Internet Publikation  für Allgemeine und Integrative Psychotherapie
(ISSN 1430-6972)
IP-GIPT DAS=15.05.2001 Internet-Erstausgabe, letzte Änderung: 19.01.20
Impressum: Diplom-Psychologe Dr. phil. Rudolf Sponsel   Stubenlohstr. 20   D-91052 Erlangen
Mail: sekretariat@sgipt.org_ Zitierung & Copyright

---

Anfang  _ D03-Pawlik1968_289 _Datenschutz_ Überblick  _ Relativ Aktuelles  _ Rel. Beständiges  _ Titelblatt  _ Konzept  _  Archiv  _ Region _ Service iec-verlag _

---

Willkommen in der Abteilung Wissenschaftstheorie, Methodologie und Statistisch-Mathematische Methodenin der Allgemeinen und Integrativen Psychologie, Psychodiagnostik und Psychotherapie, hier:

Pawlik, die Matrix mit der angeblichen Woodrow-Struktur und
wie man unnötigerweise faktor-rückgerechnete Matrizen schönt

Aus: PAWLIK, K. (1968) Dimensionen des Verhaltens. Eine Einführung in Methodik und Ergebnisse faktorenanalytischer psychologischer Forschung. Bern: Huber. p.287-289

• Abstract und Zusammenfassung
• Einführung.
• Pawlik zu Rahmen und Hintergrund.
• Interkorrelationstabelle 10.1 von acht Lernabschnitten
• Tabellen 10.2 (Faktoren) und 10.3 (rückgerechnete Matrix)
• Matrixanalyse der Original Korrelationsmatrix: Die Matrixanalyse ergibt einen einzigen Eigenwert mit 86 % Varianzaufklärung, was für eine Generalfaktorlösung spricht.
• Exkurs: Generalfaktorprobe
• Rückgerechnete Matrix aus einem Generalfaktor
• Residualanalyse Original-Korrelationsmatrix und aus dem Generalfaktor rückgerechnete Matrix
• Von Sponsel richtig rückgerechnete Matrix aus den 2 Faktoren
• Matrixanalyse der aus den 2 Faktoren richtig rückgerechneten Matrix
• Residualanalyse zwischen originaler Korrelationsmatrix und der faktorrückgerechneten Matrix
• Matrixanalyse der aus den Faktoren rückgerechneten Korrelationsmatrix mit Hauptdiagonale gleich 1 gesetzt: wieder positiv definit.
• Diskussion
• Glosse zu den sieben goldenen Hauptspielregeln des "PSYCHOMETRIKERINNEN-Spiels"
• Vorschau und Querverweise
 _
Abstract - Zusammenfassung
 

Abstract - Zusammenfassung: PAWLIK (1968, S. 289) gibt in Tab.10.3 unter Berufung auf JONES (1962) eine 'Korrelationsmatrix'  wieder, die aus der 2-Faktoren WOODROW- Struktur  in Tab. 10.2 entstanden sein soll. Der Ausdruck 'Korrelationsmatrix' ist so nicht richtig und einer der häufigen Täuschungen faktorenanalytischer Veröffentlichungen, weil die Hauptdiagonalelemente nicht der korrekten Rechnung entsprechen, sondern einfach 1 gesetzt wurden ohne dies zu erwähnen. Das kann man tun, aber dann muß man es sagen. Die Tabelle ist auch entsprechend suggestiv überschrieben mit dem Titel "Aus der WOODROW- Struktur in Tabelle 10.2 reproduzierte Korrelationsmatrix (nach JONES, 1962)". Tatsächlich ergibt sich durch Rückrechnung der Faktormatrix eine vor allem in der Hauptdiagonalen phänotypisch wenig ähnliche Matrix im Vergleich zur ursprünglichen Korrelationsmatrix. Aber das täuscht - und nun echt ;-). Diese Matrix hat es wirklich in sich: Tatsächlich sind die vier negativen Eigenwerte nämlich sehr klein und daher ohne Probleme reparierbar. Daher zeigt auch eine genaue Analyse und Vergleich, daß die ursprüngliche Korrelationsmatrix für faktorenanalytische Verhältnisse ungewöhnlich und sehr gut reproduziert werden kann (wie im Verlauf dieser Gesamt- Dokumentation noch drastisch gezeigt wird), obwohl die Hauptdiagonalelemente teilweise recht erheblich von 1 abweichen. Das ist ein sehr interessanter Befund: Obwohl die aus den Faktoren reproduzierte Matrix mit einer Korrelationsmatrix in der Hauptdiagonalen wenig gemein hat (maximale Abweichung 0.30), also der Phänotyp sehr abweicht, ist der mathematisch entscheidende Genotyp tatsächlich sehr ähnlich [Zur Ähnlichkeit bei Matrizen], wie ein genauer Eigenwertvergleich zeigt. Inhaltlich überrascht, daß hier nicht von einer Generalfaktorstruktur ausgegangen wird, obwohl es nur einen großen Eigenwert mit 86 % (!) Varianzaufklärung gibt. Hier liegt es doch nun wirklich auf der Hand von einem einzigen General-Faktor, den wir Übungslernen nennen könnten, auszugehen. Wie kommt es, daß die FaktorenanalytikerInnen hier vor lauter Wald den nächstliegenden 1-General- Faktor- Baum nicht sehen? Merkwürdigerweise liefert Pawlik (p.93) eine Matrix für das Generalfaktormodell, das nicht die entfernteste Ähnlichkeit mit einer Generalfaktorlösung aufweist. Pawlik äußert sich nicht zur Problematik numerisch instabiler Matrizen, auch nicht dazu, wie man phänotypische und genotypische Matrizen unterscheidet und auch nicht dazu, wie man bösartig entgleiste Pseudo- Korrelations- Matrizen erkennt und behandelt, obwohl er eine solche Monster- Pseudo- Korrelationsmatrix in seinem Buch publiziert (Beleg: Simps14).

Einführung. Kurt Pawliks Hauptwerk ist insofern außergewöhnlich als es die Faktorenanalyse sehr eng mit ihren Ergebnissen für die Psychologie referiert. Allerdings ist aufgrund meiner Ergebnisse und Kritik am faktorenanalytischen Gebaren die Validität der referierten Studien sehr in Frage zu stellen. Ungeachtet dessen kann Pawlik als bedeutender Faktorenanalytiker der Nachkriegspsychologie in Deutschland betrachtet werden - den großen Alten (Spearman, Thurstone, Cattell) verpflichtet und nahe. Trotzdem - oder vielleicht gerade deswegen - übersah er wesentliche Probleme oder ignorierte sie in seinem Werk. Positiv interpretiert, weil er wohl fasziniert und gebannt war von den Möglichkeiten der Faktorenanalyse  und weniger positiv, aber nach Nietzsche sozusagen allzumenschlich wohl auch motiviert blind für die grundlegende Aporie des faktorenanalytischen Ansatzes: wo keine Eigenwerte gegen 0 gehen, ist Datenreduktion verantwortlich nicht möglich. Wie im Laufe dieser Dokmentation aber immer wieder eindringlich dargelegt wird, ist bereits die Fixierung auf die Datenreduktion ein grundlegendes Mißverständnis und man verschenkt das wichtigste Implikat der Faktorenanalyse.
    Die positiven Möglichkeiten und die Bedeutung, Eigenwerte nahe 0 zu entdecken, hat Pawlik ebenso wenig erkannt, wie die meisten anderen FaktorenanalytikerInnen auch. Sie zogen es stattdessen wissenschaftsfremd vor, Eigenwerte mit 0 zu definieren und haben damit das Wesen wissenschaftlichen Arbeitens auf den Kopf gestellt: man muß Gesetzmäßigkeiten suchen, Hypothesen aufstellen und sie erweisen oder widerlegen, aber kann sie nicht durch methodologischen Beschluß am Schreibtisch definitorisch beschließen. Pawlik erkannte wie seine klassischen Vorbilder auch nicht, daß Daten-Reduktion nur in dem Maße möglich ist, wie die orignären Daten schon Kollinearitäten - und d. h. Gesetzmäßigkeiten vom Typ lineare Abhängigkeiten - enthalten.
    Das andere grundlegende Problem, zu dem Pawlik sich nicht äußerte, ist das tückische Problem der Positiven Definitheit. Damit ignorierte Pawlik auch die notwendige Unterscheidung zwischen nur phänotypischen (Schein-) und genotypischen (echten) Korrelationsmatrizen. Der Begriff "positiv definit" - eine mathematisch notwendige Eigenschaft von rechenfähigen Korrelationsmatrizen - kommt in seinem Sachregister nicht einmal vor, obwohl er die Eigenschaft auf S. 455 zu den drei wichtigen Eigenwertsätzen zählt und als erste aufführt. Pawlik erkennt nicht, daß diese wichtige Eigenschaft nicht von Natur aus gegeben ist, sondern erfüllt sein und die Erfüllung auch geprüft werden muß [Beleg: Simps14]. Dafür entschädigt die Matrix mit der geheimnisvollen "Woodrow"-Struktur ein wenig, denn diese hat es wirklich in sich.
    Die tückischen numerischen Probleme, die Computerrechnen, Runden und zahlreiche andere Prozeduren mit sich bringen, waren zu seiner Zeit (1968) noch nicht so bekannt, obschon sie natürlich im Prinzip selbst Thurstone, als noch mit Tischrechenmaschinen gerechnet wurde, hätte herausfinden müssen. Während man aber zu Thurstones Zeiten Monate an einer Faktorenanalyse rechnete, macht dies heute ein Computer in einer Sekunde.

    Im folgenden werde ich einen seltsamen Befund zeigen. Nämlich, daß die aus den Faktoren der Woodrow-Struktur rückgerechnete Matrix wenig phänotypische und zugleich viel genotypische Ähnlichkeit mit einer Korrelationsmatrix hat, obwohl sie ihre positive Definitheit verliert und vier - allerdings sehr kleine und daher reparierbare - negative Eigenwerte produziert. Dafür sind die Eigenwerte der originären Korrelations- und der aus den Faktoren rückgerechneten Matrix sehr ähnlich, so daß die faktor- rückgerechnete Matrix auch ohne die illegitim und nicht ausgewiesene - hier ausnahmsweise unnötige - Besetzung der Hauptdiagonalen mit 1 eine gute Repräsentation der originären Korrelationsmatrix liefert.
 

Zur Ähnlichkeitsdefinition von Matrizen siehe bitte diesen Link

   Obwohl die Woodrow-Struktur, wenn sie denn empirisch gesichert sein sollte, ein interessantes lernpsychologisches Phänomen vorstellt, was gar nicht bestritten werden soll, geht es uns hier in erster Linie darum, zu zeigen, was genau für Matrizen entstehen, wenn man sie aus ihren Faktoren korrekt zurückrechnet. Zunächst aber, damit die Angelegenheit nicht so inhaltslos und trocken ist, wollen wir uns mit dem Hintergrund und Rahmen unserer Matrixanalyse beschäftigen. Zur Einführung in den Problemkreis lassen wir den Autor am besten selbst zu Wort kommen (Seite 287 - 289):

Pawlik zu Rahmen und Hintergrund:

"10.2 "Molare Korrelationsanalyse" von Lerndaten

In der "molaren Korrelationsanalyse" ("molar correlational analysis"; M.B. JONES, 1959, 1960, 1962) wird die Korrelationsmatrix vor der Faktorenextraktion auf Besonderheiten in der Verteilung der Korrelationskoeffizienten untersucht. Daraus wird versucht, eine spezielle Faktorstruktur der Variablen im voraus anzugeben, deren Parameter (Faktorenladungen, Kommunalitäten) anschließend geschätzt werden.

Besondere Korrelationsstrukturen, wie sie die molare Korrelationsanalyse vor Augen hat, wurden bisher vor allem für Übungsmatrizen bestätigt, d.h. für die Interkorrelationen der aufeinanderfolgenden Prüfungen (Durchgänge) in einem Lernexperiment. In allen untersuchten Übungsmatrizen (s. die Literaturhinweise bei JONES, 1962; ferner auch: HUMPHREYS, 1960; PAWLIK, 1965b) stehen die höchsten Korrelationen unmittelbar neben der Hauptdiagonale und die Höhe der Korrelationen nimmt von da gegen die rechte obere (linke untere) Ecke der Korrelationsmatrix ab. JONES (1962) nannte diese Korrelationsstruktur Supradiagonalform. Tabelle. 10.1 [> S. 288] zeigt dazu ein Beispiel (aus JONES, 1962; nach einer Untersuchung von A. BILODEAU). Die Variablen sind acht aufeinanderfolgende Prüfungen in einem schwierigen Reaktionsversuch. Wie man sieht, korrelieren zwei Versuchsdurchgänge um so höher, je näher sie zeitlich beieinander liegen, je weniger zusätzliche Übung dazwischen liegt.

Tabelle 10.1 Interkorrelationen von acht Lernabschnitten



Bereits Ende der Dreißigerjahre hat der amerikanische Psychologe H. WOODROW (1939) für eine solche Supradiagonalform ein Zweifaktoren-Modell vorgeschlagen, aus dem viele Übungsmatrizen eine sehr einfache Erklärung finden. Sämtliche Faktorenladungen dieser WOODROW-Struktur sind nichtnegativ. Wurden die Übungsabschnitte in Übereinstimmung mit ihrer zeitlichen Aufeinanderfolge gereiht und ist g < i, so gilt für die Ladungen im ersten WOODROW- Faktor:

a_g1  <=  a_i1 ,

Für die Ladungen im zweiten WOODROW-Faktor:

a_g2  >=  a_i2 ,

Tabelle 10.2 (nach JONES, l962) zeigt eine solche WOODROW-Lösung zur Übungsmatrix in Tabelle 10.1. Die daraus repro- [> S. 289] duzierte Korrelationsmatrix ist in Tabelle 10.3 angeführt; wie man sieht, gibt die WOODROW-Lösung bereits eine sehr gute Annäherung der Interkorrelationen. Übung kann als ein zweifaktorieller Prozeß verstanden werden, in dessen Verlauf die Bedeutung des einen Faktors zu-, die des anderen abnimmt.

Tabellen  10.2 (Faktoren) und 10.3 ('rückgerechnete' Matrix)



"


---

Matrixanalyse der Original Korrelationsmatrix
 

Erläuterungen zur Matrixanalyse:  Numerische Laien hier    und     Professionell Interessierte hier Bemerkung: Diese SMA enthält noch nicht alle erklärten Kriterien, da Prg-Version 6, nicht 9. Result abstract Bil8  Samp  Or  MD  NumS  Condit  Determinant  HaInRatio  R_OutIn  K_Norm   C_Norm -1    8   -1   -     126    .00000282     .0076347    1      .029(0)  .291(0) Datenquelle: PAWLIK,K.  (GER: University Hamburg. Dimensionen des Verhaltens.  Bern 1968, p.288  BIL8.K08 (from BILODEAU from JONES) Die Original Korrrelationsmatrix ist positiv definit und daher multivariat und auch  faktorenanalytisch behandelbar.  Wichtiges Nebenergebnis: Die Matrixanalyse zeigt einen einzigen großen Eigenwert mit 86% Varianzaufklärung, was für eine Generalfaktorlösung spricht. Weshalb dieser Hypothese nicht nachgegangen wurde, obwohl sie doch wirklich auf der Hand liegt, ist mir unklar geblieben.

**********   Summary of standard correlation matrix analysis   ***********
File = BIL8.K08      N-order= 8   N-sample=-1    Rank= 8   Missing data = ?
Positiv Definit=Cholesky successful________= Yes with  0 negat. eigenvalue/s
HEVA: Highest eigenvalue abs.value_________=    6.9104764217122781
LEVA: Lowest eigenvalue absolute value_____=    .05485181505676583
CON: Condition number HEVA/LEVA___________~=    125.98446221990404
DET: Determinant original matrix___________=    2.8205583733505296D-6
HAC: HADAMARD condition number_____________=    2.2019696395939921D-9
HCN: Heuristic condition |DET|CON__________=    2.2388144725555808D-8
D_I: Determinant Inverse absolute value____=    354540
HDA: HADAMARD Inequality absolute value___<=    46437522
HIR: HADAMARD RATIO: D_I / HDA ____________=    7.6347684945572082D-3
Highest inverse positive diagonal value____=    11.809356557
  thus multiple r( 8.rest)________________=    .956724297
There are no negative inverse diagonal values.
 Maximum range (upp-low) multip-r( 1.rest)_=    7E-3
LES: Numerical stability analysis:
 Ratio maximum range output / input _______=    1.0396657943969279
PESO-Analysis correlation least Ratio RN/ON=    .02889 (<-> Angle = 1.66 )
Number of Ratios correlation RN/ON < .01__ =    0
PESO-Analysis Cholesky least Ratio RN/ON__ =    .290996 (<-> Angle = 16.92 )
Number of Ratios Cholesky RN/ON < .1 _____ =    0

 Ncor  L1-Norm  L2-Norm  Max    Min    m|c|    s|c|   N_comp    M-S   S-S
  64    55.2     6.93    1       .7    .842    .07    378       .081  .061

 class boundaries and distribution of the correlation-coefficients
 -1  -.8  -.6  -.4  -.2   0    .2   .4   .6   .8   1
  0    0    0    0    0    0    0    0    14   50

Original input data with  2-digit-accuracy and read with
 2-digit-accuracy (for control here the analysed original matrix):

 1    .79  .77  .74  .73  .71  .71  .7
 .79  1    .87  .87  .84  .82  .82  .82
 .77  .87  1    .91  .89  .87  .85  .86
 .74  .87  .91  1    .91  .88  .86  .88
 .73  .84  .89  .91  1    .89  .9   .9
 .71  .82  .87  .88  .89  1    .93  .93
 .71  .82  .85  .86  .9   .93  1    .94
 .7   .82  .86  .88  .9   .93  .94  1

 i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky
  1.  6.91048   1         2.  .42623    .6131       3.  .21394   .4742
  4.  .14038    .383      5.  .10278    .3837       6.  .08404   .4112
  7.  .06729    .3284     8.  .05485    .291
 Cholesky decomposition successful, thus the matrix is (semi) positive definit.

---

Exkurs: Generalfaktorprobe

Faktormatrix F:
 .778  0     0     0     0     0     0     0
 .908  0     0     0     0     0     0     0
 .947  0     0     0     0     0     0     0
 .952  0     0     0     0     0     0     0
 .943  0     0     0     0     0     0     0
 .942  0     0     0     0     0     0     0
 .942  0     0     0     0     0     0     0
 .942  0     0     0     0     0     0     0

Transpose Factor Matrix F' :
 .778  .908  .947  .952  .943  .942  .942  .942
 0     0     0     0     0     0     0     0
 0     0     0     0     0     0     0     0
 0     0     0     0     0     0     0     0
 0     0     0     0     0     0     0     0
 0     0     0     0     0     0     0     0
 0     0     0     0     0     0     0     0
 0     0     0     0     0     0     0     0

Reproduction Matrix F * F' with DET=  0
 .605  .706  .737  .74   .734  .733  .733  .733
 .706  .824  .859  .864  .856  .855  .855  .855
 .737  .859  .896  .901  .893  .892  .892  .892
 .74   .864  .901  .905  .898  .897  .897  .897
 .734  .856  .893  .898  .89   .889  .889  .889
 .733  .855  .892  .897  .889  .888  .888  .888
 .733  .855  .892  .897  .889  .888 .888  .888
 .733  .855  .892  .897  .889  .888  .888  .888

Interne Belege und Quelldaten:
Analysis from 05/01/01  23:03:12  with  KORFAK1.BAS (08/31/94)
 8 Factors data from file C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\PAW289FD\PAW289F1.FAK
Reproduction matrix in C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\FAK\NEU\PAW289F1.IMA
Reproduction correlations in C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\FAK\NEU\PAW289FD.F08

Residualanalyse Original-Korrelationsmatrix und aus dem Generalfaktor rückgerechnete Matrix
 

*******************       Residual analysis      *********************
Matrix residuals (whole matrix inclusive diagonal):
  Mean absolute values of residuals =  .040561766812846954
  Sigma absolute values of residuals =  .056449675043972028
  Maximum range absolute values =  .39487229169233095 (r1.1)

Matrix residuals upper triangular matrix without diagonal:
  Mean absolute values of residuals =  .024657598760838306
  Sigma absolute values of residuals =  .01833573
  Maximum range absolute values =  .083974827327747389 (r1.2)

Residual-Analysis: Mean= .04056177  Sigma= .05644968  Maximum range= .39487229 (r1.1)

Matrix A:
 1     .79   .77   .74   .73   .71   .71   .7
 .79   1     .87   .87   .84   .82   .82   .82
 .77   .87   1     .91   .89   .87   .85   .86
 .74   .87   .91   1     .91   .88   .86   .88
 .73   .84   .89   .91   1     .89   .9    .9
 .71   .82   .87   .88   .89   1     .93   .93
 .71   .82   .85   .86   .9    .93   1     .94
 .7    .82   .86   .88   .9    .93   .94   1

Matrix B:
 .605  .706  .737  .74   .734  .733  .733  .733
 .706  .824  .859  .864  .856  .855  .855  .855
 .737  .859  .896  .901  .893  .892  .892  .892
 .74   .864  .901  .905  .898  .897  .897  .897
 .734  .856  .893  .898  .89   .889  .889  .889
 .733  .855  .892  .897  .889  .888  .888  .888
 .733  .855  .892  .897  .889  .888 .888  .888
 .733  .855  .892  .897  .889  .888  .888  .888

Matrix of residuals:
 .395  .084  .033  0    -4E-3 -.023 -.023 -.033
 .084  .176  .011  6E-3 -.016 -.035 -.035 -.035
 .033  .011  .104  9E-3 -3E-3 -.022 -.042 -.032
 0     6E-3  9E-3  .095  .012 -.017 -.037 -.017
-4E-3 -.016 -3E-3  .012  .11   1E-3  .011  .011
-.023 -.035 -.022 -.017  1E-3  .112  .042  .042
-.023 -.035 -.042 -.037  .011  .042  .112  .052
-.033 -.035 -.032 -.017  .011  .042  .052  .112

[Interne Datenquellen: Matrix RES(iduals) in C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\K\B\BIL8.RES
Analysis from 05/01/01 23:09:52]


---

Matrixanalyse der aus einem einzigen Faktor rückgerechneten Matrix
 

Erläuterungen zur Matrixanalyse: Numerische Laien hier    und     Professionell Interessierte hier Bemerkung: Diese SMA enthält noch nicht alle erklärten Kriterien, da Prg-Version 6, nicht 9. Result abstract Paw289FO  Samp  Or  MD  NumS  Condit  Determinant  HaInRatio  R_OutIn  K_Norm   C_Norm ?     8   -1  --5  7.8D+18  0, Rank= 6!  infinite   impos. 0(7)     -1(-1) Primär-Datenquelle: PAWLIK,K.  (GER: University Hamburg. Dimensionen des Verhaltens.  Bern 1968, p.288  BIL8.K08 (from BILODEAU from JONES) Matrizen sind von Haus aus numerisch sehr sensible, d. h. instabile Gebilde und sie werden umso instabiler je näher Eigenwerte in die "Nähe" von 0 und damit in die Nähe der Singularität gelangen. Das kann man hier sehr schön sehen. Faktorenanalytische Datenreduktion gelingt nur um den Preis der Singularität und das heißt numerische  Instabilität im Maximalbereich - ein paradox anmutender Sachverhalt. Der Rang hätte mit 1 ausgewiesen werden müssen, was Dr. B. Hains PESO richtig erkennt und 7 Relationen ausweist, aber nicht das Rang-Matrizenprogramm, vermutlich aufgrund numerischer und algorithmischer Ungenauigkeiten im singulären Grenzbereich. Auch hätten 7 Eigenwerte, die ja mit 0 aufgrund der einfaktoriellen Generalfaktorlösung vorgegeben wurden mit 0 ausgewiesen werden müssen. Anmerkung: MatLab bestimmt den Rang = 1 der Matrix richtig und gibt 7 Eigenwerte bei vierstelliger Ausgabe mit 0 an, davon aber vier mit negativen Vorzeichen.

**********   Summary of standard correlation matrix analysis   ***********
File = PAW289FO.F08  N-order= 8   N-sample=?     Rank= 6   Missing data = ?
Positiv Definit=Cholesky successful________= No with  5 negat. eigenvalue/s
HEVA: Highest eigenvalue abs.value_________=    6.7848724545847401
LEVA: Lowest eigenvalue absolute value______=  0
CON: Condition number HEVA/LEVA____________~= >>>>>>>>
DET: Determinant original matrix___________=  0
HAC: HADAMARD condition number_____________=  0
HCN: Heuristic condition |DET|CON__________=  0
D_I: Determinant Inverse absolute value____=  >>>>>>>>
HDA: HADAMARD Inequat.Amount 1/DET________<=  0
HIR: HADAMARD RATIO: D_I / HDA ____________=  >>>>>>>>

LES: Numerical stability analysis:
  Linear Equation Solution not possible
  thus matrix (on 3-digit accuracy) singular.
PESO-Analysis correlation least Ratio RN/ON=    0 (<-> Angle = 0 )
Number of Ratios correlation RN/ON < .01__ =    7
PESO-Analysis Cholesky least Ratio RN/ON__ = (Not positiv definit)

 Ncor  L1-Norm  L2-Norm  Max    Min    m|c|    s|c|   N_comp    M-S   S-S
  64    54.1     6.78    .905    .605  .845    .067   378       .069  .068

 class boundaries and distribution of the correlation coefficients
 -1  -.8  -.6  -.4  -.2   0    .2   .4   .6   .8   1
    0    0    0    0    0    0    0    0    15   49

Original data with  17, input read with  17, computet with 19,
 and showed with  4 digit accuracy
(for control here the analysed original matrix):

 .6051  .706   .7365  .7402  .7337  .7331  .7331  .7331
 .706   .8237  .8593  .8636  .8561  .8553  .8553  .8553
 .7365  .8593  .8965  .901   .893   .8923  .8923  .8923
 .7402  .8636  .901   .9055  .8975  .8968  .8968  .8968
 .7337  .8561  .893   .8975  .8897  .8889  .8889  .8889
 .7331  .8553  .8923  .8968  .8889  .8881  .8881  .8881
 .7331  .8553  .8923  .8968  .8889  .8881  .8881  .8881
 .7331  .8553  .8923  .8968  .8889  .8881  .8881  .8881

 i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky
  1.  6.78487   .7779     2.  0         0           3.  0        0
  4.  0        -.8117     5.  0        -1.6031      6.  0       -2.3905
  7.  0        -3.1793    8.  0        -3.9681
 The matrix is not positive definit. Cholesky decomposition is not successful.

 Eigenvalues in per cent of trace =  6.7848724545847401
  1 100     2 0       3 0       4 0       5 0       6 0
  7 0       8 0

 analysed: 05/01/01 23:04:48  PRG version 05/24/94  MA9.BAS
  Gesamtzeit_____________  47.205
    Rang_____________  .25
    Determinante_____  5E-3
    Eigenwerte/Vekt__  0
    Peso Kor+Chol____  .37
    NuStabAnalyse____ nicht ausgefuehrbar
    Statistik________  .08

File = C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\PAW289FO\PAW289FO.SMA
 with data from C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\PAW289FO\PAW289FO.F08
Date: 05/01/01  Time:23:04:48

---

Von Sponsel richtig rückgerechnete Matrix aus den 2 Faktoren

Auswertung vom 11.04.94 23:18:14
 .61   .57
 .75   .57
 .83   .47
 .87   .39
 .92   .24
 .94   .19
 .94   .19
 .94   .19

Ursprungsmatrix B
 .61   .75   .83   .87   .92   .94   .94   .94
 .57   .57   .47   .39   .24   .19   .19   .19

Produkt-Matrix A * B mit Determinante=  0
 .7    .78   .77   .75   .7    .68   .68   .68
 .78   .89   .89   .87   .83   .81   .81   .81
 .77   .89   .91   .91   .88   .87   .87   .87
 .75   .87   .91   .91   .89   .89   .89   .89
 .7    .83   .88   .89   .90   .91   .91   .91
 .68   .81   .87   .89   .91   .92   .92   .92
 .68   .81   .87   .89   .91   .92   .92   .92
 .68   .81   .87   .89   .91   .92   .92   .92

[Interne Datenquellen: Daten in C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\FAK\PAW289FD.IMA
Ursprungsmatrix A von C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\FAK\PAW289FD.FAK
Faktorrückgerechnete Korrelationen mit ohne HD=h in:
  C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\FAK\PAW289FD.F08

---


Matrixanalyse der aus den 2 Faktoren richtig rückgerechneten  Matrix

PAWLIK,K. (GER: University Hamburg). "Dimensionen des Verhaltens"  Bern 1968
(3b') p.289  Richtige (Sponsel rueckgerechnete) Tabelle 10.3
(Data from JONES "Practice as a process of simplification",
Psychol. Review, 1962, 69, 274-294)

Erläuterungen zur Matrixanalyse:  Numerische Laien hier    und     Professionell Interessierte hier Bemerkung: Diese SMA enthält noch nicht alle erklärten Kriterien, da Prg-Version 6, nicht 9. Result abstract Paw289FD  Result abstract Samp  Or  MD  NumS  Condit  Determinant  HaInRatio  R_OutIn  K_Norm   C_Norm -1    8   -1  --4  1.1D+18  0, Rank= 6!  infinite   impos.   0(6)     -1(-1) Residual-Analysis: Mean= .026  Sigma= .043  Maximum range= .3 (r1.1) Primär-Datenquelle: PAWLIK,K.  (GER: University Hamburg. Dimensionen des Verhaltens.  Bern 1968, p.288  BIL8.K08 (from BILODEAU from JONES)

************  Summary of the correlation matrix analysis   ***************
                    calculated backword from factors
File = PAW289FD.F08  N-order= 8   N-sample=-1    Rank= 6   Missing data = ?
Positiv Definit=Cholesky successful________= No with  4 negat. eigenvalue/s
HEVA: Highest eigenvalue abs.value_________=    6.7848724545847401
LEVA: Lowest eigenvalue absolute value______=  0
CON: Condition number HEVA/LEVA____________~= >>>>>>>>
DET: Determinant original matrix___________=  0
HAC: HADAMARD condition number_____________=  0
HCN: Heuristic condition |DET|CON__________=  0
D_I: Determinant Inverse absolute value____=  >>>>>>>>
HDA: HADAMARD Inequat.Amount 1/DET________<=  0
HIR: HADAMARD RATIO: D_I / HDA ____________=  >>>>>>>>

LES: Numerical stability analysis:
  Linear Equation Solution not possible
  thus matrix (on 3-digit accuracy) singular.
PESO-Analysis correlation least Ratio RN/ON=    0 (<-> Angle = 0 )
Number of Ratios correlation RN/ON < .01__ =    6
PESO-Analysis Cholesky least Ratio RN/ON__ = (Not positiv definit)

 Ncor  L1-Norm  L2-Norm  Max    Min    m|c|    s|c|   N_comp    M-S   S-S
  64    54.1     6.79    .92     .68   .84     .078   378       .087  .072

 class boundaries and distribution of the correlation-coefficients
 -1  -.8  -.6  -.4  -.2   0    .2   .4   .6   .8   1
    0    0    0    0    0    0    0    0    15   49

Original input data with  2-digit-accuracy and read with
 2-digit-accuracy (for control here the analysed original matrix):

 .7   .78  .77  .75  .7   .68  .68  .68
 .78  .89  .89  .87  .83  .81  .81  .81
 .77  .89  .91  .91  .88  .87  .87  .87
 .75  .87  .91  .91  .89  .89  .89  .89
 .7   .83  .88  .89  .9   .91  .91  .91
 .68  .81  .87  .89  .91  .92  .92  .92
 .68  .81  .87  .89  .91  .92 .92  .92
 .68  .81  .87  .89  .91  .92  .92  .92

 i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky
  1.  6.78487   .8367     2.  .27827    .1444       3.  9.14D-3  .1179
  4.  6.65D-3  -.0254     5.  0        -.7917       6.  0       -1.6174
  7. -2.76D-3  -2.4638    8. -6.17D-3  -3.3102
 The matrix is not positive definit. Cholesky decomposition is not success-
 ful (for detailed information Cholesky's diagonalvalues are presented).

analysed: 11.04.94 23:32:08  PRG version 04/04/94  MA6.BAS
Gesamtzeit_____________  53

---


Residualanalyse zwischen originaler Korrelationsmatrix und der faktorrückgerechneten Matrix

Matrix A:
 .7   .78  .77  .75  .7   .68  .68  .68
 .78  .89  .89  .87  .83  .81  .81  .81
 .77  .89  .91  .91  .88  .87  .87  .87
 .75  .87  .91  .91  .89  .89  .89  .89
 .7   .83  .88  .89  .9   .91  .91  .91
 .68  .81  .87  .89  .91  .92  .92  .92
 .68  .81  .87  .89  .91  .92 .92  .92
 .68  .81  .87  .89  .91  .92  .92  .92

Matrix B:
 1    .79  .77  .74  .73  .71  .71  .7
 .79  1    .87  .87  .84  .82  .82  .82
 .77  .87  1    .91  .89  .87  .85  .86
 .74  .87  .91  1    .91  .88  .86  .88
 .73  .84  .89  .91  1    .89  .9   .9
 .71  .82  .87  .88  .89  1    .93  .93
 .71  .82  .85  .86  .9   .93  1    .94
 .7   .82  .86  .88  .9   .93  .94  1

*******************       Residual analysis      *********************
Matrix residuals (whole matrix inclusive diagonal):
  Mean absolute values of residuals =  .026
  Sigma absolute values of residuals =  .043
  Maximum range absolute values =  .3 (r1.1)

Matrix residuals upper triangular matrix without diagonal:
  Mean absolute values of residuals =  .014
  Sigma absolute values of residuals =  9D-3
  Maximum range absolute values =  .03 (r1.5)

Residual-Analysis: Mean= .026  Sigma= .043  Maximum range= .3 (r1.1)

Matrix of residuals:
-.3   -.01   0     .01  -.03  -.03  -.03  -.02
-.01  -.11   .02   0    -.01  -.01  -.01  -.01
 0     .02  -.09   0    -.01   0     .02   .01
 .01    0     0   -.09  -.02   .01   .03   .01
-.03  -.01  -.01  -.02  -.1    .02   .01   .01
-.03  -.01    0    .01   .02  -.08  -.01  -.01
-.03  -.01   .02   .03   .01 -.01  -.08  -.02
-.02  -.01   .01   .01   .01  -.01  -.02  -.08

[Interne Quelldaten: Matrix A von C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\FAK\PAW289FD.F08
Matrix B von C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\K\B\BIL8.K08
Matrix RES in C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\FAK\PAW289FD.RES
Auswertung vom 11.04.94 23:25:14]


---

Matrixanalyse der aus den Faktoren rückgerechneten Korrelationsmatrix mit Hauptdiagonale gleich 1 gesetzt.
 

Erläuterungen zur Matrixanalyse:  Numerische Laien hier    und     Professionell Interessierte hier Bemerkung: Diese SMA enthält noch nicht alle erklärten Kriterien, da Prg-Version 6, nicht 9. Result abstract PAW289_1.F08 Result abstract Samp  Or  MD  NumS  Condit  Determinant  HaInRatio  R_OutIn  K_Norm   C_Norm ?     8   -1   -    86.2    3.329D-6     0.0120000   2       .037(0)  .322(0) Residual-Analysis: Mean= .026  Sigma= .043  Maximum range= .3 (r1.1) Primär-Datenquelle: PAWLIK,K.  (GER: University Hamburg. Dimensionen des Verhaltens.  Bern 1968, p.288  BIL8.K08 (from BILODEAU from JONES) S. 289 Reproduzierte Korrelationsmatrix nach Jones 1962 wobei in die Hauptdiagonale 1 eingesetzt wurde. Die Matrix wird durch die Ersetzung der Hauptdiagonalen wieder positiv definit.

**********   Summary of standard correlation matrix analysis   ***********
File = PAW289_1.F08  N-order= 8   N-sample=?     Rank= 8   Missing data = ?
Positiv Definit=Cholesky successful________= Yes with  0 negat. eigenvalue/s
HEVA: Highest eigenvalue abs.value_________=    6.8939838452974744
LEVA: Lowest eigenvalue absolute value_____=    .079999999999999997
CON: Condition number HEVA/LEVA___________~=    86.174798066218433
DET: Determinant original matrix (OMIKRON)_=    3.3293883456D-6
DET: Determinant (CHOLESKY-Diagonal^2)_____=    3.3293883456D-6
DET: Determinant (PESO-CHOLESKY)___________=    3.3293883456D-6
DET: Determinant (product eigenvalues)_____=    3.3293883455999993D-6
DET: Determ.abs.val.(PESO prod.red.norms)__=    3.3293883456D-6
HAC: HADAMARD condition number_____________=    2.6531101087143035D-9
HCN: Heuristic condition |DET|CON__________=    3.8635290366931079D-8
D_I: Determinant Inverse absolute value____=    300355
HDA: HADAMARD Inequality absolute value___<=    25029543
HIR: HADAMARD RATIO: D_I / HDA ____________=    .012000037982558444
Highest inverse positive diagonal value____=    9.65369444
  thus multiple r( 6.rest)_________________=    .946790745
There are no negative inverse diagonal values.
 Maximum range (upp-low) multip-r( 1.rest)_=    7E-3
LES: Numerical stability analysis:
 Ratio maximum range output / input _______=    1.9541240933876713
PESO-Analysis correlation least Ratio RN/ON=    .037365 (<-> Angle = 2.14 )
Number of Ratios correlation RN/ON < .01__ =    0
PESO-Analysis Cholesky least Ratio RN/ON__ =    .32185 (<-> Angle = 18.77 )
Number of Ratios Cholesky RN/ON < .1 _____ =    0

 Ncor  L1-Norm  L2-Norm  Max    Min    m|c|    s|c|   N_comp    M-S   S-S
  64    55       6.92    1       .68   .84     .078   378       .087  .072

 class boundaries and distribution of the correlation coefficients
 -1  -.8  -.6  -.4  -.2   0    .2   .4   .6   .8   1
    0    0    0    0    0    0    0    0    14   50

Original data with  2, input read with  2, computet with 19,
 and showed with  2 digit accuracy
(for control here the analysed original matrix):

 1    .78  .77  .75  .7   .68  .68  .68
 .78  1    .89  .87  .83  .81  .81  .81
 .77  .89  1    .91  .88  .87  .87  .87
 .75  .87  .91  1    .89  .89  .89  .89
 .7   .83  .88  .89  1    .91  .91  .91
 .68  .81  .87  .89  .91  1    .92  .92
 .68  .81  .87  .89  .91  .92  1    .92
 .68  .81  .87  .89  .91  .92  .92  1

 i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky
  1.  6.89398   1         2.  .46958    .6258       3.  .19325   .4396
  4.  .10521    .3914     5.  .09289    .4216       6.  .08508   .3708
  7.  .08       .3368     8.  .08       .3218
 Cholesky decomposition successful, thus the matrix is (semi) positive definit.

 Eigenvalues in per cent of trace =  8
  1 .8617   2 .0587   3 .0242   4 .0132   5 .0116   6 .0106
  7 .01     8 .01

 analysed: 05/01/01 20:02:54  PRG version 05/24/94  MA9.BAS
  Gesamtzeit_____________  53.735
    Rang_____________  0
    Determinante_____  .01
    Eigenwerte/Vekt__  0
    Peso Kor+Chol____  1.585
    NuStabAnalyse____  .165
    Statistik________  .08

File = C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\PAW289_1\PAW289_1.SMA
 with data from C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\PAW289_1\PAW289_1.F08
Date: 05/01/01  Time:20:02:54

---

Diskussion

Eigenwertvergleiche Original Korrelationsmatrix und faktorrückgerechnete Matrix

Man beachte, daß sich bei den faktorrückgerechneten Matrizen die Eigenwerte bei praktisch 0 durch eben diese Vorgabe erklären. Eine solche Vorgabe ist nur gerechtfertigt, wenn die Original Korrelations-Matrix das von ihrer Eigenwertstruktur hergibt, was hier der Fall ist. Zum intuitiven und mathematischen Begriff der Ähnlichkeit von Matrizen siehe bitte hier. So grob aus der Anschauung heraus meine ich, daß hier eine Faktorenanalyse wirklich gerechtfertigt ist. Im Gegensatz zu Jones und Pawlik meine ich, daß diese Eigenwertstruktur für eine Generalfaktorlösung und nicht für eine zweifaktorielle, sog. "Woodrow"-Struktur spricht:
 

Originalmatrix nach Tabelle 10.1 (von Bilodeau nach Jones)    6.9104764217122781  .42623237976004933  .21393787845037514  .14038443611180395  .10278400367537141  .084039098250170043  .067293962214814528   .05485181505676583

Eigenwerte der aus den zwei Faktoren von mir reproduzierten Woodrow- Matrix (6 EW=0 Vorgabe) 6.7848724545847401  .27826655217654839  9.1403383957498045 D-3  6.649475635033352 D-3 -6.0715321659188248 D-18 -6.5052130349130266 D-18 -2.7581421686719743 D-3 -6.1706828374481267 D-3

Eigenwerte der 1-Generalfaktorlösung (7 EW=0 Vorgabe)   6.7848724545847401  1.3444106938820255D-17  2.6020852139652106D-18 -8.6736173798840355D-19 -8.6736173798840355D-19 -1.7347234759768071D-18 -8.2399365108898337D-18 -1.0408340855860843D-17

"D-zz" Exponentialdarstellung doppelte Genauigkeit. 1,24D-17 = 0,0000000000000000124.

Während das Beispiel der angeblich zweifaktoriellen Woodrow-Struktur viel besser als einfaktorielles Generalfaktor Modell paßt, zeigt das Beispiel Pawliks für das Generalfaktor Modell  genau das Gegenteil und ist als Beispiel für ein Generalfaktor Modell völlig ungeeignet  (Eigenwerte: 2.387, .894, .795, .585, .337; hier klärt der größte Eigenwert und "Generalfaktor" noch nicht einmal 50 % der Varianz auf, also weit weniger als der - echte - Generalfaktor in der angeblichen zweifaktoriellen Woodrow-Struktur mit 86 %). Obwohl Pawlik (S. 95)  schreibt: "Satz 4.1 Das Generalfaktormodell setzt Variable voraus, deren Interkorrelationen aus einem einzigen Faktor erklärbar sind;". Und S. 98: "Satz 4.2: Im Generalfaktormodell wird vorausgesetzt, daß der reduzierte Rang der Korrelationsmatrix Eins ist." Die Formulierung "wird vorausgesetzt" ist mehrdeutig und kritisch zu beleuchten. Korrekt muß das meiner Meinung nach lauten: Eine Generalfaktorlösung setzt einen Rang 1 voraus, was zu zeigenist. Man kann nicht voraussetzen, was zu zeigen ist, was ein circulus vitiosus wäre. Auch an dieser Formulierung sieht man wieder, wie die Wissenschaft von vielen FaktorenanalytikerInnen auf den Kopf gestellt wird.

Wir schließen diese 3. Dokumentation daher mit etwas bissigem schwarzen Humor:

 

Glossierend schwarzhumorig könnte man die  sieben goldenen Hauptspielregeln des "PSYCHOMETRIKERINNEN-Spiels"  wie folgt benennen:  (1)  Suche so schnell es geht hinter einer Formel Deckung.   (2)  Sei stark! Weigere dich, Bedeutung & Interpretation zu thematisieren!  (3)  Wähle wissenschaftstheoretisches Problembewußtsein zum blinden Fleck   (4)  Wer Kontakt zur wirklichen Welt sucht, hat sofort verloren.   (5)  Matrizen, besonders ihre Hauptdiagonalen, sind grundsätzlich Freiwild; daher         erlegt man sie am besten gleich. Du darfst alles einsetzen, denn es kommt         garantiert immer etwas raus!   (6)  Generalregel: Handle konsequent paradox:        (6a)  hast du keine Zufallsauswahl, so rechne eine Signifikanz, die das                 voraussetzt! Beweise, wie unabhängig Du bist. Sei einfach souverän                 und ganz Du selbst.        (6b)  Hast du keine Normalverteilung, mach eine - quetsche, biege, forme,                 presse, knautsche - oder habe Mut zur konjunktivischen Welt, tue                 einfach so, als ob du eine hättest, zeige Deine Unabhängigkeit von                 der Realität, zeige was du kannst, wenn du könntest!         (6c)  Behandle Ordinal-Zahlen stets wie Intervallzahlen.         (6d)  Denke nie selbst, wenn es ein Formalismus für dich tun kann!   (7)  Und wenn nichts mehr geht: nimm den spezifisch objektiven Würfel!   DUNLAP sprach zum 25-jährigen Jubiläum der Psychometrica mehr ironisierend als selbstkritisch von "PSYCHOMETRICS - A SPECIAL CASE OF THE BRAHMAN THEORY" (Psychometrika 26,1,1961, p.65). Er ahnte wohl nicht, wie sehr er damit ins Schwarze traf.

---

Querverweise
Standort: Ist die Alpha-Faktorenanalyse von Kaiser (1965) leistungsfähiger?.
*
Einführung und Überblick. Kritik der Handhabung der Faktorenanalyse.
Überblicks- und Verteilerseite: Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie.

Vorschau (Exkurs): Spearman und seine Korrelationsmatrizen - Ein dunkles Kapitel
Kritik der Handhabung der Faktorenanalyse.
Was für ein Typ Matrix entsteht durch Faktorenanalysen?.
Überblick der Dokumentationen zur Handhabung der Faktorenanalyse.
Überblick Numerisch Instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie.
Zahlenmystik und numerologische Esoterik in Statistik und Testtheorie.
Überblick Arbeiten zur Definitionslehre, Methodologie, Meßproblematik, Statistik und Wissenschaftstheorie.
*

Suchen in der IP-GIPT, z.B. mit Hilfe von "google": <suchbegriff> site:www.sgipt.org z.B. Faktorenanalyse site:www.sgipt.org

*
Dienstleistungs-Info.
*


---

FN01  Sponsel, Rudolf & Hain, Bernhard (1994). Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie.  Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology. Deutsch-Englisch. Übersetzt von Agnes Mehl. Kapitel 6 von Dr. Bernhard Hain: Bemerkungen über Korrelationsmatrizen. Erlangen: IEC-Verlag [ISSN-0944-5072  ISBN 3-923389-03-5]. Aktueller Preis: http://ww.iec-verlag.de
FN02

---


Zitierung
Sponsel, Rudolf  (DAS). Pawlik, die Matrix mit der angeblichen Woodrow-Struktur und wie man unnötigerweise faktor-rückgerechnete Matrizen schönt. IP-GIPT. Erlangen: https://www.sgipt.org/wisms/fa/D03-paw.html
Copyright & Nutzungsrechte
Diese Seite darf von jeder/m in nicht-kommerziellen Verwertungen frei aber nur original bearbeitet und nicht  inhaltlich verändert und nur bei vollständiger Angabe der Zitierungs-Quelle benutzt werden. Das direkte, zugriffsaneignende Einbinden in fremde Seiten oder Rahmen ist nicht gestattet. Zitate und Links sind natürlich erwünscht. Sofern die Rechte anderer berührt sind, sind diese dort zu erkunden. Sollten wir die Rechte anderer unberechtigt genutzt haben, bitten wir um Mitteilung. Soweit es um (längere) Zitate aus  ...  geht, sind die Rechte bei/m ... zu erkunden oder eine Erlaubnis einzuholen.


---

  Ende _ D03-Pawlik1968_289 _Datenschutz_Überblick  _ Relativ Aktuelles  _ Rel. Beständiges  _ Titelblatt  _ Konzept  _  Archiv  _ Region _ Service iec-verlag _ Mail: _ sekretariat@sgipt.org  _


---

Änderungen wird gelegentlich überarbeitet, ergänzt und vertieft * Anregungen und Kritik willkommen
16.03.15    Linkfehler geprüft und korrigiert, Layoutaktualisierung.