0101 0.0101
0.0397 0.0053 0.0023 0.0090 0.0088 0.0094 0.0100 0.0101
0.0406 0.0054 0.0011 0.0087 0.0089 0.0094 0.0101 0.0101
0.0427 0.0046 0.0005 0.0090 0.0092 0.0094 0.0101 0.0101
0.0411 0.0048 0.0016 0.0091 0.0089 0.0093 0.0101 0.0101
0.0409 0.0053 0.0014 0.0089 0.0089 0.0097 0.0101 0.0101
0.0405 0.0052 0.0019 0.0089 0.0093 0.0093 0.0100 0.0101
0.0416 0.0048 0.0015 0.0092 0.0089 0.0097 0.0101 0.0101
0.0406 0.0051 0.0017 0.0088 0.0091 0.0093 0.0101 0.0101
0.0408 0.0050 0.0018 0.0091 0.0090 0.0094 0.0100 0.0101
0.0411 0.0057 0.0011 0.0090 0.0092 0.0096 0.0101 0.0101Mittelwert der absoluten Abweichungen .. = .011488346082429563
Standardabweichung der abs. Abweichungen = .011279355114656023
Maximaler absoluter Abweichungswert .... = .0427361032733972
Zusammenfassung Eigenwertveränderungen bei 1% Fehlerspanne der Urdaten
(1) Der kleinste der 30 größten Eigenwerte in dieser Versuchsserie F01v01 ist 5.047(2) Der größte der 30 größten Eigenwerte in dieser Versuchsserie F01v2,4,13,24 ist unerwartet größer als der größte Eigenwert des Wahrenwert-Versuches mit 5.091
(3) Es fällt auf, daß nur beim ersten der 30 Versuche die Matrix positiv-semidefinit ist. Alle anderen 29 Versuche führen zu je zwei negativen Eigenwerten. 29 von 30 Matrizen der ersten Versuchsserie sind also - kollinearitäts-, rundungsfehler- (und x?) bedingt - indefinit (mathematisch regelwidrig) und würden bei multivariater Weiterverarbeitung zu entgleisten Werten führen, z.B. bei partiellen oder multiplen Korrelationskoeffizienten mit Werten > 1.
(4) Ungewöhnlich und entgegen meiner Erwartung ist hier auch, daß 29 der größten Eigenwerte betragsmäßig größer als der größte Eigenwert im Urdatenversuch sind. Im Urdaten oder Wahren-Wertversuch war der größte Eigenwert 5.04844. Meine Erwartung aufgrund meiner Vermutung, daß mit zunehmenden Fehlerspannen die größten Eigenwertbeträge sinken war und ist, daß die größten Eigenwerten mit zunehmender Fehlerspanne immer kleiner werden sollten. Es gibt eigentlich nur eine Quelle für diese Erscheinung: die Indefinitheit oder mathematische Regelwidrigkeit der 29 Matrizen, die negative Eigenwerte produzieren. Dafür spricht, daß der kleinste der größten Eigenwerte, der beim Versuch F01v01auftritt, mit 5.047 aus der einzigen positiv semidefiniten, also mathematisch regelkonformen (wenn auch singulären) Matrix stammt und der ist kleiner als der größte Eigenwert aus dem Wahre- Wert- Urdatenversuch.
(5) Abgesehen von den indefiniten mathematischen Regelwidrigkeiten - die man nicht unterschätzen sollte - kann man sagen, daß eine zufällig normalverteilte Fehlerspanne von 1% bei den Urdaten auf die Eigenwerte der Korrelationsmatrizen keine irreperablen und auf die Reproduktionsgüte der Originalmatrix kaum Auswirkungen hat. Sämtliche Eigenwerte bewegen sich insgesamt noch in einer praktisch relativ engen Grenze gemessen am Kriterium Reproduktionsgüte der Wahre- Werte- Ursprungsmatrix, wie die Rückrechnungen aus drei Faktoren bei allen 30 Faktorenanalysen zeigen.
Offene Eigenwert-Fragen für diesen Versuch F01v01...30
Die Beträge der negativen Eigenwerte fallen nach meinem erfahrungsfundierten Zahlengefühl für Eigenwertbeträge etwas hoch aus. Ich hätte höchstens Werte <10-^4 erwartet. Ob sich da ein systematischer Fehler eingeschlichen hat? Wer eine Idee hat, melde sich bitte.
Anlage zur Anmerkung 5.11.2, 17.30 UhrKommentar 7.11.2: Die folgenden Ergebnisse - wenn sie richtig sind und von anderen bestätigt werden können - sind ausgesprochen verblüffend und widersprechen dem gesunden Menschenverstand vollständig. Obwohl die Rohdaten mit einer zufällig normalverteilten Fehlerspanne von 50% (links und rechts bzw. oben und unten also je 25%) versehen wurden, zeigt sich die Eigenwertstruktur der daraus gewonnenen Korrelationsmatrizen davon weitgehend unbeeinflußt, scheint also weitgehend invariant gegen zufällig normalverteilte Fehler selbst in der Größenordnung 50% zu sein. Die Paradoxie besteht in dem Widerspruch, daß selbst große Fehler keine nennenswerte oder nur eine sehr kleine Wirkung haben. Das ist sozusagen die Umkehrung des Sachverhalts bei numerischer Instabilität, wo kleinste Abweichungen riesige Auswirkungen haben: hier haben große Abweichungen nur kleinste Auswirkungen.
F50v01 5.026 1.498 1.121 .123 .115 .079 .022 .015
in Proz 62.82 18.73 14.02 1.54 1.44 .98 .27 .19F50v02 4.943 1.582 1.126 .143 .107 .076 .016 9D-3
in Proz 61.78 19.77 14.07 1.78 1.33 .96 .19 .11F50v03 4.95 1.536 1.176 .134 .107 .072 .021 6D-3
in Proz 61.87 19.19 14.69 1.67 1.33 .89 .27 .08F50v04 5.011 1.507 1.108 .146 .12 .075 .026 7D-3
in Proz 62.63 18.83 13.86 1.82 1.5 .94 .33 .09F50v05 5.023 1.509 1.126 .137 .117 .07 .014 4D-3
in Proz 62.79 18.87 14.07 1.71 1.46 .88 .18 .05F50v06 5.027 1.527 1.098 .153 .109 .067 .012 6D-3
in Proz 62.84 19.09 13.73 1.92 1.36 .83 .16 .08F50v07 5.069 1.48 1.12 .132 .1 .074 .014 .011
in Proz 63.36 18.5 14 1.65 1.26 .93 .17 .14F50v08 4.984 1.558 1.12 .135 .112 .07 .019 2D-3
in Proz 62.3 19.47 14 1.68 1.4 .88 .24 .02F50v09 4.998 1.569 1.108 .125 .109 .07 .012 7D-3
in Proz 62.48 19.62 13.85 1.56 1.37 .87 .16 .09F50v10 5.066 1.539 1.073 .119 .108 .073 .017 5D-3
in Proz 63.33 19.24 13.41 1.49 1.35 .91 .21 .07F50v11 4.97 1.517 1.155 .124 .116 .099 .014 5D-3
in Proz 62.12 18.96 14.44 1.55 1.45 1.24 .17 .07F50v12 5.059 1.472 1.146 .127 .101 .076 .016 3D-3
in Proz 63.23 18.4 14.33 1.59 1.26 .95 .2 .04F50v13 4.96 1.556 1.119 .13 .105 .086 .031 .013
in Proz 62.01 19.44 13.98 1.63 1.31 1.08 .39 .16F50v14 5.008 1.541 1.112 .139 .111 .07 .013 5D-3
in Proz 62.61 19.26 13.9 1.73 1.39 .88 .16 .07F50v15 5.049 1.549 1.093 .138 .083 .07 .016 1D-3
in Proz 63.12 19.37 13.66 1.73 1.03 .88 .2 .01F50v16 5.032 1.538 1.096 .141 .093 .07 .018 .011
in Proz 62.89 19.23 13.7 1.76 1.16 .88 .23 .14F50v17 4.973 1.542 1.131 .136 .112 .079 .02 7D-3
in Proz 62.17 19.28 14.13 1.7 1.4 .98 .25 .08F50v18 5.06 1.492 1.114 .124 .102 .075 .021 .011
in Proz 63.25 18.66 13.93 1.55 1.28 .94 .26 .14F50v19 5.013 1.536 1.115 .13 .11 .078 .012 6D-3
in Proz 62.66 19.2 13.94 1.63 1.38 .97 .15 .08F50v20 5.038 1.503 1.139 .132 .108 .066 .012 3D-3
in Proz 62.98 18.78 14.24 1.65 1.35 .82 .15 .04F50v21 5.074 1.501 1.106 .142 .097 .065 8D-3 7D-3
in Proz 63.42 18.76 13.82 1.77 1.22 .82 .1 .08F50v22 4.999 1.55 1.125 .12 .11 .069 .015 .01
in Proz 62.49 19.38 14.07 1.5 1.38 .87 .19 .13F50v23 4.984 1.557 1.113 .118 .112 .089 .019 8D-3
in Proz 62.31 19.46 13.91 1.48 1.4 1.11 .24 .1F50v24 5.021 1.528 1.115 .139 .103 .074 .012 8D-3
in Proz 62.77 19.11 13.94 1.73 1.28 .92 .14 .1F50v25 5.043 1.516 1.129 .124 .095 .077 .011 5D-3
in Proz 63.04 18.96 14.11 1.55 1.19 .96 .14 .06F50v26 5.028 1.533 1.102 .131 .103 .079 .016 6D-3
in Proz 62.85 19.16 13.78 1.64 1.28 .99 .2 .08F50v27 5.027 1.515 1.101 .143 .115 .08 .015 4D-3
in Proz 62.83 18.94 13.77 1.79 1.44 .99 .18 .05F50v28 5.046 1.524 1.113 .131 .103 .066 .013 4D-3
in Proz 63.08 19.05 13.91 1.64 1.28 .83 .16 .05F50v29 5.073 1.515 1.091 .116 .103 .077 .022 4D-3
in Proz 63.41 18.93 13.64 1.45 1.29 .96 .27 .04F50v30 4.985 1.549 1.133 .119 .108 .085 .014 7D-3
in Proz 62.31 19.36 14.16 1.49 1.35 1.06 .17 .08Cooley, W.W. & Lohnes, P.R. (1971). Multivariate Data Analysis. New York: Wiley. p. 111: F = VEK * SQR(EIG)
___
Sponsel, Rudolf & Hain, Bernhard (1994). Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie. Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology. Deutsch-Englisch. Übersetzt von Agnes Mehl. Kapitel 6 von dem Mathematiker Dr. Bernhard Hain: Bemerkungen über Korrelationsmatrizen. Erlangen: IEC-Verlag [ISSN-0944-5072 ISBN 3-923389-03-5]. Aktueller Preis: http://ww.iec-verlag.de
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Sponsel, Rudolf (2005). Fast- Kollinearität in Korrelationsmatrizen mit Eigenwert-Analysen erkennen. Ergänzungsband - Band II zu
"Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie - Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology - Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie". Erlangen: IEC-Verlag. ISSN-0944-5072 * ISBN 3-923389-13-2. WIRE-O-Ringbindung DIN A4.
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Man kann die numerische Stabilität einer Korrelationsmatrix erhöhen, wenn man die Diagonalelemente numerisch größer macht. Diese Methode stammt von TIKHONOV, heißt auch Regularisierungs- oder auch Ridge-Methode. Siehe Sponsel (1994, Kap. 5, S. 08-10) mit Beispielen.
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Querverweise
zur methodischen Umgebung dieser Untersuchung:
Standort: Versuch q01.
*
Überblicks- und Verteilerseite zu diesen Versuchen
Einführung und Überblick. Kritik der Handhabung der Faktorenanalyse
Was für ein Typ Matrix entsteht durch Faktorenanalysen?
Überblicks- und Verteilerseite: Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie
*
Dienstleistungs-Info.
*
Zitierung Änderungen wird fortlaufend überarbeitet, ergänzt und vertieft * Anregungen und Kritik willkommen
Sponsel, Rudolf (DAS). Die ersten 30 der 1500 Versuche mit zufällig normalverteilter Fehlerspannweite von 1% bezüglich der definierten wahren Werte des Quaders zur explorativen Untersuchung des Verhaltens der Eigenwerte und Faktoren. IP-GIPT. Erlangen: https://www.sgipt.org/wisms/fa/quader/q01.htm
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