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Internet Publikation  für Allgemeine und Integrative Psychotherapie  IP-GIPT DAS=30.05.01/12.6.01
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Willkommen in der Abteilung Wissenschaftstheorie, Methodologie und Statistisch-Mathematische Methoden in der Allgemeinen und Integrativen Psychologie, Psychodiagnostik und Psychotherapie hier zu Matrizen in der Psychologie und Psychotherapie:

Permutation und Determinanten Graphik 4 k

Numerisch instabile Korrelations-Matrizen bei Spearman   English

Rudolf  Sponsel, Erlangen

  __0. Zusammenfassung __  1. Numerisch instablie Korrelations Matrizen  __  2. Die zwei Naturen der Kollinearität  3. Dokumentation u. Analyse der 38 Spearman Matrizen  __    4. Literatur

0. Zusammenfassung

Es wird kurz in das Problem der numerisch instabilen Korrelations-Matrizen und Kollinearität sowie in deren destruktive und konstruktive Aspekte eingeführt. Es werden einige wichtige Kriterien der numerischen In/ Stabilitätsanalyse erläutert. Sodann wird über Spearmans (und Koautoren Hart und Holzinger) Korrelationsmatrizen berichtet. Insgesamt wurden 38 Korrelationsmatrizen erfaßt, davon 30 echt verschiedene (Ordnung 5-14, also eher kleine Matrizen). 8 der 30 (= 27%) weisen Druckfehler bei der oberen und unteren Dreiecksmatrix auf. Von den 30 echt verschiedenen Matrizen sind 7 (23%)  indefinit mit 1-3 negativen Eigenwerten deutlich über 0.  3 (10%)  sind klar numerisch instabil, aber positiv definit, 3 (10%) sind Borderlines, 17 (57%) sind numerisch stabil. In mindestens 4 (13%) von 30 Fällen wurden "corrections for attenuation" erfaßt, in mindestens 3 Fällen (13%) Mittelungen von Korrelationskoeffizienten, die teilweise nicht ausgewiesen werden. Die Fehlerrate paßt nicht zur sonstigen präzisen und systematischen Art SPEARMANs.


1. Numerisch instabile Korrelations-Matrizen

Als schlecht konditioniert bezeichnet man Systeme, wenn kleine Veränderungen auf der Eingangsseite (input) große Veränderungen auf der Ausgangsseite (ouput) hervorrufen. Lineare Gleichungssysteme und Korrelationsmatrizen sind häufig, quasi ihrer Natur nach, schlecht konditioniert, d. h. sie sind meist sehr instabil. Praktisch bedeutet das, daß man den Koeffizienten - noch vor jeder Signifikanzprüfung - nicht mehr vertrauen kann. In einer historischen Analyse von 769 Korrelationsmatrizen von 1910 bis 1993 fand Sponsel (1994) 47.5% numerisch instabile Korrelationsmatrizen. 17,9 % von ihnen waren indefinit, hatten also ihre positive Definitheit verloren und produzierten mathematisch unsinnige Ergebnisse wie z. B. multiple und partielle Korrelationskoeffizienten größer 1.

Beispiel: Multiple Korrelationskoeffizienten in der Matrix von Spearman and Hart (1913)
 
 r1.rest  =  .9495   r5.rest  = 6.9606   r9.rest  =  .7154  r13.rest =  .9175
 r2.rest  =  .9922   r6.rest  =  .9665   r10.rest =  .757
 r3.rest  =  .9669   r7.rest  = imaginary  r11.rest =  .9755
 r4.rest  = 1.3566  r8.rest  =  .7307  r12.rest = imaginary

Für numerische Instabilität gibt es eine ganze Reihe von Kriterien. Zu den wirksamsten Kriterien gehören: die Betrachtung der kleinsten Eigenwerte, die verschiedenen Konditionsmaße (Größter Eigenwertbetrag dividiert durch den kleinsten Eigenwertbetrag, die Hadamrd'sche Kondition, am besten angewendet auf die Inverse [(FADDEJEW & FADDEJEWA 1973] und die reduzierten Normen nach Pivotisierter Erhard Schmidt Orthonormalisation [PESO-Analyse nach einem Programm von Dr. B. Hain, 1994]).


2.  Die zwei Naturen der Kollinearität:
Konstrukive und destruktive Implikationen

Korrelationsmatrizen erreichen ihr numerisch instabiles Maximum, wenn die Matrix singulär wird. Dann ist die Determinante 0 und midnestens ein Eigenwert auch. Eine solche Matrix enthält dann mindestens eine Kollinearität. Anders gesprochen: sie enthält - mathematisch - redundante Information oder eine funktionale Beziehung. Mindestens eine Variable ist überflüssig. Wissenschaftstheoretisch bedeutet Kollinearität eine Gesetzmäßigkeit. Diese Betrachtung ist durch die Fixierung auf die Faktorenanalyse leider nie in den Mittelpunkt des Forschungsinteresses geraten. Befindet sich nun eine Korrelationsmatrix im Grenzbereich der Singularität, enthält also midnestens einen Eigenwert nahe bei 0, so enthält sie mindestens eine Fast-Kollinearität. In der realen Welt der Empirie und Numerik gibt es kaum exakt singuläre oder kollineare Korrelationsmatrizen, sondern imme rnur näherungsweise Singularität oder Fast-Kollinearität.

Produkt-Moment oder Pearson Korrelationsmatrizen müssen positiv definit sein. Da wirkliches numerisches Rechnen aber meist nach sehr wenigen Rundungen endlich ist, kann es vorkommen, daß Kollinearität im Zusammenhang mit Rundungsfehlern zum Verlust der positiven Definitheit einer Korrelationsmatrix führt. Das ist der einfache und leicht zu "therapierende" Fall. Man erkennt das "Einfache" daran, daß die negativen Eigenwerte sehr klein sind (Faustregel: 3. Nachkommastelle).

Problematischer ist es, wenn schwerwiegende methodische Fehler gemacht wurden, z. B. statt Pearson wurde tetrachorisch gerechnet (und hierbei womöglich noch die Normalverteilungsvoraussetzung verletzt wie bei THURSTONEs "Primaries 1938), die Koeffizienten wurden "corrected for attenuation", mit einer anderen dubiosen "Korrekturformel" behandelt oder die Koeffizienten beruhen auf unterschiedlichen Stichprobenumfängen wie bei Meta-Analysen oder der falschen Missing- Data- Lösung paarweiser Ausschluß. Man erkennt den Problemfall an der Größe der negativen Eigenwerte (Faustregel: neg. Eigenwertebeträge >= in der 2. Nachkommastelle), wodurch völlig entgleiste multiple und partielle Korrelationskoeffizienten entstehen können. Solche Korrelationsmatrizen sind nicht mehr zuverlässig interpretierbar.


3. Analyse und Dokumentation der 38 Spearman Matrizen

3.1. Explanation of the abbreviations of the evaluation

Samp_Or_MD_NumS_Condit_Determ_HaInRatio_R_OutIn_K_Norm_C_Norm
_
Samp  =:  Stichprobengröße.

Or    =:   Ordnung der Matrix.

Md    =:  Missing Data Information:  Meist steht hier der Eintrag <-1>, da es in der Fachliteratur leider nicht üblich ist, anzugeben, ob Missing Data vorliegen, was meist der Fall ist, und welche Methode der Behandlung des Problems angewandt wurde.

NumS  =: Hier gibt es bislang folgende Faustregel Bewertungen:

  ?     unklar, fraglich, z. B. bei Distanzmatrizen, die konstruktionsbedingt indefinit sein müssen
  +     numerisch stabil
  +?   Borderline, tendenziell eher numerisch stabil
  -?    Borderline, tendenziell eher numerisch instabil
  -      numerisch instabil
  --Z  indefinit mit Z negativen Eigenwerten
 
Liegt auch nur ein negativer Eigenwert vor, ist die Matrix indefinit und Entgleisungen jeglicher Art sind möglich. Die Matrix ist sozusagen "psychotisch" geworden: keinem Wert kann man mehr vertrauen, alles ist möglich. Ein solcher Zustand ist unter allen Umständen zu verhindern, oder rückgängig zu machen bzw. umgehend zu "therapieren" bevor weitergerechnet werden kann.

Condit = Konditionszahl: Größter Eigenwertbetrag dividiert durch kleinsten Eigenwertbetrag

Determ =: Determinante. Die Determinante repräsentiert den Betrag des Volumens des n-dimensionalen
Spats (mehrdimensionaler Körper). Je kleiner sie ist, desto kleiner ist das Volumen des Spats. Ein kleines Volumen kann hierbei durch einen einzigen kleinen Vektor, was einem kleinen Winkel entspricht, hervorgerufen werden. Das ist der kritische Fall. Eine kleine Determinante kann aber auch ganz "normal" durch den "natürlichen" Rechenprozeß entstehen, ohne daß sie numerische Instabilität ausdrücken muß. Eine Beurteilung allein aufgrund des Determinantenbetrages ist daher nicht sinnvoll. Folgende Faustregeln haben daher nur orientierenden Wert.

HaInRatio =:  HADAMARD Zahl Inverse. Die HADAMARDsche Zahl für die Inverse gibt an, in welchem Verhältnis die reale Determinante der Inversen gegenüber ihrem theoretischen Maximalwert bei gegebener Koeffizientenmatrix liegt. Nach der Faustregel von FADDEJEW & FADDEJEWA kann eine Inversendeterminante als klein gelten, für deren Verhältnis 1 : 50 000 gilt,  also deren HaInRatio < .00002 ist.

R_OutIn =: LES Input Output Ratio (SPONSEL 1994). Dieser Wert gibt an, um das wievielfache sich der output ändert, wenn an der dritten Stelle im Nachkommabereich eine Veränderung um eine Einheit vorgenommen wird.

K_Norm =: Kleinste PESO-Norm  Korrelationsmatrix. Die kleinste reduzierte Norm ("kürzeste" Norm, "flachster" Winkel) der Korrelationsmatrix ist ein Maß für den Grad der Kollinearität. Je kleiner der Wert der K_Norm, desto stärker der Grad an Kollinarität. Das Produkt aller reduzierten Normen ergibt den Betrag der Determinante. Es genügt also eine einzige kleine K_Norm, um das Volumen nahe an 0 zu führen (Entsprechung zur Funktion kleiner Eigenwerte). PESO für die Korrelationsmatrix ist so justiert, daß für alle K_Normen < 0.01 in Klammern die Anzahl der Relationen (Kollinearitäten) ausgegeben wird. Die Wurzel aus der K_Norm liefert eine obere Schranke für den höchsten Korrelationskoeffizienten.

C_Norm =: Kleinste PESO-Norm Cholesky-Matrix. Die C_Norm repräsentiert die kleinste reduzierte Norm der Cholesky-Matrix. Die Bedeutung der Cholesky-Zerlegung beruht u. a. auf der Isometrie zu den Rohdaten. Die kleinste C_Norm gibt den kleinsten Winkel an, der für die zentriert normierten Rohdaten vorliegt. Das Quadrat der kleinsten C_Norm ist größer-gleich der kleinsten K_Norm. Als empirische Faustregel gilt:  (C_Norm^2)/(2...5)  ~ K_Norm. Weiter gilt: r(multiple) = SQR(1-C_NORM^2). Aus der C_Norm können also direkt die multiplen Korrelationskoeffizienten bestimmt werden. Die Relation oder Kollinearität kann über die kleinste Cholesky Norm also auch über den bekannten und gewohnten multiplen Korrelationskoeffizienten ausgedrückt werden. Eine C_Norm <.31 kann hier als kritische Grenze für den Beginn deutlicherer Kollinearität dienen.
 
Weitere Erläuterungen zur Matrixanalyse: 
Numerische Laien hier    und      Professionell Interessierte hier
_


3.2   Dokumentation und Analyse von Spearman's Korrelation Matrizen

SPEARMAN, C. (GB: University College London),  HART, B.  (G)  "GENERAL ABILITY, ITS EXISTENCE AND NATURE"  The British Journal of Psychology, V, 1912-1913
Ausführliche Kollinearitätsanalyse und Therapie der Matrix hier   __   Ausführliche Matrixanalyse hier

 (G1) p.54, Table I  [Interne Quelle: SPEAR13.K13]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
-1   13 -1  --1   733.3  -.0000167538  2.21 D-12   394.2  5D-3(1) -1(-1)

[Interne Quelle: SPEAR62J.J05]
(G2) p.62,  Table III "Coeffcients of Bonser, boys and girls pooled together
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
-1   5  -1   +    4.68   .40507469    .4136093     .8     .479(0) .816(0)


SPEARMAN, C. (GB: University College London), HOLZINGER, K. (USA:) "NOTE ON THE SAMPLING ERROR OF TETRAD DIFFERENCES",  The British Journal of Psychology 16,1925/26, p.87 Table I (N=50)   ->  SPEARMAN, C. (A7) [Interne Quelle: SPEAH9.K09]



SPEARMAN, C. (GB: University College London)

 (1) "'GENERAL INTELLIGENCE', OBJECTIVELY DETERMINED AND MEASURED",
      The American Journal of Psychology, 15, 1904, p.275.

[Interne Quelle: SPEAR6.K06 ]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
 -1  6  -1  +?   29.5   .0174353774   .0689510    3.7     .086(0)  .431(0)


(2)  "THE THEORY OF TWO FACTORS" The Psychological Review 21, 1914,

(2a) p.102 Table I 'The SIMPSON-THORNDIKE Correlations ('Raw')'
    above diagonal r11.8 = .34

[Interne Quelle: ST14O.K14]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
 -1  14 -1  --2   485    .000001053    2.1 D-9      326   .008(1) -1(-1)

[Interne Quelle: ST14U.K14]
(2b) p.102 Table I 'The SIMPSON-THORNDIKE Correlations ('Raw')'.
below diagonal r8.11 = .54
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
 -1  14 -1  --2   1149   .000000470   6.87 D-13   4479    3D-3(1) -1(-1)

Bemerkung zu (3a,3b)
Die Korrelationen r5 und r8 der Durchstreichtests aus Tabelle I wurden gemittelt und als Korrelation r5 in Tabelle III zusammengefaßt. Im Gegensatz zu (A5) wird dieser ungewöhnliche Vorgang wenigstens bemerkt. Druckfehler bei r13.7, r7.13, r5.9, r9.5.  Siehe (SIM) Abilities nach (A4b)

(3a) p.112, Table III 'The SIMPSON-THORNDIKE Correlations After Pooling Together The Two Tests Of Cancellation' (above main diagonal r7.13=.27);  r5(p.112)=(r5+r8)/2 (p.102)).
[Interne Quelle: ST13OZ.Z13]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
-1   13 -1  --1  908.7  -.00000124     6.35D-11   1096.6  4D-3(1) -1(-1)

(3b) p.112 Table III (below main diagonal r13.7=.29; r5(p.112) = (r5+r8)/2 (p.102)).
[Interne Quelle: ST13UZ.Z13]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
-1   13 -1  --1   963.6  -.000001251   3.43D-11   1324.9  3D-3(1) -1(-1)


(S) "THE SUB-STRUCTURE OF THE MIND", The British Journal of Psychology, Vol.18, Part 3, 1928, N=40,

(S1) p.253: Table of correlations with n=40. Obtained by tossing as described. The correlations are arranged in best 'hierarchical' order.
[Interne Quelle: SPEAR10.K10]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
 40  10 -1   +    31.6   .001893539   .0087655      1     .138(0) .563(0)

(S2) p.253: Table of inter-columnar correlations obtained from the table preceding.
[Interne Quelle: SPEAR10B.K10]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
 10  10 0  --1   532.1  -.0001934245   7.09 D-13  5454.1  9D-3(1) -1(-1)


 "THE ABILITIES OF MAN  - THEIR NATURE AND MEASUREMENT" AMS Press New York 1970 reprint 2.ed. 1932 (first 1926/27)

(A1)  p.74   [Interne Quelle: SP74A5.K05 ]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
 -1   5 -1   +     14    .1907942394  .1426199     2.6    .157(0) .532(0)

(A2a) p.141 (Data from McDONNEL Biometrika 1901, N=3000) print error r3.6,r6.3 SP141A7O.K07 r3.6=.353.  [Interne Quelle:  SP141A7O.K07]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
3000 7  -1   +    33.3   .0121928243  .0254251     .8     .08(0)  .411(0)

(A2b) p.141  SP141A7U.K07 r6.3=.363. [Interne Quelle: SP141A7U.K07]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
3000 7  -1   +    33.4   .0121471758   .0254271    .9     .08(0)  .411(0)

(A3) p.143  SP143A8.K08  (Data from GATES, A. Journ. Educ. Research, 1924,
p.341 (print error r8,6, r8.7). [Interne Quelle: SP143A8.K08]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
115  8  -1  --1    81.1   -.00236261   .0003480    66.4   .04(0)  -1(-1)

(A4a)  p.144  r1.4=.579 (Data from DOLL, N=477). [Interne Quelle: SP144A6O.K06 ]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
477  6  -1   -?    40.2   .0123232675   .0199045    3.5   .077(0) .419(0)

(A4b)  p.144  r4.1=.580 (Data from DOLL, N=477) [Interne Quelle: SP144A6U.K06]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
477  6  -1   -?    40.3   .0123128172   .0198543    3.5   .077(0) .419(0)

Bemerkung zu p.145   **** -> DETAILED ANALYSIS  ****
Von der SIMPSON-THORNDIKE  Matrix gibt es verschiedene Quellen und unterschiedliche Korrelationsmatrizen:
a) SIMPSON-THORNDIKE original (mir nicht zugänglich).
b) SPEARMAN "Theory Of Two Factors", Psych.Rev. 21, 1914, p.102 Table I.
c) SPEARMAN "The Abilities Of Man",1.A. 1927 (p.145) nach -> PAWLIK 1968, p.106.
d) SPEARMAN "The Abilities Of Man",2.A. 1932, davon reprint 1970.
   Die Korrelationsmatrizen b, c) und d) sind unterschiedlich.
   r8.11 (in c) =.34 siehe auch (1),(2a),(3b)
   r8.11 (in b) =.54
   r8.11 (in d) =.34
Die numerischen Kriterienwerte von (c,d) und (b) unterscheiden sich daher (wesentlich):
In (c,d; r8.11 =.34):
    Ratio max. range out-/input= 326
    Condition number HEVA/LEVA = 485
In (b, r8.11 =.54):
    Ratio max. range out/input = 4479
    Condition number HEVA/LEVA = 1149

(A5) p.147  (Data from BROWN, W. Brit.J.Psych.1910 p.309)[Interne Quelle: SPBR8.K08]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
66   8  -1   +    7.7   .2088387535  .1645218    2.1    .348(0) .738(0)

Bemerkung zu (A5)
SPEARMANs Angaben (1932) zu einer Korrelationsmatrix von William BROWN (1910) stimmen mit dessen Originalangaben nicht überein. Nach längerer Überlegung und Analyse fand ich, daß SPEARMAN einige Korrelationskoeffizienten von BROWN einfach mittelte, ohne dies in irgendeiner Weise zu erklären. Die Rekonstruktion wurde außerdem durch eine andere Anordnung erschwert. Erstaunlich ist aber, daß die Matrix, obwohl gemittelt wurde, numerisch stabil ist.

(A6) p.147 (Data (N=757) from BONSER Brit.J. Psych. 1912,p.62.
[Interne Quelle: SP147A5.K05]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
 757 5  -1   +    4.68   .40507469    .4136093    .8      .479(0) .816(0)

(A7) p.148 (Data (N=50) from HOLZINGER) [Interne Quelle: SP148A9.K09]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
 50  9  -1   +    17.56  .04321785    .0304050     .9     .239(0) .667(0)

(A8a) p.149 (Data, N=149, from MAGSON Brit. J. Psych. Mon. Suppl.9, 1926), r1.7=.45, r2.5=.50. [Interne Quelle: SP149A7O.K07]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
149  7  -1   +    8.89   .10356768    .1976976     .6     .305(0) .719(0)

(A8b) p.149 r7.1=.48, r5.2=.28. [Interne Quelle: SP149A7U.K07]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
149  7  -1   +    9.23   .10814521    .1930725     .7     .29(0)  .704(0)

(A9) p.152  (Data from BALDWIN) [Interne Quelle: SP152A6.K06]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
-1   6  -1   -    136.9  .0001661343  .0023895     5.2    .025(0) .262(0)

(A10a) p.153  N=2599, r4.5=.331 [Interne Quelle: SP153A7O.K07]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
2599 7  -1   +     9.3   .1108558579  .2207524     .5     .298(0) .712(0)

(A10b) p.153  N=2599, r5.4=.337 [Interne Quelle: SP153A7U.K07]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
2599 7  -1   +     9.3   .1106713125  .2213055     .5     .298(0) .712(0)

(A11) p.156 [Interne Quelle: SP156A8.K08]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
 -1  8  -1   -?   50.9   .00030370    .0211751     1.7    .066(0) .409(0)

(A12) p.171 [Interne Quelle: SP171A5.K05]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
 -1  5  -1   -    157.8  .004854174   .0004100    175.1   .017(0)  .196(0)

(A13) p.218 "78 Normal Children (Corrected For Attenuation)"
[Interne Quelle: AP12A1.C12]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
 78  12 -1   -    96.9   .00008493    .0000471     21.1   .037(0) .322(0)

(A14) p.218  "22 Defective Children (Corrected For Attenuation)"
[Interne Quelle: SP12A2.C12]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
 22  12 -1  --3   815.5  -.0000000036  2.85 D-9   426.7   5D-3(1) -1(-1)

(A15)  Data, N=200, from COLLAR, Brit. J. Psych.

(A15a)  r4.5=.517 [Interne Quelle: SP231A6O.K06]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
 200 6  -1   +    21.2   .0366516723  .0343203     1.7    .122(0) .493(0)

(A15b)  r5.4=.255 [Interne Quelle: SP231A6U.K06]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
 200 6  -1  +?    26.8   .0348545063  .0272194     5.8    .093(0) .436(0)

(A16)  p.296, 4.K04,  N=77 [Interne Quelle: SP296A4.K04]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
 77  4  -1   +      5.9   .322311345  .3110141     .6     .38(0)  .753(0)

(A17) p.301 N=47 [Interne Quelle: SP301A9.K09]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
 47  9  -1   +    11.3   .1337945815  .0357932     4.4    .295(0) .695(0)

(A18) p.314 [Interne Quelle: SP314A4.K04]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
 -1  4  -1   +    20.8   .1618624096  .0513551     5.8    .105(0) .443(0)

(A19a) p.315  r3.6=-.10  r5.7= -.02 [Interne Quelle: SP315A7O.K07]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
-1   7  -1   +    6.9    .3680140648  .0591439     28.5   .382(0) .755(0)

(A19b) p.315  r6.3= .10  r7.5= -.32 [Interne Quelle: SP315A7U.K07]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
-1   7  -1   +    5.5    .3679044677  .1085426    21.4    .45(0)  .795(0)

(A20) p.325 [Interne Quelle: SP325A8.K08]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
 80   8  -1  +     7.6   .2312178632  .1175382    2.1     .383(0) .762(0)

(A21) p.346  (corrected for attenuation) [Interne Quelle: SP346A6C.C06]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
 140 6  -1 --2   131.4   .002747316   .0003696     73     .024(0) -1(-1)

(A22) p.347 "The following is the table for the students, after correcting for attenuation and eliminating the influence on g (by Yule's formula see p.156)":
[Interne Quelle: SP347A8C.C08]
Samp_Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
 -1  8  -1 --2   232.7   .00204695    .0000197    115.2   .016(0) -1(-1)


4. Literatur
 

  • FADDEJEW & FADDEJEWA "Numerische Methoden der Linearen Algebra",  dt. Berlin 1973.
  • HAIN, Bernhard (1994) "Bemerkungen über Korrelations-Matrizen", in:
  • Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie.  Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology. Deutsch-Englisch. Übersetzt von Agnes Mehl. Kapitel 6 von Dr. Bernhard Hain: Bemerkungen über Korrelationsmatrizen. Erlangen: IEC-Verlag [ISSN-0944-5072  ISBN 3-923389-03-5].

  • THURSTONE, L.L. (1938) "Primary Mental Abilities", Chicago.
    _


    Querverweise:
  • Für NichtmethodikerInnen: worauf kommt es an bei Korrelationsmatrizen
  • Für professionell Interessierte: Abkürzungen, Definition, Erklärung und Bedeutung zur Standard- (Korrelations)- Matrix- Analyse (SMA)
  • Gesamtzusammenfassung: "Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie"
  • Hintergrund und Entstehungsgeschichte der Arbeit "Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie"


  •  Wird im Laufe der Zeit fortgesetzt, ergänzt und erweitert
    FN01  Sponsel, Rudolf & Hain, Bernhard (1994). Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie.  Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology. Deutsch-Englisch. Übersetzt von Agnes Mehl. Kapitel 6 von Dr. Bernhard Hain: Bemerkungen über Korrelationsmatrizen. Erlangen: IEC-Verlag [ISSN-0944-5072  ISBN 3-923389-03-5]. Aktueller Preis: www.iec-verlag.de
    FN02  Am 12.6.01 wurden die Namen der Korrelations-Quelldateien [...] eingefügt.


    Zitierung
    Sponsel, Rudolf  (DAS). Numerisch instabile Korrelations-Matrizen bei Spearman. IP-GIPT. Erlangen: http://www.sgipt.org/wisms/nis/sma/spearman.htm
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