Vorwort und Danksagung 5

Abstract - Zusammenfassung - Summary 6
Definition Fast-Kollinearität 6
Die Korrelationsrechnung 6
Abstract - Zusammenfassung am Beispiel Fast-Kollinearität im IPF 7

Interpretations-Regeln zu Korrelationsmatrizen   8
Verschiedene Korrelationskoeffizienten 8
Unabhängigkeitsregel 9
Unkorreliertheitsregel 9
Linearitätsregel 9
Anmerkung: Tücken und Fallen pseudolinearer Zusammenhänge 9
Vieldeutigkeitsregel 9
Relevanter Merkmalsraum 9
Isometriesatz 10
Entgleiste Korrelationsmatrizen. 10
Eigenwerte und Korrelationsmatrix 10
Exkurs: Fallen und Tücken pseudokollinearer Korrelationsmatrizen 11
Verwirrende multiple Korrelationskoeffizienten bei Artefakten 11

Kollinearität und Fast-Kollinearität in dieser Arbeit   12
Voll- und Fast-Kollinearitäten in einer Korrelationsmatrix 13
Was heißt nun (Fast-) Kollinearität in Korrelationsmatrizen praktisch? 13
Praktische Fast-Kollinearitäts-Findungsmethoden für Korrelationsmatrizen: 14
Gesamtmaß der Fast-Kollinearität einer Korrelationsmatrix. 16
Wie viele Partitionen gibt es in einer Korrelationsmatrix der Ordnung n? 16
Wie viele Fast-Kollinearitäten K können in einer Partition vom Umfang m sein? 16
Wie viele Fast-Kollinearitäten gibt es in einer Korrelationsmatrix? 16
Maximale Fast-Kollinearitäten in Teilmatrizen 17
Berechnung der maximalen Fast-Kollinearitäten für Partitionen (MKP) 17

Auswertungs-, Such-, und Interpretations-Methoden der Fast-Kollinearität   18
Fast-Kollinearitätsregeln 18
Was heißt, eine Partition ist (fast-) kollinear? 18
Was heißt „unabhängige Variable“? 18
Kann man „unabhängige Variable“ in einer Korrelationsmatrix finden? 19
Was heißt abhängige Variable und wie kann man sie in einer Korrelationsmatrix finden? 19
Welcher Zusammenhang besteht zwischen unabhängigen bzw. abhängigen Variablen und fast-kollinearen bzw. nicht fast-kollinearen Variablen? 19
Tripel-Analyse 19
Interpretationsschlußweisen 19

Vorüberlegungen zu möglichen allgemeinen Algorithmen (in Quasi-Code)   19
Die Herausnahme oder Hinzunahme einer Variablen zu einer Gruppe kann theoretisch drei Wirkungen haben: 20
Die Bedeutung der Herausnahme einer Variablen aus einer Gruppe: 20
Die Bedeutung der Hinzunahme einer Variablen zu einer Gruppe: 20
Such-Methodik 20
Erste Stufe. 21
Zweite Stufe. 21
Ungereimtheiten, Unverstandenes und offene Fragen zur Fast-Kollinearität 22

Matrizen Beispiele zur Fast-Kollinearitätsanalyse   23

Extrembeispiele, Sonder- und Grenzfälle   24
1. Die Einheitsmatrix als Korrelationsmatrix interpretiert 24

• In-Out-Eigenwertanalyse der Einheitsmatrix als Korrelationsmatrix 24
• Zusammenfassung Einheitsmatrix 24

• In-Out-Eigenwertanalyse der Plus-Eins-Matrix als Korrelationsmatrix 25

Analyse einer „pseudo“-linearen Matrix   28
Die Korrelationen 29
Faktorenanalysen von 1-9 und Reproduktionsgüten zwischen Ursprungsmatrix
und der durch die Faktoren reproduzierten Matrix 29
Fast-Kollinearitätsanalyse der Gesamtmatrix und ihrer Partitionen 29
Zusammenfassung In-Out-Eigenwertanalyse „pseudo“-lineare Korrelationsmatrix 29

Analyse der „pseudo“-linearen Matrix mit vollem Wertebereich   30
Die Korrelationen 30
Faktorenanalysen von 1-9 und Reproduktionsgüten zwischen Ursprungsmatrix und der durch die Faktoren reproduzierten Matrix 30
Fast-Kollinearitätsanalyse der Gesamtmatrix und ihrer Partitionen 31
Fast-Kollinearitätsanalysen einiger Partitionen: Paare und Tripel 31
Zusammenfassung In-Out-Eigenwert-Analyse 31

Analyse einer „Norm-Matrix“ (Norm500.K16)    32
Die Gretchenfrage: was ist die Grenze für Fast-Kollinearität anzeigende Eigenwerte? 32
Erzeugung der Rohdatensätze (500*16) 32
Generalfaktormodell (Spearman ) 32
Dokumentation und Darstellung der „Norm-Matrix“ 33
Die ersten 10 absoluten Rohwert-Datensätze mit ihrem Erzeugungsprinzip 33
Die ersten 10 Rohwert-Datensätze nach Abweichungsprozenten dargestellt 33
Korrelationstabelle der Norm-Matrix  (N=500, V=16) 35
Eigenwerte der Norm-Matrix und ihre Korrelation mit den Fehlerprozenten 36
In-Out-Eigenwert-Analyse im Vergleich relative und absolute Eigenwert-Grenzen 37
Zusammenfassung In-Out-Eigenwertanalyse der Norm-Matrix 40
Korrelationen Relativkriterien, Eigenwerte, Abweichungsprozente, Absolutkriterien 40
Fast-Kollinearitäten in den einzelnen Partitionen im Vergleich 41
Vergleichende Zusammenfassung aller Paar- und Tripel- Partitionen 52
Warnung: Die Tücken und Fallen eines Relativkriteriums 53

Analyse einer Rechteck-Matrix (RE50_5) zur Frage Erkennen unabhängiger Variabler   54
ABC-Auswertung der Fast-Kollinearitäten 55
Ergänzung In-Out-Eigenwert-Analyse der RE50_5 55
In-Out-Zusammenfassung 56
Faktorenanalysen von 1-5 und Reproduktionsgüten zwischen Ursprungsmatrix
und der durch die Faktoren reproduzierten Matrix 56

Thurstone Trapezoid - Anwendung auf ein historisches Beispiel   57
Original Text Thurstones 57
Berechnete Rohwerte von Thurstone's Trapezoid (hier zweistellig wiedergegeben) 59
Faktorenanalysen von 1-16 und Reproduktionsgüten zwischen Ursprungsmatrix
und der durch die Faktoren reproduzierten Matrix 59
In-Out-Analyse des Thurstone’schen Trapezoiden 60
Zusammenfassung In-Out-Eigenwertanalyse 60

Analyse des Integrativen Persönlichkeitsfragebogens IPF    61
Eigenwerte und multiple Korrelationskoeffizienten beim IPF 61
Ergebnisse der 25 Faktorenanalysen und der Vergleiche zwischen der Original-Korrelationsmatrix und der aus den 1-25 Faktoren reproduzierten Matrizen: 62
Die Korrelationsmatrix des IPF (Basis 115 ProbandInnen): 62
In-Out-Eigenwertanalyse  IPF25 für die Partitionen 2 bis 10 aus 25 mit eig < 0,20 63
Vorbemerkung zur Zusammenfassung In-Out-Eigenwert-Analyse 65
Tabellarische Zusammenfassung In-Out-Eigenwert-Analyse des IPF 66
Fast-Kollinearitätsanalysen einiger Partitionen: Paare und Tripel 66
Fast-kollineare Paare im IPF (2) 66
Neue Fast-kollineare Tripel im IPF (7) 66
Fast-kollineare Tripel im IPF, die auf die fast-kollinearen Paare zurückgehen 67
Zusammenfassung und Interpretation der Paar- und Tripelanalyse der Fast-Kollinearität im Integrativen Persönlichkeitsfragebogen IPF 68

Analyse des AD-H-D Tests 69
Eigenwerte der AD-H-D Korrelationsmatrix N=444 V=115 70
Multiple Korrelationen und Eigenwerte der eigentlichen AD-H-D-Werte ohne Mittel 71
115 Faktorenanalysen und reproduzierte Korrelationsmatrizen 72
Aufspüren Fast-Kollinearitäten im AD-H-D-Test gelingt weitgehend nicht. 73
Auswahl aus V=113 nach dem Kriterium mulcor > 0,80 führt zu Reduktion auf 56 73
Zusammenfassung In-Out-Fast-Kollinearitätsanalyse mcor >0,80 mit V=56 73
Überraschende und verwirrende multiple Korrelationskoeffizienten bei artefizieller Kollinearität in der AD-H-D-Matrix? 74

Anhang:
Anhang 1: Kombinatorik der Partitionen, Kollinearitäten und beteiligten Variablen in der Korrelationsmatrix 75
Anhang 2: Tabelle Partitionen, Maximale Kollinearitäten und beteiligte Variable 76
Anhang 3: Tabelle Maximale Fast-Kollinearitäten cumkol in Partitionen i aus n 77
Anhang 4:  Schranken für Eigenwerte in Abhängigkeit nach Ordnung und Grenzen 78
Anhang 5: Berichtigung zum Thurstone’schen Trapezoiden (1994, Kap. 7.3) 79
Korrigiertes OMIKRON-Basic-Programm zur Berechnung der Parameter des THURSTONEschen Trapezoids (k) 79
Berichtigte Standard-Matrix-Analyse vom 22.10.2002 80
Anhang 6: Kurz-Charakterisierungen der Variablen (Dimensionen) im IPF 82
Anhang 7: Literaturhinweise und Links 85

Abbildungen und Graphen
Abb. 01  Kollinearität im IPF  S. 7
Abb. 02  Eine Korrelationsformel S. 8
Abb. 03  Pseudolineare Funktionen und Korrelationen  S. 28
Abb. 04  Der Werteverlauf der ersten 10 Datensätze der „Norm-Matrix“  S. 34
Abb. 05  Der Werteverlauf in Abweichungsprozenten der ersten 10 Datensätze der „Norm-Matrix“  S. 34
Abb. 06  Veränderung der absoluten Mittelwerte und der Veränderungsprozente S. 35
Abb. 07  Thurstones Trapezoid nach seinen Angaben S. 58
Abb. 08  Graph des sAin-Werte Verlaufs  S. 60
Abb. 09  Graph des Eigenwertgrößenverlaufs S. 60
Abb. 10  Fast-Kollinearität zwischen Real-Ich, Selbstbewußtsein und S-Typ S. 68

Definition Fast-Kollinearität
Eine Korrelationsmatrix mit Rangdefekt oder vollem Rang und Eigenwerten < Grenze heißt fast-kollinear. Da mehrere Eigenwerte diese Bedingung erfüllen können, umfaßt der Fast-Kollinearitätsbegriff in dieser Arbeit auch den in der - vor allem ökonometrischen - Literatur (Belsley et al.) häufig verwendeten Begriff der Multikollinearität, womit üblicherweise gemeint ist, daß in einer Matrix nicht nur eine (Fast-) Kollinearität enthalten ist, sondern mehrere, also mindestens zwei. (Fast-) Kollinearität kann in dieser Arbeit also auch (Fast-) Multikollinearität bedeuten. Aus praktischen Gründen umfaßt der hier definierte Begriff der Fast-Kollinearität auch die „echte“ Kollinearität. Eine fast-kollineare Matrix kann also auch echt kollinear sein. Fast-Kollinearitäts-Zählungen werden in dieser Arbeit mit A bezeichnet, echte [FN2] Kollinearitäts-Zählungen mit C und keine Fast-Kollinearität mit B. Es gilt hier C <= A.

Die Korrelationsrechnung
Korrelieren bedeutet ein Vierfaches: (1) Rohdaten erzeugen, (2) Zentrieren der Rohdaten (X - Mittelwert), (3) Normieren der zentrierten Werte (auf die Standardabweichung 1) und (4) Korrelieren. Mit der Korrelationsmatrix sind dann noch weitere (5) ... multivariate Verarbeitungen (z.B. partielle, multiple und kanonische Korrelation, Faktorenanalyse, Diskriminanzanalyse, kanonische Korrelation) und Matrizenoperationen der linearen Algebra möglich (z.B. Cholesky-Zerlegung, Hauptkomponentenanalyse, Erhard-Schmidtsche Orthogonalisierung). Jede Transformation birgt die Möglichkeit und Gefahr, daß ursprüngliche Relationen verändert bzw. vorher nicht vorhandene neu erzeugt werden [FN3] .

Abstract/Zusammenfassung am Beispiel IPF