(ISSN 1430-6972)
IP-GIPT DAS=22.10.2002 Internet-Erstausgabe, letzte Änderung: 19.01.20
Impressum: Diplom-PsychologInnen Irmgard Rathsmann-Sponsel und Dr. phil. Rudolf Sponsel
Stubenlohstr. 20 D-91052 Erlangen
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Willkommen in der Abteilung Wissenschaftstheorie, Methodologie und Statistisch-Mathematische Methoden in der Allgemeinen und Integrativen Psychologie, Psychodiagnostik und Psychotherapie, hier:
Ist die Alpha-Faktorenanalyse von Kaiser (1965) leistungsfähiger?
Zur Kritik der Faktorenanalyse
von Rudolf Sponsel, Erlangen
| Da Kaiser wie die meisten FaktorenanalytikerInnen es vorzieht auf die Darstellung, Analyse und kritische Erörterung der Reproduktionsmatrizen zu verzichten (damit sie nicht sehen müssen, was sie anrichten), betrachten wir zunächst die Originaldaten - und ihre Matrixanalyse - , auf sie sich Kaiser bezieht, um beurteilen zu können, ob mit der sog. Alpha- Faktorenanalyse irgendetwas gewonnen und verbessert wird, oder ob die gleichen abwegigen Reproduktions- Matrizen und Malträtierungen resultieren wie gewöhnlich in einer falsch verstandenen Mathematik der Produkt- Moment- Korrelationsmatrix * Abstract/ Zusammenfassung * Querverweise |
HARMAN, H.H.(USA: Personnel Research Branch, The Adjudant
General's Office)
"Modern Factor Analysis" 3.I. Chicago 1970:
(2) p.80 Table 5.3 Eight physical variables
for 305 Girls
Samp Or MD NumS Condit Determinant
HaInRatio R_OutIn K_Norm C_Norm
305 8 -1 -?
48.4 .000967398 .0062376
3.1 .066(0) .388(0)
|
|
********** Summary of standard correlation
matrix analysis ***********
File = H808.K08 N-order= 8
N-sample= 305 Rank= 8 Missing data = ?
Positiv Definit=Cholesky successful________= Yes with 0 negat.
eigenvalue/s
HEVA: Highest eigenvalue abs.value_________=
4.6728795957396132
LEVA: Lowest eigenvalue absolute value_____=
.096462640199736698
CON: Condition number HEVA/LEVA___________~=
48.442377132368477
DET: Determinant original matrix___________=
9.6739845312652618D-4
HAC: HADAMARD condition number_____________=
9.8265711281260626D-6
HCN: Heuristic condition |DET|CON__________=
1.99700863251016D-5
D_I: Determinant Inverse absolute value____=
1034
HDA: HADAMARD Inequality absolute value___<=
165719
HIR: HADAMARD RATIO: D_I / HDA ____________=
6.2376765334217995D-3
Highest inverse positive diagonal value____=
6.636303867
thus multiple r( 2.rest)_________________=
.921582178
There are no negative inverse diagonal values.
Maximum range (upp-low) multip-r( 7.rest)_=
9E-3
LES: Numerical stability analysis:
Ratio maximum range output / input _______=
3.060261118198108
PESO-Analysis correlation least Ratio RN/ON=
.065947 (<-> Angle = 3.78 )
Number of Ratios correlation RN/ON < .01__ =
0
PESO-Analysis Cholesky least Ratio RN/ON__ =
.388183 (<-> Angle = 22.84 )
Number of Ratios Cholesky RN/ON < .1 _____ =
0
Ncor L1-Norm L2-Norm Max
Min m|c| s|c| N_comp M-S
S-S
64 37
5.05 1 .237 .519
.208 378 .241 .179
class boundaries and distribution of the correlation-coefficients
-1 -.8 -.6 -.4 -.2 0
.2 .4 .6 .8 1
0 0 0
0 0 0 26
12 6 20
Original input data with 3-digit-accuracy and read with
3-digit-accuracy (for control here the analysed original
matrix):
1 2
3 4 5
6 7 8
1 1 .846 .805 .859
.473 .398 .301 .382 1 Height
2 .846 1 .881 .826
.376 .326 .277 .415 2 Arm span
3 .805 .881 1 .801
.38 .319 .237 .345 3 Length of forearm
4 .859 .826 .801 1
.436 .329 .327 .365 4 Length of lower leg
5 .473 .376 .38 .436
1 .762 .73 .629 5 Weight
6 .398 .326 .319 .329 .762
1 .583 .577 6 Bitrochanteric diameter
7 .301 .277 .237 .327 .73
.583 1 .539 7 Chest girth
8 .382 .415 .345 .365 .629
.577 .539 1 8 Chest width
i.Eigenvalue Cholesky i.Eigenvalue
Cholesky i.Eigenvalue Cholesky
1. 4.67288 1
2. 1.77098 .5332
3. .48104 .4597
4. .42144 .469
5. .23322 .876
6. .18667 .6412
7. .1373 .6665
8. .09646 .7226
Cholesky decomposition successful, thus the matrix is (semi)
positive definit.
[Intern: Analysed: 07/18/85 19:49:58 PRG version
15/03/94 MA_BAT6.BAS]
Die Faktoren nach der Original-Matrix
2 Faktormatrix nach der Originalmatrix F:
.859 .372
.842 .441
.813 .459
.84 .395
.758 -.525
.674 -.533
.617 -.58
.671 -.418
Transpose Factor Matrix F' :
.859 .842 .813 .84 .758
.674 .617 .671
.372 .441 .459 .395 -.525 -.533 -.58
-.418
Reproduction Matrix F * F' with DET= 1.8444830978194555D-115
.877 .887 .87 .869 .456
.381 .315 .421
.887 .903 .887 .881 .407
.332 .264 .38
.87 .887 .872 .864 .376
.304 .236 .353
.869 .881 .864 .861 .429
.355 .289 .398
.456 .407 .376 .429 .850
.791 .772 .728
.381 .332 .304 .355 .791 .739
.726 .675
.315 .264 .236 .289 .772 .726
.717
.657
.421 .38 .353 .398 .728
.675 .657 .625
[Intern: Analysis from 10/21/02 20:35:44 with
KORFAK1.BAS (08/31/94) 2 Factors data from file C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\FAK\NEU\H808\FAK\H808.F2
Reproduction matrix in C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\FAK\NEU\H808IMA
Reproduction correlations in C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\FAK\NEU\H8D.F08
Einlesen im MAT-Format 11,12,13,...N*M-Werte eingelesen
8 urspruengl. Zahl Variable reproduziert durch 2 Faktoren]
RO-Residual-Analyse zwischen Originalmatrix und der aus den zwei Faktoren rückgerechneten Reproduktionsmatrix RO
Matrix residuals (whole matrix inclusive diagonal):
Mean absolute values of residuals = .057819710012820761
Sigma absolute values of residuals = .069870909870785513
Maximum range absolute values = .37517270860428772
(r8.8)
Matrix residuals upper triangular matrix without diagonal:
Mean absolute values of residuals = .038291497867569948
Sigma absolute values of residuals = .03604363
Maximum range absolute values = .14251385172588222
(r6.7)
RO-Residual-Analysis: Mean= .05781971 Sigma= .06987091 Maximum range= .37517271 (r8.8)
Original Korrelations-Matrix A:
1 .846 .805 .859
.473 .398 .301 .382
.846 1 .881 .826
.376 .326 .277 .415
.805 .881 1 .801
.38 .319 .237 .345
.859 .826 .801 1
.436 .329 .327 .365
.473 .376 .38 .436 1
.762 .73 .629
.398 .326 .319 .329 .762 1
.583 .577
.301 .277 .237 .327 .73
.583 1 .539
.382 .415 .345 .365 .629 .577
.539 1
Reproduktionsmatrix aus zwei Faktoren der Original Matrix B:
.877 .887 .87 .869 .456
.381 .315 .421
.887 .903 .887 .881 .407 .332
.264 .38
.87 .887 .872 .864 .376
.304 .236 .353
.869 .881 .864 .861 .429 .355
.289 .398
.456 .407 .376 .429 .85
.791 .772 .728
.381 .332 .304 .355 .791 .739
.726 .675
.315 .264 .236 .289 .772 .726
.717 .657
.421 .38 .353 .398 .728
.675 .657 .625
Original Matrix of residuals:
.123 -.041 -.065 -.01 .017 .017 -.014 -.039
-.041 .097 -6E-3 -.055 -.031 -6E-3 .013 .035
-.065 -6E-3 .128 -.063 4E-3 .015 1E-3 -8E-3
-.01 -.055 -.063 .139 7E-3 -.026 .038 -.033
.017 -.031 4E-3 7E-3 .15 -.029 -.042
-.099
.017 -6E-3 .015 -.026 -.029 .261 -.143 -.098
-.014 .013 1E-3 .038 -.042 -.143 .283 -.118
-.039 .035 -8E-3 -.033 -.099 -.098 -.118 .375
Die Faktoren nach der Alpha-Faktorenanalyse von Kaiser (1965)
KAISER, H.F. & CAFFREY, J. (1965). Alpha Factor Analysis. Psychometrika 30, 1-14., p. 13
Alpha-Faktormatrix F:
.814 .42
.803 .496
.758 .494
.787 .432
.805 -.482
.68 -.42
.62 -.444
.645 -.29
Transpose Alpha-Factor Matrix F' :
.814 .803 .758 .787 .805 .68
.62 .645
.42 .496 .494 .432 -.482 -.42
-.444 -.29
Reproduction Alpha Matrix F * F' with DET= -2.1530485312129525D-118
.839 .862 .824 .822 .453 .377
.318 .403
.862 .891 .854 .846 .407 .338
.278 .374
.824 .854 .819 .81 .372
.308 .251 .346
.822 .846 .81 .806 .425
.354 .296 .382
.453 .407 .372 .425 .88
.75 .713 .659
.377 .338 .308 .354 .75
.639 .608 .56
.318 .278 .251 .296 .713 .608
.582 .529
.403 .374 .346 .382 .659 .56
.529 .5
[Intern: Analysis from 10/21/02 13:48:48
with KORFAK1.BAS (08/31/94) 2 Factors data from file C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\FAK\NEU\H08\ALPHA8.F02
Reproduction matrix in C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\FAK\NEU\ALPHA8.IMA
Reproduction correlations in C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\FAK\NEU\ALPHAD.F08
Einlesen im MAT-Format 11,12,13,...N*M-Werte
eingelesen 8 urspruengl. Zahl Variable reproduziert
durch 2 Faktoren]
RA-Residual-Analyse zwischen Originalmatrix und der aus der Alpha-Faktorenanalyse mit zwei Faktoren rückgerechneten Reproduktionsmatrix RA
Original-Matrix A:
1 .846 .805 .859
.473 .398 .301 .382
.846 1 .881 .826
.376 .326 .277 .415
.805 .881 1 .801
.38 .319 .237 .345
.859 .826 .801 1
.436 .329 .327 .365
.473 .376 .38 .436 1
.762 .73 .629
.398 .326 .319 .329 .762 1
.583 .577
.301 .277 .237 .327 .73
.583 1 .539
.382 .415 .345 .365 .629 .577
.539 1
Aus 2-Faktoren der Alpfa-Faktorenanalyse rückgerechnete
Matrix B:
.839 .862 .824 .822 .453
.377 .318 .403
.862 .891 .854 .846 .407
.338 .278 .374
.824 .854 .819 .81 .372
.308 .251 .346
.822 .846 .81 .806 .425
.354 .296 .382
.453 .407 .372 .425 .880
.750 .713 .659
.377 .338 .308 .354 .750 .639
.608 .560
.318 .278 .251 .296 .713 .608
.582
.529
.403 .374 .346 .382 .659 .560
.529 .500
RA-Residual-Analysis: Mean= .0482 Sigma= .093 Maximum range= .4999 (r8.8)
Matrix residuals (whole matrix inclusive diagonal):
Mean absolute values of residuals = .0482
Sigma absolute values of residuals = .093
Maximum range absolute values = .4999 (r8.8)
Matrix residuals upper triangular matrix without diagonal:
Mean absolute values of residuals = .0186
Sigma absolute values of residuals = 9.7D-3
Maximum range absolute values = .0409 (r2.8)
Matrix of residuals:
.1610 -.016 -.0195 .0369 .0202
.0209 -.0172 -.0212
-.016 .1092 .0273 -.0202 -.0313 -.0117
-6D-4 .0409
-.0195 .0273 .1814 -9D-3 7.9D-3
.011 -.0136 -6D-4
.0369 -.0202 -9D-3 .1940 .0107 -.0247
.0309 -.0173
.0202 -.0313 7.9D-3 .0107 .1197
.0122 .0169 -.03
.0209 -.0117 .011 -.0247 .0122 .3612
-.0251 .0166
-.0172 -6D-4 -.0136 .0309 .0169 -.0251 .4185
.0103
-.0212 .0409 -6D-4 -.0173 -.03 .0166
.0103 .4999
Die Originalmatrix ist positiv definit und
kann daher problemlos faktorisiert werden. Die Determinante ist zwar mit
DET = .000967398 bei nur 8 Variablen relativ klein, was eine oder mehrere
Fast-Kollinearitäten anzeigen könnte, doch wie man sieht, sind
zwei Faktoren viel zu wenig, um eine halbwegs angemessene Reproduktionsmatrix
zu erzeugen. Um zu sehen, ob die Alpha-Faktorenanalyse von Kaiser Besseres
leistet, vergleichen wir die Reproduktionsmatrix RO aus den zwei Faktoren
der Originalmatrix mit der Reproduktionsmatrix RA der zwei Faktoren nach
der Alpha-Faktorenanalyse von Kaiser:
RO-Residual-Analysis:Die Abweichungen der Original-Reproduktionsmatrix ergeben im Mittel 0.0578 gegenüber 0.0482 der Alpha-Reproduktionsmatrix, das ist ein um 0.0096 besserer Wert. Vergleicht man die maximalen Wertabweichungen beider Verfahren, so ergibt sich bei der Alpha- Faktorenanalyse ein um 0.1247 höherer und damit viel schlechterer Wert. So gesehen zeigt sich die Alpha-Faktorenanalyse zumindest bei diesem Beispiel als keineswegs bessere oder überlegenere Methode. Man wird hier mindestens vier Faktoren brauchen, vielleicht sogar 6 oder 7, um die Ursprungsmatrix gut zu reproduzieren. Querverweise |
Produkt-Moment-Korrelationsmatrix: Eine genotypische Korrelationsmatrix ist symmetrisch, enthält in der Hauptdiagonalen Einsen, Werte zwischen +1 und -1 und, das ist das Wichtigste, sie ist positiv semidefinit, enthält also keine negativen Eigenwerte. Phänotypische Korrelationsmatrizen sehen äußerlich aus wie genotypische Korrelationsmatrizen (symmetrisch, Hauptdiagonalen mit Einsen besetzt, Werte zwischen +1 und -1) müssen aber keine positiv semidefiniten Produkt- Moment- Korrelationsmatrizen sein, was bei der Eigenwertanalyse offenbar wird. Eine Produkt-Moment-Korrelationsmatrix repräsentiert so viele Relationen (lineare Abhängigkeiten) wie sie Eigenwerte 'nahe' 0 enthält. Um genau diese Anzahl ist sie auch auf Faktoren zurückführbar, wenn aus den Faktoren die ursprüngliche Matrix wieder repoduzierbar sein soll. Nach Hain (1994, Kap. 6, S. 20, Satz 3.4) gilt die Isometrie zwischen den zentrierten normalisierten Rohwerten und der oberen Cholesky Dreiecksmatrix. Daraus folgt: Wer die Korrelationsmatrix verändert, verändert die Rohdaten. Darum kümmern sich die FaktorenenalytikerInnen im allgemeinen nicht, weil sie statt echte Gesetzmäßigkeiten, d.h. Eigenwerte 'nahe' 0 zu suchen, davon besessen sind, Variable zu reduzieren, gewöhnlich um den Preis der Rohdatenveränderung. D.h. die Faktorenmatrix repräsentiert gewöhnlich nicht mehr die Rohdaten. Bei strenger Betrachtung kann man auch, wenn es mit Wissen und Absicht geschieht, von Datenfälschung sprechen. Enthält die Matrix allerdings Relationen (lineare Abhängigkeiten), so verändert eine Reduktion der Matrix auf die Faktoren diese nicht. In empirischen Fällen wird man aber selten Eigenwerte mit 0, nur 'nahe' 0 erhalten, so daß die Gretchenfrage einer mathematisch begründeten und verantwortlichen Faktorenanalyse darauf hinausläuft, was bei welcher Ordnung - und damit der gegebenen Spur und Eigenwertsumme - der Matrix ein Eigenwert 'nahe' 0 sein soll. Ich schätze 1-2% der Ordnung, Spur oder Eigenwertsumme. Kaiser 'Kriterium' (Eigenwerte < 1) oder gar der Screetest sind jedenfalls völlig ungeeignet. Siehe auch Kalveram.
Standort: Ist die Alpha-Faktorenanalyse von Kaiser (1965) leistungsfähiger?.
*
Einführung und Überblick. Kritik der Handhabung der Faktorenanalyse
Überblicks- und Verteilerseite: Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie
*
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z.B. Faktorenanalyse site:www.sgipt.org |
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Zitierung
Sponsel, Rudolf (DAS). Ist die Alpha-Faktorenanalyse von Kaiser (1965) leistungsfähiger? IP-GIPT. Erlangen: https://www.sgipt.org/wisms/fa/alpha_fa.html
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