SGIPT
Impressum: Diplom-PsychologInnen Irmgard Rathsmann-Sponsel und Dr. phil. Rudolf Sponsel
Stubenlohstr. 20 D-91052 Erlangen
Internet Publikation für Allgemeine und Integrative Psychotherapie IP-GIPT DAS=23.10.2002
Anfang_ Trapezoid FA _ Überblick _ Relativ Aktuelles _ Rel. Beständiges _ Titelblatt _ Konzept _ Archiv _ Region _ Service iec-verlag _Mail: _ sekretariat@sgipt.org _ Zitierung & Copyright
__ _Wichtige Hinweise zu Links und Empfehlungen
Willkommen in der Abteilung Wissenschaftstheorie, Methodologie und Statistisch-Mathematische Methodenin der Allgemeinen und Integrativen Psychologie, Psychodiagnostik und Psychotherapie, hier Kritik der Faktorenanalyse:Aus 4-Faktoren rückgerechnete Thurstone'schen Trapezoid Korrelationsmatrix*
von Rudolf Sponsel, Erlangen
Internet-Erstausgabe 15.6.2001, Letztes Update 23.10.2Querverweis: Dokumentation Rundungsfehler & Kollinearität am THURSTONEschen Trapezoid- Beispiel * (korrigiert hier) * Biographie hier * Primaries hier Zusammenfassung - Abstract
Originaltext Thurstone und Trapezoid Graphik hier * (korrigiert hier)
1) Thurstone hat aus didaktischen und argumentativen Gründen einige Beispiele ersonnen, um die Idee der Faktorenanalyse plausibel und anschaulich zu begründen. Eines seiner berühmtesten Beispiele ist die Messung der verschiedenen abgeleiteten Parameter eines Trapezoids. Die Messung und Nicht-Berechnung sollte die empirische Situation simulieren. Die verschiedenen Messungen und Vorgaben sorgen dann auch dafür, daß es genügend unterschiedliche Werte und damit auch unterschiedliche Korrelationskoeffizienten gibt. Das Trapezoid wird nun durch vier Parameter vollständig bestimmt. Alle anderen Größen können daraus abgeleitet werden. Es ist daher unmittelbar plausibel, daß die Korrelationsmatrix, die sich aus den den vier Parametern und 12 abgeleiteten Werten ergibt, aus vier Faktoren konstituiert gedacht werden kann.2) Ergebnis der Residualanalyse (Zur Methode)
Tatsächlich sind die Abweichungen zwischen der Originalmatrix und der aus vier Faktoren rückgerechnteten Matrix gering und repräsentieren die Originalmatrix ziemlich gut. Die mittleren Abweichungsbeträge über alle Werte ergaben einen arithmetischen Mittelwert Mean = .019 mit einer Standardabweichung Sigma= .029 mit einem maximalen Abweichungsbetrag von .30 bei (r2.2). Zum Vergleich die Abweichnungen bei Berechnung des Trapezoids hier.3) Die Standard-Matrix-Analyse der aus den 4-Faktoren rückgerechneten Korrelationsmatrix* zeigt, daß diese nicht positiv definit ist. Sie hat insgesamt erwartungsgemäß 12 kleine und davon zwar sieben negative, aber wahrscheinlich problemlos 'therapierbare' negative Eigenwerte.
Analysis from 04/15/94 16:57:06 with KOR_FAK.BAS (04/15/94)
4 Factors data from file C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\FAK\TH432F4D.FAK
Reproduction matrix in C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\FAK\NEU\TH432F4D.IMA
Reproduction correlations in C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\FAK\NEU\TH432F4D.F15Hinweis: Omikron Basis auf dem Atari St verwendet für die Exponentialdarstellung bei doppelter Genauigkeit D-zzz. Das bedeutet Exp-zzz.
Originalquelle der Faktor-Matrix:
THURSTONE, L. L. (USA: University Of Chicago) "Multiple Factor Analysis" Chicago 1947, p.427-436 "A trapezoid population", p. 432 Table 8 Orthogonal Factor MatrixFaktormatrix F:
.57 .44 .63 .16
.59 -.03 -.01 .59
.79 -.46 .38 .03
.81 .35 -.42 -.25
.88 .13 -.38 -.24
.87 .46 -.14 -.12
.96 -.02 .3 0
.98 -.07 -.02 -.1
.95 -.19 .1 .27
.88 .25 -.36 .17
.78 .39 -.44 -.14
.97 .09 .1 -.05
.98 .01 -.09 .06
.21 .47 .65 -.38
-.6 .5 -.44 .37
-.46 .77 .02 .08Transpose Factor Matrix F' :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
.57 .59 .79 .81 .88 .87 .96 .98 .95 .88 .78 .97 .98 .21 -.6 -.46
.44 -.03 -.46 .35 .13 .46 -.02 -.07 -.19 .25 .39 .09 .01 .47 .5 .77
.63 -.01 .38 -.42 -.38 -.14 .3 -.02 .1 -.36 -.44 .1 -.09 .65 -.44 .02
.16 .59 .03 -.25 -.24 -.12 0 -.1 .27 .17 -.14 -.05 .06 -.38 .37 .08Reproduction Matrix F * F' with DET= 3.8931971330682121D-229
.94 .41 .49 .31 .28 .59 .73 .5 .56 .41 .32 .65 .52 .68 -.34 .1
.41 .7 .49 .32 .38 .43 .56 .52 .72 .62 .37 .54 .61 -.12 -.15 -.25
.49 .49 .98 .31 .48 .42 .88 .8 .88 .45 .27 .76 .74 .19 -.86 -.71
.31 .32 .31 1.02 .98 .95 .64 .8 .59 .91 .99 .79 .82 .16 -.22 -.13
.28 .38 .48 .98 .99 .91 .73 .88 .71 .9 .94 .84 .88 .09 -.38 -.33
.59 .43 .42 .95 .91 1 .78 .84 .69 .91 .94 .88 .86 .35 -.27 -.06
.73 .56 .88 .64 .73 .78 1.01 .94 .95 .73 .61 .96 .91 .39 -.72 -.45
.5 .52 .8 .8 .88 .84 .94 .98 .92 .84 .76 .95 .96 .2 -.65 -.51
.56 .72 .88 .59 .71 .69 .95 .92 1.02 .8 .59 .9 .94 .07 -.61 -.56
.41 .62 .45 .91 .9 .91 .73 .84 .8 1 .92 .83 .91 0 -.18 -.21
.32 .37 .27 .99 .94 .94 .61 .76 .59 .92 .97 .75 .8 .11 -.13 -.08
.65 .54 .76 .79 .84 .88 .96 .95 .9 .83 .75 .96 .94 .33 -.6 -.38
.52 .61 .74 .82 .88 .86 .91 .96 .94 .91 .8 .94 .97 .13 -.52 -.44
.68 -.12 .19 .16 .09 .35 .39 .2 .07 0 .11 .33 .13 .83 -.32 .25
-.34 -.15 -.86 -.22 -.38 -.27 -.72 -.65 -.61 -.18 -.13 -.6 -.52 -.32 .94 .68
.1 -.25 -.71 -.13 -.33 -.06 -.45 -.51 -.56 -.21 -.08 -.38 -.44 .25 .68 .81
Residualanalyse Original Trapezoid Korrelationsmatrix und aus vier Faktoren rückgerechnete Korrelationsmatrix*
Matrix A from C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\FAK\NEU\TH432F4D.F16
Matrix B from C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\K\T\TH43116.K16
Matrix RES(iduals) in C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\FAK\NEU\TH432F4D.RES
Analysis from 04/15/94 18:04:38********* Residual analysis ***********
Matrix residuals (whole matrix inclusive diagonal):
Mean absolute values of residuals = .018999999990940094
Sigma absolute values of residuals = .028999999986171722
Maximum range absolute values = .29999999985694885 (r2.2)Matrix residuals upper triangular matrix without diagonal:
Mean absolute values of residuals = .015999999992370605
Sigma absolute values of residuals = .016999999991893768
Maximum range absolute values = .089999999957084656 (r14.16)Residual-Analysis: Mean= .019 Sigma= .029 Maximum range= .3 (r2.2)
Matrix A:
.94 .41 .49 .31 .28 .59 .73 .5 .56 .41 .32 .65 .52 .68 -.34 .1
.41 .70 .49 .32 .38 .43 .56 .52 .72 .62 .37 .54 .61 -.12 -.15 -.25
.49 .49 .98 .31 .48 .42 .88 .8 .88 .45 .27 .76 .74 .19 -.86 -.71
.31 .32 .31 1.02 .98 .95 .64 .8 .59 .91 .99 .79 .82 .16 -.22 -.13
.28 .38 .48 .98 .99 .91 .73 .88 .71 .9 .94 .84 .88 .09 -.38 -.33
.59 .43 .42 .95 .91 1 .78 .84 .69 .91 .94 .88 .86 .35 -.27 -.06
.73 .56 .88 .64 .73 .78 1.01 .94 .95 .73 .61 .96 .91 .39 -.72 -.45
.5 .52 .8 .8 .88 .84 .94 .98 .92 .84 .76 .95 .96 .2 -.65 -.51
.56 .72 .88 .59 .71 .69 .95 .92 1.02 .8 .59 .9 .94 .07 -.61 -.56
.41 .62 .45 .91 .9 .91 .73 .84 .8 1 .92 .83 .91 0 -.18 -.21
.32 .37 .27 .99 .94 .94 .61 .76 .59 .92 .97 .75 .8 .11 -.13 -.08
.65 .54 .76 .79 .84 .88 .96 .95 .9 .83 .75 .96 .94 .33 -.6 -.38
.52 .61 .74 .82 .88 .86 .91 .96 .94 .91 .8 .94 .97 .13 -.52 -.44
.68 -.12 .19 .16 .09 .35 .39 .2 .07 0 .11 .33 .13 .83 -.32 .25
-.34 -.15 -.86 -.22 -.38 -.27 -.72 -.65 -.61 -.18 -.13 -.6 -.52 -.32 .94 .68
.02 -.25 -.71 -.13 -.33 -.06 -.45 -.51 -.56 -.21 -.08 -.38 -.44 .25 .68 .81Matrix B:
1 .5 .5 .32 .29 .58 .72 .49 .58 .45 .31 .66 .53 .76 -.35 .11
.5 1 .5 .32 .36 .42 .57 .49 .74 .67 .33 .54 .64 -.16 -.14 -.23
.5 .5 1 .32 .52 .42 .88 .82 .9 .45 .3 .78 .75 .19 -.84 -.72
.32 .32 .32 1 .95 .96 .65 .8 .61 .91 .98 .78 .82 .12 -.22 -.15
.29 .36 .52 .95 1 .9 .75 .9 .75 .9 .94 .84 .89 .05 -.37 -.31
.58 .42 .42 .96 .9 1 .78 .83 .7 .92 .94 .86 .86 .34 -.29 -.09
.72 .57 .88 .65 .75 .78 1 .95 .95 .74 .64 .95 .91 .39 -.69 -.46
.49 .49 .82 .8 .9 .83 .95 1 .93 .83 .78 .94 .95 .19 -.64 -.52
.58 .74 .9 .61 .75 .7 .95 .93 1 .79 .6 .9 .93 .11 -.64 -.57
.45 .67 .45 .91 .9 .92 .74 .83 .79 1 .9 .83 .9 .01 -.22 -.21
.31 .33 .3 .98 .94 .94 .64 .78 .6 .9 1 .77 .8 .11 -.12 -.09
.66 .54 .78 .78 .84 .86 .95 .94 .9 .83 .77 1 .97 .34 -.59 -.39
.53 .64 .75 .82 .89 .86 .91 .95 .93 .9 .8 .97 1 .12 -.52 -.44
.76 -.16 .19 .12 .05 .34 .39 .19 .11 .01 .11 .34 .12 1 -.28 .34
-.35 -.14 -.84 -.22 -.37 -.29 -.69 -.64 -.64 -.22 -.12 -.59 -.52 -.28 1 .76
.11 -.23 -.72 -.15 -.31 -.09 -.46 -.52 -.57 -.21 -.09 -.39 -.44 .34 .76 1Matrix of residuals:
-.06 -.09 -.01 -.01 -.01 .01 .01 .01 -.02 -.04 .01 -.01 -.01 -.08 .01 -.01
-.09 -.30 -.01 0 .02 .01 -.01 .03 -.02 -.05 .04 0 -.03 .04 -.01 -.02
-.01 -.01 -.02 -.01 -.04 0 0 -.02 -.02 0 -.03 -.02 -.01 0 -.02 .01
-.01 0 -.01 .02 .03 -.01 -.01 0 -.02 0 .01 .01 0 .04 0 .02
-.01 .02 -.04 .03 -.01 .01 -.02 -.02 -.04 0 0 0 -.01 .04 -.01 -.02
.01 .01 0 -.01 .01 0 0 .01 -.01 -.01 0 .02 0 .01 .02 .03
.01 -.01 0 -.01 -.02 0 .01 -.01 0 -.01 -.03 .01 0 0 -.03 .01
.01 .03 -.02 0 -.02 .01 -.01 -.02 -.01 .01 -.02 .01 .01 .01 -.01 .01
-.02 -.02 -.02 -.02 -.04 -.01 0 -.01 .02 .01 -.01 0 .01 -.04 .03 .01
-.04 -.05 0 0 0 -.01 -.01 .01 .01 0 .02 0 .01 -.01 .04 0
.01 .04 -.03 .01 0 0 -.03 -.02 -.01 .02 -.03 -.02 0 0 -.01 .01
-.01 0 -.02 .01 0 .02 .01 .01 0 0 -.02 -.04 -.03 -.01 -.01 .01
-.01 -.03 -.01 0 -.01 0 0 .01 .01 .01 0 -.03 -.03 .01 0 0
-.08 .04 0 .04 .04 .01 0 .01 -.04 -.01 0 -.01 .01 -.17 -.04 -.09
.01 -.01 -.02 0 -.01 .02 -.03 -.01 .03 .04 -.01 -.01 0 -.04 -.06 -.08
-.01 -.02 .01 .02 -.02 .03 .01 .01 .01 0 .01 .01 0 -.09 -.08 -.19
Standard-Matrix-Analyse der aus den vier Faktoren
rückgerechneten Korrelationsmatrix*nach: THURSTONE, L. L. (USA: University Of Chicago) "Multiple Factor Analysis" Chicago 1947, p.427-436 "A trapezoid population", p. 432 Table 8 Orthogonal Factor Matrix
[Interne Dateiquelle: TH432F4D.F16]
Samp__Ord__MD__NumS__Condition__Determinant__HaInRatio__R_OutIn__K_Norm__C_Norm
32 16 0 --7 9085.7 -1.9359D-25 5.01D-14 30174.2 1D-3(11) -1(-1)********** Summary of standard correlation matrix analysis ***********
Erläuterungen zur Matrixanalyse:
Numerische Laien hier und Professionell Interessierte hierFile = TH432F4D.F16 N-order= 16 N-sample= 32 Rank= 16 Missing data = 0
Positiv Definit=Cholesky successful________= No with 7 negat. eigenvalue/s
HEVA: Highest eigenvalue abs.value_________= 10.201466540388172
LEVA: Lowest eigenvalue absolute value_____= 1.1228103636744726D-3
CON: Condition number HEVA/LEVA___________~= 9085.6540609432794
DET: Determinant original matrix (OMIKRON)_= -1.9359495D-25
DET: Determinant (CHOLESKY-Diagonal^2)_____= -999 (not positive definit)
DET: Determinant (PESO-CHOLESKY)___________= -999 (not positive definit)
DET: Determinant (product eigenvalues)_____= -1.9359495000000528D-25
DET: Determ.abs.val.(PESO prod.red.norms)__= 1.9359495D-25
HAC: HADAMARD condition number_____________= 6.6395105673464874D-32
HCN: Heuristic condition |DET|CON__________= 2.130776152178D-29
D_I: Determinant Inverse absolute value____= 5.1654239947891203D+24
HDA: HADAMARD Inequality absolute value___<= 1.0291013429630098D+38
HIR: HADAMARD RATIO: D_I / HDA ____________= 5.0193540510954199D-14
Highest inverse positive diagonal value____= 79.76859417
thus multiple r( 12.rest)_________________= .9937121
and 1 multiple r > .99
Highest inverse negative diagonal value____= -12.944051485
thus multiple r( 11.rest)_________________= 1.037909227 (!)
and there are 14 multiple r > 1 (!)
Maximum range (upp-low) multip-r( 11.rest)_= .122
LES: Numerical stability analysis:
Ratio maximum range output / input _______= 30174.238758082782
PESO-Analysis correlation least Ratio RN/ON= 6.7D-4 (<-> Angle = .04 )
Number of Ratios correlation RN/ON < .01__ = 11
PESO-Analysis Cholesky least Ratio RN/ON__ = (Not positiv definit)Ncor L1-Norm L2-Norm Max Min m|c| s|c| N_comp M-S S-S
256 153.7 10.64 1.02 -.86 .577 .28 7140 .323 .23class boundaries and distribution of the correlation coefficients
-1 -.8 -.6 -.4 -.2 0 .2 .4 .6 .8 1
2 10 10 18 16 16 24 34 47 76Original data with 2, input read with 2, computet with 19,
and showed with 2 digit accuracy
(for control here the analysed original matrix):
.94 .41 .49 .31 .28 .59 .73 .5 .56 .41 .32 .65 .52 .68 -.34 .1
.41 .7 .49 .32 .38 .43 .56 .52 .72 .62 .37 .54 .61 -.12 -.15 -.25
.49 .49 .98 .31 .48 .42 .88 .8 .88 .45 .27 .76 .74 .19 -.86 -.71
.31 .32 .31 1.02 .98 .95 .64 .8 .59 .91 .99 .79 .82 .16 -.22 -.13
.28 .38 .48 .98 .99 .91 .73 .88 .71 .9 .94 .84 .88 .09 -.38 -.33
.59 .43 .42 .95 .91 1 .78 .84 .69 .91 .94 .88 .86 .35 -.27 -.06
.73 .56 .88 .64 .73 .78 1.01 .94 .95 .73 .61 .96 .91 .39 -.72 -.45
.5 .52 .8 .8 .88 .84 .94 .98 .92 .84 .76 .95 .96 .2 -.65 -.51
.56 .72 .88 .59 .71 .69 .95 .92 1.02 .8 .59 .9 .94 .07 -.61 -.56
.41 .62 .45 .91 .9 .91 .73 .84 .8 1 .92 .83 .91 0 -.18 -.21
.32 .37 .27 .99 .94 .94 .61 .76 .59 .92 .97 .75 .8 .11 -.13 -.08
.65 .54 .76 .79 .84 .88 .96 .95 .9 .83 .75 .96 .94 .33 -.6 -.38
.52 .61 .74 .82 .88 .86 .91 .96 .94 .91 .8 .94 .97 .13 -.52 -.44
.68 -.12 .19 .16 .09 .35 .39 .2 .07 0 .11 .33 .13 .83 -.32 .25
-.34 -.15 -.86 -.22 -.38 -.27 -.72 -.65 -.61 -.18 -.13 -.6 -.52 -.32 .94 .68
.1 -.25 -.71 -.13 -.33 -.06 -.45 -.51 -.56 -.21 -.08 -.38 -.44 .25 .68 .81i.Eigenvalue Cholesky i.Eigenvalue Cholesky i.Eigenvalue Cholesky
1. 10.20147 .9695 2. 2.3391 .7219 3. 1.68886 .7603
4. .90178 .9208 5. .01444 -4.1D-3 6. .01098 -.8218
7. 8.88D-3 -1.1421 8. 5.64D-3 -2.3623 9. 3.38D-3 -2.7228
10.-1.12D-3 -3.5196 11.-2.14D-3 -3.9161 12.-5.76D-3 -5.3713
13.-7.72D-3 -6.5032 14.-8.91D-3 -.4732 15.-.01419 -2.3023
16.-.01469 -1.8044
The matrix is not positive definit. Cholesky decomposition is not success-Eigenvalues in per cent of trace = 15.12
1 .6747 2 .1547 3 .1117 4 .0596 5 1D-3 6 7D-4
7 6D-4 8 4D-4 9 2D-4 10-1D-4 11-1D-4 12-4D-4
13-5D-4 14-6D-4 15-9D-4 16-1D-3analysed: 06/13/01 22:38:16 PRG version 05/24/94 MA9.BAS
Gesamtzeit_____________ 62.65
Rang_____________ 0
Determinante_____ .055
Eigenwerte/Vekt__ 0
Peso Kor+Chol____ 7.255
NuStabAnalyse____ .67
Statistik________ .71File = C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\TH432F4D\TH432F4D.SMA
with data from C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\TH432F4D\TH432F4D.F16
Date: 06/13/01 Time:22:38:16
Wird im Laufe der Zeit fortgesetzt, ergänzt und erweitert FN01 Sponsel, Rudolf & Hain, Bernhard (1994). Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie. Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology. Deutsch-Englisch. Übersetzt von Agnes Mehl. Kapitel 6 von Dr. Bernhard Hain: Bemerkungen über Korrelationsmatrizen. Erlangen: IEC-Verlag [ISSN-0944-5072 ISBN 3-923389-03-5]
Aktueller Preis: http://ww.iec-verlag.de
Zitierung
Sponsel, Rudolf (DAS). Aus 4-Faktoren rückgerechnete Thurstone'schen Trapezoid Korrelationsmatrix*. IP-GIPT. Erlangen: https://www.sgipt.org/wisms/fa/D04trap.htm
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