Bemerkung: Bei Revenstorf 1976, S. 125-129, findet sich ein Glossar zur Faktorenanalyse.
 
 

Alpha-Faktorenanalyse.
Nach Revenstorf 1976, S. 199 wird hierbei eine multivariate Normalverteilung vorausgesetzt.

Bi-Faktor-Methode.

Cholesky-Zerlegung.

Eigenwert

• Überla 1970, SR:  Eigenwerte    98, 100, 101, 105, 107, 125, 126, 237, 238, 239, 298 —, größer als l    125, 127, 128, 136, 138, 150 —  aus Zufallsvariablen    127, 128

Eigenwertanalyse

• Eigenwertproblem    100

Eigenvektor

• Überla 1970, SR:  Eigenvektor   98, 100, 101, 104, 107, 237, 238, 298, 320

• Überla 1970, SR: Einfachstruktur    137, 175ff„ 183ff., 205, 208,223,224,227,233,292,293,319,360 —, orthogonale    176, 177, 181,182, 228 —, schiefwinkelige    178, 181, 182, 194, 262, 263 —, Signifikanz    185

Faktor
Ein Faktor ist eine in einer Variable gedachte Größe. Die Werte dieser gedachten Größe heißt Ladung. Formal ist diese Größe ein Korrelationskoeffizient, der den Zusammenhang zwischen dem Faktor und der Variablen angibt.

• Überla 1970, SR: Faktor    44, 45, 46, 49, 89, 95, 125 —, allgemeiner    5, 8, 142

—, gemeinsamer   5, 55
—, merkmalseigener, s. Einzelrestfaktor
—, spezifischer, s. Einzelrestfaktor
Faktoren, erster Ordnung    227, 228, 229
—, hierarchische    232
—, höherer Ordnung   227
—, orthogonale    172
—, schiefwinkelige   61, 173
—, zweiter Ordnung    166, 227 ff.
Identifizierung von Faktoren 361

Faktorenanalyse

• Überla 1970, SR:

Faktorenanalyse, Anwendung    355
—, Fallzahl   359
—, Fragenkatalog bei Anwendung    357
—, Geschichte    7
—, kanonische   83, 92, 146
—, Literaturzusammenstellungen   42
—, Monographien   42
—, nichtlineare    310
—, Modell    52, 53, 240
—, multiple   9, 58, 80, 92, 145
—,—, Modell   58,124,155
—, statische Methodik    82
—, technische Beurteilung    359
—, übliche Technik
—, Vergleich mit multipler Regression
271,288,289,290,291 —, Ziel    357
Faktorenanalytische Hypothesenbildung 2, 3
Faktorenanalytisches Modell, Signifikanz 133, 134, 135

Faktorenarten  > Faktorenmuster, Ladungsmuster.

• Generalfaktor (general factor): lädt in allen Variablen hoch, d.h. er korreliert mit allen Variablen hoch positiv. Das Vorzeichen ist bedeutsam und darf nicht ignoriert werden, weil es die Richtung der Korrelation vorgibt, wobei möglicherweise Itempolungen eine Rolle spielen können, was im Einzelfall genauer zu untersuchen ist.
• Gemeinsamer Faktor (comnon factor):
• Spezifischer Faktor (specific factor):
• Fehler-Faktor:
• Unique-Faktor: unzweckmäßige bis falsche Zusammenfassung spezifischer und Fehler-Faktoren  Thurstones.
• Bipolarer Faktor (Harman 1970, p. 154). Heiß und kalt sind bipolare Varianten des Faktors Temperatur. Klug und dumm sind bipolare Varianten der Intelligenz. Dick und dünn sind bipolare Varianten der Körperfülle bzw. Gestalt.
• Gruppen-Faktor (group factor):
• Dubletten-Factor (doublet nach Harman 1970, p. 131):
• Bi-Faktor (bi factor):

• Überla 1971: SR

Faktorenladung
Nachdem die Faktoreneladungen formal Korrelationeskoeffizienten sind, ist das Vorzeichen von Bedeutung und kann bei Interpretationen der Faktorenladungen nicht einfach außer Acht gelassen werden.

• Überla 1971: SR Faktorenladung   45, 46, 52, 54, 79, 103 ff., 115, 116, 117, 172, 173, 235, 236, 238

Faktorenmuster > Ladungsmuster, Faktorenarten..

• Überla 1971: SR  Faktorenmuster   49,52,54,55,56,62,116, 122, 142, 144, 145, 151, 172, 174, 204, 257 Faktorenmuster der Primärfaktoren   204, 205, 245 —  der Reference-Vektoren    204, 205 —, rotiertes   62

Fragen (> Fragen zur Interpretation)
In jeder Korrelationsmatrix der Ordnung n muss es n Faktoren geben. Ist ein Generalfaktor dabei (hohe Ladungen auf allen Variablen) "fehlt" ein spezifischer Faktor, der im Generalfaktor enthalten sein muss, da er ja nicht verschwinden kann. Wie schätzt man diesen, genauer: seine Ausprägungen in den Variablen?

Fundamentaltheorem
Nach Holm (1976) Die Befragung 3, S. 15: Rh = L * L'. In Worten: Die Kommunalitätsmatrix ist das Produkt aus Ladungsmatrix und ihrer Transponierten. Kritische Anmerkung: die Kommunalitätsmatrix Rh hat - durch die in aller Regel verstümmelten Hauptdiagonalelemente - mit der Korrelationsmatrix nicht das geringste zu tun, sie ist ihr nicht einmal mehr ähnlich, oft indefinit und ein verstümmeltes, inhaltlich völlig konfuses Wahnprodukt.
Nach Überla (1971), S. 52: lautet das Fundamentaltheorem unter Berufung auf Thurstone: (2.14)  R = ACA' und (2.15) R = AA'. In Worten: Falls die Faktoren korrelieren (dürfen) ist die Korrelationsmatrix R das Produkt aus der Ladungsmatrix (A), Korrelationsmatrix der Faktoren (C) und der Transponierten der Ladungsmatrix (A').

• Überla 1971: SR  Fundamentaltheorem   52, 53, 60, 64, 65

Generalfaktor

• Überla 1971: SR  g 5,8,142

Givens-Rotation
"In der linearen Algebra ist eine Givens-Rotation (nach Wallace Givens) eine Drehung in einer Ebene, die durch zwei Koordinaten-Achsen aufgespannt wird. Manchmal wird dies auch als Jacobi-Rotation (nach Carl Gustav Jacobi) bezeichnet." [W]

Hauptachsenmethode.  (Überla, S.93)

• Überla 1971: SR  Hauptachsen   94 ff., 266 Hauptachsenanalyse   93, 146, 266 Hauptachsenmethode   92,93 ff., 122,145, 154

Hauptkomponentenanalyse (PCA)

• Überla 1971: SR  Hauptkomponentenanalyse   82, 93 ff., 124, 125, 240

Überla 1971: SR  Hauptkomponenten   88, 93, 128 —.Signifikanz    132
Überla 1971: SR  Hauptkomponentenmethode 87, 88, 93 ff.
Überla 1971: SR  Hauptkomponentenwerte   237 ff.

Image-Analyse
Von Guttman entwickelte Methode.

• Überla 1971: SR

Jacobi Rotation
"Die Jacobi-Rotation erfordert zwar mehr Rechenaufwand als das Householder-Verfahren (vgl. z.B. [19]), liefert aber gleichzeitig die zugehörigen Eigenvektoren.
Die symmetrische Matrix wird durch Ähnlichkeitsabbildungen mittels orthogonaler Drehmatrizen auf Diagonalgestalt gebracht, da die Diagonalelemente einer solchen Matrix zugleich ihre Eigenwerte sind. Das Verfahren wird abgebrochen, wenn die Norm der Nicht-Diagonalelemente genügend klein ist.
Multipliziert man alle Dreh-Matrizen miteinander, so stellen die Spaltenvektoren der Produktmatrix gerade die Eigenvektoren der gegebenen Matrix dar." Herrmann (1985, S. 30)

Kanonische Faktorenanalyse. Revenstorf 1976, S.

Kommunalität

• Überla 1971: SR   Gesamtkommunalität   66 ff., 126, 138

Kommunalitätsmatrix

Kommunalitätsproblem.

Korrelation

Korrelationsmatrix

Mathematik der Faktorenanalyse.

Maximum Likelihood Faktorenanalye (Lawley & Maxwell 1963).

Multiples Faktorenanalyse Modell

 

obliques Modell der Faktorenanalyse

Orthogonal

orthogonales Modell der Faktorenanalyse

Orthonormal

Polung der Items und Vorzeichen der Ladungen
 

Quadratstunme

QR-Zerlegung.
Die Zerlegung einer Matrix A = Q * R, wobei Q eine orthogonale und R eine obere Dreiecksmatrix ist. Hierfür stehen mehrere Verfahren zur Verfügung: Hausholder-Transformation, Givens-Rotation, Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren, .

Reproduktionsmatrix

Rotation

Rotationsproblem.

Spezifische Faktoren

Singulärwertzerlegung (SVD)

Two-Faktor-Methode Spearmans

 

Unique-Faktoren

Varianz

Vorzeichen und Vorzeichenproblem bei den Faktorladungen.
Meist werden grundlegenden Details und wichtige Grundfragen in der faktorenanalytischen Literatur übergangen oder oberflächlich im Nebenbei erledigt. Wie beweisen wir das am Beispiel der Bedeutung des Vorzeichens bei den Ladungen? Durchforsten der Sachregister oder Glossaren (nach z.B. Faktorenladungen, Ladungen, Ladungsquadrat, Vorzeichen) ist eine, wenn auch keine besonders gute Möglichkeit, weil die Register oft schlecht gemacht sind.

    Revenstorf 1976 hat in seinem Lehrbuch der Faktorenanalyse z.B. keinen Eintrag "Vorzeichen", weder im Sachregister noch im Glossar (S.125-129) obwohl im Text selbst (wenigstens) eine Äußerung zum Vorzeichen erfolgt, nämlich S. 230, Kapitel 7.2 Einfachstruktur: "Von Interesse ist der Betrag der Ladung, das Vorzeichen spielt keine Rolle, da eine hohe negative Ladung in diesem Zusammenhang genauso zu werten ist wie eine hohe positive Ladung. Eine Möglichkeit das Vorzeichen zu eliminieren, ist die Quadratur." Das ist natürlich Unsinn. Das Quadrat einer Größe ist etwas anderes als die Größe selbst. Die Ladung ist der Korrelationskoeffizizient zwischen dem (hypothetischen) Faktor und der Variable. Hier ist das Vorzeichen wesentlich und nicht zu vernachlässigen, da es die Richtung des Zusammenhanges angibt. Es ist natürlich von Bedeutung ob ein Faktor positiv oder negativ mit der Variable korreliert. Und die Streuung ist natürlich auch etwas anderes als der Zusammenhang wie der Korrelationskoeffizient auch etwas anderes ist als sein Quadrat, der Determinationskoeffizient. Kurz: Faktoren können Variable positiv oder negativ "laden" und das ist ein wesentlicher Unterschied.

    Harman (1970, p. 153) mißt den Vorzeichen der Ladungen offenbar bei, wenn er schreibt: "8. Interpretation of principal factors.—The coefficients of the first factor in Table 8.12 are all large and positive, indicating an important general factor of physical growth (G) among these variables. On the other hand, the second factor has loadings of opposite signs for the two subgroups of variables. From the nature of the variables, this bipolar factor might be called "Stockiness." If desired, of course, the signs of all the coefficients of this factor may be changed. Then this factor might be labeled "Lankiness."
    Whatever name is selected for a bipolar factor, its opposite characteristic should be clearly recognizable. A more fundamental approach is to find a basic term which connotes the entire continuum. For example, a bipolar factor which is named "Heat" (or, "Cold") would have the opposite characteristic "Cold" (or, "Heat"). A name representing both of these characteristics is "Temperature." These two approaches may be indicated schematically as in Figure 8.1."

    Vorzeichenbedeutung. Man sieht hier an den Daten, dass man die Vorzeichen bei den Faktorenladungen bei der Hauptkomponentenmethode klar interpretieren kann. Während die Vorzeichen bei allen Werten, die wachsen, positiv sind, werden sie negativ  bei den Daten (17 Sparquote und 24 Diskont), die negativ wachsen, also schrumpfen. Die Aufklärung der Bedeutung des Vorzeichens bei den Faktorenladungen ist für mich ein neuer Befund und soll daher auch gesondert ausgewiesen werden.

Interkorrelation CST: D-Struktur
 

D-Geborg  D-Anpas  D-Harmo  D-Hing D-Geborg  1.0000    0.3993   0.3357   0.3551 D-Anpas   0.3993    1.0000   0.4328   0.4950 D-Harmo   0.3357    0.4328  1.0000   0.3110 D-Hing    0.3551    0.4950   0.3110   1.0000

Alle 4 Motivgruppen der depressiven Grundstruktur D korrelieren mäßig positiv. Man sieht den Korrelationen nicht an, dass hier ein Generalfaktormodell, wenigstens aber ein Bi-Factormodell realisiert ist. Positive Korrelationen sind bei geglückter Operationalisierung zu erwarten und zu wünschen.

Die Eigwertanalyse ergibt:
 

Die Hauptponentenanalyse ergibt:

F = V * SQR(D)
D-Geborg      0.6991   -0.0043    0.7144    0.0297
D-Anpas     0.8079   -0.0910   -0.2097   -0.5432
D-Harmo     0.6954   0.6521   -0.2155    0.2115
D-Hing      0.7385   -0.5104   -0.2440    0.3669

Der Hingabefaktor korreliert hoch (0.7956) mit der Motivgruppe Hingabe und gering negativ mit Gbeorgenheit, Anpassung und Harmonie.
Der Faktor Anpassung ist von den Motivgruppen Geborgenheit (-0.0386) und Hingabe (0.0373) unabhängig, hängt aber deutlich negativ mit Harmonie (-0.5494) zusammen und das überrascht doch ein wenig.  Der Faktor Geborgenheit korreliert mit der Motivgruppe Geborgenheit deutlich positiv, mit Anpassung und Harmonie mäßig negativ und ist von der Motivgruppe Hingabe unabhängig (0.0375).
 

• Sponsel, Rudolf & Hain, Bernhard (1994). Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie.  Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology. Deutsch-Englisch. Übersetzt von Agnes Mehl. Kapitel 6 von Dr. Bernhard Hain: Bemerkungen über Korrelationsmatrizen. Erlangen: IEC-Verlag [ISSN-0944-5072  ISBN 3-923389-03-5]. Aktueller Preis: www.iec-verlag.de.
• Sponsel, R. (2005). Fast- Kollinearität in Korrelationsmatrizen mit Eigenwert-Analysen erkennen Ergänzungsband - Band II Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie.