Erläuterungen zu den Standard Matrix Analyse Kriterien

Or    =:   Ordnung der Matrix.

Md   =:  Missing Data Information:  Meist steht hier der Eintrag <-1>, da es in der Fachliteratur leider nicht üblich ist, anzugeben, ob Missing Data vorliegen, was meist der Fall ist, und welche Methode der Behandlung des Problems angewandt wurde.

NumS =: Hier gibt es bislang folgende Faustregel Bewertungen:

  ?     unklar, fraglich, z. B. bei Distanzmatrizen, die konstruktionsbedingt indefinit sein müssen
  +     numerisch stabil
  +?   Borderline, tendenziell eher numerisch stabil
  -?    Borderline, tendenziell eher numerisch instabil
  -      numerisch instabil
  --Z  indefinit mit Z negativen Eigenwerten
 

Liegt auch nur ein negativer Eigenwert vor, ist die Matrix indefinit und Entgleisungen jeglicher Art sind möglich. Die Matrix ist sozusagen "psychotisch" geworden: keinem Wert kann man mehr vertrauen, alles ist möglich. Ein solcher Zustand ist unter allen Umständen zu verhindern, oder rückgängig zu machen bzw. umgehend zu "therapieren" bevor weitergerechnet werden kann.

Condit = Konditionszahl: Größter Eigenwertbetrag dividiert durch kleinsten Eigenwertbetrag

Determ =: Determinante. Die Determinante repräsentiert den Betrag des Volumens des n-dimensionalen
Spats (mehrdimensionaler Körper). Je kleiner sie ist, desto kleiner ist das Volumen des Spats. Ein kleines Volumen kann hierbei durch einen einzigen kleinen Vektor, was einem kleinen Winkel entspricht, hervorgerufen werden. Das ist der kritische Fall. Eine kleine Determinante kann aber auch ganz "normal" durch den "natürlichen" Rechenprozeß entstehen, ohne daß sie numerische Instabilität ausdrücken muß. Eine Beurteilung allein aufgrund des Determinantenbetrages ist daher nicht sinnvoll. Folgende Faustregeln haben daher nur orientierenden Wert.

HaInRatio =:  HADAMARD Zahl Inverse. Die HADAMARDsche Zahl für die Inverse gibt an, in welchem Verhältnis die reale Determinante der Inversen gegenüber ihrem theoretischen Maximalwert bei gegebener Koeffizientenmatrix liegt. Nach der Faustregel von FADDEJEW & FADDEJEWA kann eine Inversendeterminante als klein gelten, für deren Verhältnis 1 : 50 000 gilt,  also deren HaInRatio < .00002 ist.

R_OutIn =: LES Input Output Ratio (SPONSEL 1994). Dieser Wert gibt an, um das wievielfache sich der output ändert, wenn an der dritten Stelle im Nachkommabereich eine Veränderung um eine Einheit vorgenommen wird.

K_Norm =: Kleinste PESO-Norm  Korrelationsmatrix. Die kleinste reduzierte Norm ("kürzeste" Norm, "flachster" Winkel) der Korrelationsmatrix ist ein Maß für den Grad der Kollinearität. Je kleiner der Wert der K_Norm, desto stärker der Grad an Kollinarität. Das Produkt aller reduzierten Normen ergibt den Betrag der Determinante. Es genügt also eine einzige kleine K_Norm, um das Volumen nahe an 0 zu führen (Entsprechung zur Funktion kleiner Eigenwerte). PESO für die Korrelationsmatrix ist so justiert, daß für alle K_Normen < 0.01 in Klammern die Anzahl der Relationen (Kollinearitäten) ausgegeben wird. Die Wurzel aus der K_Norm liefert eine obere Schranke für den höchsten Korrelationskoeffizienten.

C_Norm =: Kleinste PESO-Norm Cholesky-Matrix. Die C_Norm repräsentiert die kleinste reduzierte Norm der Cholesky-Matrix. Die Bedeutung der Cholesky-Zerlegung beruht u. a. auf der Isometrie zu den Rohdaten. Die kleinste C_Norm gibt den kleinsten Winkel an, der für die zentriert normierten Rohdaten vorliegt. Das Quadrat der kleinsten C_Norm ist größer-gleich der kleinsten K_Norm. Als empirische Faustregel gilt:  (C_Norm^2)/(2...5)  ~ K_Norm. Weiter gilt: r(multiple) = SQR(1-C_NORM^2). Aus der C_Norm können also direkt die multiplen Korrelationskoeffizienten bestimmt werden. Die Relation oder Kollinearität kann über die kleinste Cholesky Norm also auch über den bekannten und gewohnten multiplen Korrelationskoeffizienten ausgedrückt werden. Eine C_Norm <.31 kann hier als kritische Grenze für den Beginn deutlicherer Kollinearität dienen.

Positiv Definit = Cholesky successful: Ist die Matrix positiv definit, muß die Cholesky-Zerlegung (R=X'X; Dreieckszerlegung) möglich sein. Alle Cholesky-Diagonalelemente sind dann positiv. Negative Cholesky- Diagonalelemente zeigen eine indefinite Matrix und negative Eigenwerte an. Ist ein Cholesky- Diagonalelement 0, muß auch ein Eigenwert 0 sein und die Matrix verliert in dem Umfang an Rang, indem Cholesky- Diagonalelemente 0 sind: sie ist dann singulär.
 

Weitere und nähere Erläuterungen zur Matrixanalyse:  Numerische Laien hier    und      Professionell Interessierte hier

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• Für NichtmethodikerInnen: worauf kommt es an bei Korrelationsmatrizen
• Für professionell Interessierte: Abkürzungen, Definition, Erklärung und Bedeutung zur
• Standard- (Korrelations)- Matrix- Analyse (SMA)
• Gesamtzusammenfassung: "Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie"
• Hintergrund und Entstehungsgeschichte der Arbeit "Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie"