Internet Publikation für Allgemeine und Integrative Psychotherapie
IP-GIPTDAS=30.05.2001 Interneterstausgabe, letzte Änderung 21.12.6
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Willkommen in der Abteilung Wissenschaftstheorie, Methodologie und Statistisch-Mathematische Methoden in der Allgemeinen und Integrativen Psychologie, Psychodiagnostik und Psychotherapie hier zu Matrizen in der Psychologie und Psychotherapie:
 

Permutation und Determinanten Graphik 4 k

Kollinearitätsanalyse und Therapie
der indefiniten Spearman- & Hart- Matrix (1913) English

Rudolf  Sponsel, Erlangen

0. Zusammenfassung
Es wird gezeigt, wie mit Hilfe der HAINschen (1994) PESO-Analyse (Pivotisierte Erhard Schmidt Orthonormalisierung) und der numerischen Stabilitätsanalyse (Sponsel 1994) die Kollinearitätsanalyse durchgeführt werden kann.  Weiter wird gezeigt, wie die indefinite Korrelationsmatrix von Spearman & Hart 1913, die hochpathologische multiple und partielle Korrelationskoeffizienten produziert, mit Hilfe der THURSTONEschen Centroid-Methode "therapiert" werden kann.  Schließlich wird gezeigt, daß die Multikollinearität, also die mehrfachen Gesetzmäßigkeiten in dieser Korrelationsmatrix nach erfolgreichen "Centroid-Therapie" - leider - verschwinden.  Damit wird zugleich gezeigt, daß über indefinite Korrelationsmatrizen keine zuverlässigen Aussagen möglich sind. Zahlreiche auch historisch bedeutsame Korrelationsmatrizen wie z.B. die "Primaries ..." von THURSTONE - am extremsten bislang die Matrix einer Thurstone Schülerin - sind hiervon betroffen (Sponsel 1994, Empirical Correlation Matrices Report 1910-1993).

21.12.2006. Ergänzende Relativierung zur Interpretierbarkeit der indefiniten und damit Pseudokorrelationsmatrix
Es bestehen inzwischen große Zweifel, ob die indefinite Pseudokorrleationsmatrix interpretationsfähig ist.
 


1. Einführung
Indefinite Korrelationsmatrizen-Matrizen, also solche die ihre positive Definitheit verloren haben, produzieren unsinnige multiple und partielle Korrelationskoeffizienten, was meist auf schwerwiegende methodische Fehler zurückzuführen ist (Sponsel 1994). Besonders schlimme Fälle werden durch größere negative Eigenwerte angezeigt (Faustregel: > |.03|). Sind die negativen Eigenwerte hingegen "klein" (Faustregel: im dritten Nachkommastellenbereich), so ist die Störung ziemlich wahrscheinlich eine Folge von Kollinearität, d.h. die Repräsentation einer linearen Gesetzmäßigkeit, im Zusammenhang mit Rundungsfehlern, die beim konkreten numerischen Rechnen unumg„nglich sind. Mit indefiniten Korrelations-Matrizen kann man nicht mehr verantwortlich und vernünftig rechnen. Daher stellt sich die Frage, ob und wie man solche Matrizen "therapieren" kann. Ein effektives Verfahren haben KNOL & TEN BERGE (1989) vorgelegt. Wir wollen hier die Effiziens der THURSTONEschen Centroid-Methode an der Spearman- und Hart Matrix von 1913 demonstrieren. Zugleich soll gezeigt werden, wie mit Hilfe der HAINschen (1994) PESOAnalyse (Pivotisierte Erhard Schmidt Orthonormalisierung) und der numerischen Stabilitätsanalyse (Sponsel 1994) die Kollinearitätsanalyse durchgeführt werden kann.


2. Erläuterungen zu den Matrix Analyse Kriterien

Samp_Or_MD_NumS_Condit_Determ_HaInRatio_R_OutIn_K_Norm_C_Norm
_
Samp  =:  Stichprobengröße.

Or    =:   Ordnung der Matrix.

Md    =:  Missing Data Information:  Meist steht hier der Eintrag <-1>, da es in der Fachliteratur leider nicht üblich ist, anzugeben, ob Missing Data vorliegen, was meist der Fall ist, und welche Methode der Behandlung des Problems angewandt wurde.

NumS  =: Hier gibt es bislang folgende Faustregel Bewertungen:

  ?     unklar, fraglich, z. B. bei Distanzmatrizen, die konstruktionsbedingt indefinit sein müssen
  +     numerisch stabil
  +?   Borderline, tendenziell eher numerisch stabil
  -?    Borderline, tendenziell eher numerisch instabil
  -      numerisch instabil
  --Z  indefinit mit Z negativen Eigenwerten
 
Liegt auch nur ein negativer Eigenwert vor, ist die Matrix indefinit und Entgleisungen jeglicher Art sind möglich. Die Matrix ist sozusagen "psychotisch" geworden: keinem Wert kann man mehr vertrauen, alles ist möglich. Ein solcher Zustand ist unter allen Umständen zu verhindern, oder rückgängig zu machen bzw. umgehend zu "therapieren" bevor weitergerechnet werden kann.

Condit = Konditionszahl: Größter Eigenwertbetrag dividiert durch kleinsten Eigenwertbetrag

Determ =: Determinante. Die Determinante repräsentiert den Betrag des Volumens des n-dimensionalen
Spats (mehrdimensionaler Körper). Je kleiner sie ist, desto kleiner ist das Volumen des Spats. Ein kleines Volumen kann hierbei durch einen einzigen kleinen Vektor, was einem kleinen Winkel entspricht, hervorgerufen werden. Das ist der kritische Fall. Eine kleine Determinante kann aber auch ganz "normal" durch den "natürlichen" Rechenprozeß entstehen, ohne daß sie numerische Instabilität ausdrücken muß. Eine Beurteilung allein aufgrund des Determinantenbetrages ist daher nicht sinnvoll. Folgende Faustregeln haben daher nur orientierenden Wert.

HaInRatio =:  HADAMARD Zahl Inverse. Die HADAMARDsche Zahl für die Inverse gibt an, in welchem Verhältnis die reale Determinante der Inversen gegenüber ihrem theoretischen Maximalwert bei gegebener Koeffizientenmatrix liegt. Nach der Faustregel von FADDEJEW & FADDEJEWA kann eine Inversendetermi-
nante als klein gelten, für deren Verhältnis 1 : 50 000 gilt,  also deren HaInRatio < .00002 ist.

R_OutIn =: LES Input Output Ratio (SPONSEL 1994). Dieser Wert gibt an, um das wievielfache sich der output ändert, wenn an der dritten Stelle im Nachkommabereich eine Veränderung um eine Einheit vorgenommen wird.

K_Norm =: Kleinste PESO-Norm  Korrelationsmatrix. Die kleinste reduzierte Norm ("kürzeste" Norm, "flachster" Winkel) der Korrelationsmatrix ist ein Maß für den Grad der Kollinearität. Je kleiner der Wert der K_Norm, desto stärker der Grad an Kollinarität. Das Produkt aller reduzierten Normen ergibt den Betrag der Determinante. Es genügt also eine einzige kleine K_Norm, um das Volumen nahe an 0 zu führen (Entsprechung zur Funktion kleiner Eigenwerte). PESO für die Korrelationsmatrix ist so justiert, daß für alle K_Normen < 0.01 in Klammern die Anzahl der Relationen (Kollinearitäten) ausgegeben wird. Die Wurzel aus der K_Norm liefert eine obere Schranke für den höchsten Korrelationskoeffizienten.

C_Norm =: Kleinste PESO-Norm Cholesky-Matrix. Die C_Norm repräsentiert die kleinste reduzierte Norm der Cholesky-Matrix. Die Bedeutung der Cholesky-Zerlegung beruht u. a. auf der Isometrie zu den Rohdaten. Die kleinste C_Norm gibt den kleinsten Winkel an, der für die zentriert normierten Rohdaten vorliegt. Das Quadrat der kleinsten C_Norm ist größer-gleich der kleinsten K_Norm. Als empirische Faustregel gilt:  (C_Norm^2)/(2...5)  ~ K_Norm. Weiter gilt: r(multiple) = SQR(1-C_NORM^2). Aus der C_Norm können also direkt die multiplen Korrelationskoeffizienten bestimmt werden. Die Relation oder Kollinearität kann über die kleinste Cholesky Norm also auch über den bekannten und gewohnten multiplen Korrelationskoeffizienten ausgedrückt werden. Eine C_Norm <.31 kann hier als kritische Grenze für den Beginn deutlicherer Kollinearität dienen.


                                     Table 1
Original Korrelationsmatrix Spearman & Hart 1913
Detailed Ausführliche Standard-Matrix-Analysis der Spearman & Hart Korrelations Matrix (1913)

   Original input data with  2-digit-accuracy and read with
   2-digit-accuracy (for control here the analysed original matrix):

      1    2    3    4    5    6    7    8    9    10   11   12   13
 1   1    .77  .67  .6   .69  .57  .57  .5   .52  .48  .38  .2   .16
 2   .77  1    .74  .61  .66  .59  .53  .29  .52  .16  .62  .31  .07
 3   .67  .74  1    .52  .72  .45  .61  .34  .52  .14  .22  .19  .23
 4   .6   .61  .52  1    .44  .76  .47  .67  .4   .29  .13  .57 -.13
 5   .69  .66  .72  .44  1    .51  .65  .4   .34  .47  .23  .19  .01
 6   .57  .59  .45  .76  .51  1    .41  .45  .47  .25  .03  .26  .11
 7   .57  .53  .61  .47  .65  .41  1    .45  .47  .08  .26 -.05  .22
 8   .5   .29  .34  .67  .4   .45  .45  1    .34  .16  .08  .05 -.05
 9   .52  .52  .52  .4   .34  .47  .47  .34  1   -.07 -.01  .01 -.13
 10  .48  .16  .14  .29  .47  .25  .08  .16 -.07  1    .26  .06  .19
 11  .38  .62  .22  .13  .23  .03  .26  .08 -.01  .26  1    .16  .29
 12  .2   .31  .19  .57  .19  .26 -.05  .05  .01  .06  .16  1    .05
 13  .16  .07  .23 -.13  .01  .11  .22 -.05 -.13  .19  .29  .05  1
 

         Table 2: Matrix Analysis Criteria

Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_ HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
13 -1 --1   733.3  -.0000167538 2.21 D-12  394.2   5D-3(1)  -1(-1)

 Highest inverse negative diagonal value____=   -.021075044
  thus multiple r( 5.rest)_________________=    6.960566542 (!)
  and there are  2 multiple r > 1 (!)

 i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky
  1.  5.63691   1         2.  1.61837   .638        3.  1.33718  .654
  4.  1.09919   .7636     5.  .87991    .6319       6.  .75463   .6054
  7.  .60908    .712      8.  .41475    .6371       9.  .32742   .7243
  10. .2103     .5212     11. .18194   -.1899       12. 7.69D-3 -.2362
  13.-.07735   -.2838

 The matrix is not positive definit. Cholesky decomposition is not success-
 ful (for detailed information Cholesky's diagonalvalues are presented).


3.  Diskussion bezüglich der Kriterien der Original Matrix

Tabelle: Multiple Korrelationskoeffizienten r(i.rest)
 r1.rest  =  .9495   r5.rest  = 6.9606   r9.rest  =  .7154  r13.rest =  .9175
 r2.rest  =  .9922   r6.rest  =  .9665   r10.rest =  .757
 r3.rest  =  .9669   r7.rest  = imaginary  r11.rest =  .9755
 r4.rest  = 1.3566  r8.rest  =  .7307  r12.rest = imaginary

Die negative Determinante zeigt eine indefinite und bösartig entgleiste 'Korrelations'-Matrix an. Die Konditionszahl - größter Eigenwert dividiert durch kleinsten Eigenwert - zeigt mit 733 einen hohen Wert an. Die LES Analyse, die  ab der dritten Nachkommastelle ab- und aufrundet, zeigt Input-Output-Ratio von 394 an, d.h. einer Änderung auf der Eingangsseite um eine Einheit in der dritten Nachkommastelle führt auf der Ausgangseite zu einem 394 mal so großen Wert.  Die HADAMARD-Zahl der Inverse zeigt mit 2*10 ^ -12 ein sehr kleines Verhältnis an. Der negative Eigenwert ist mit einem Wert von -0.07735 sehr hoch und vermittelt auf den ersten Blick wenig Hoffnung auf eine auf  erfolgreiche Therapie. Jedoch kam es zu meiner Überraschung heraus, das eine "Centroid-Therapie" entsprechend der Centroid-Methode nach Thurstone trotz des hohen negativen Eigenwerts erfolgreich funktionierte. Wahrscheinlich liegt keine Indefinitheit wegen einer reinen Kollinearität vor, aber es ist zu erwarten, daß die Korrelationsmatrix mehrfach bechädigt wurde: falsche Missing-Data-Lösung, falsche Mittelwertsbildungen, "correction of attenuation" oder auch kein Vorliegen eines Produkt-Moment-Korrelationskoeffizienten mögen die Gründe sein. Der höchste multiple Korrelationskoeffizient ist sage und schreibe r5.rest = 6,96 (!) [in Worten: Sechs-Komma-sechsundneunzig], also völlig entgleist als eine Folge des Verlustes der positiven Definitheit.


4.  Welche Variablen sind für die Kollinearität verantwortlich?

Die Eigenwertposition erlaubt keinen Rückschluß, welche Variablen die Kollinearität konstituieren. Das kann man leicht kontrollieren, indem man Zeilen und Spalten der Korrelationsmatrix vertauscht und feststellt, daß die Eigenwerte gleich bleiben. Information gibt aber die von Dr. HAIN (1994) entwickelte PESO-Analyse (Pivotisierte Erhard Schmidt Orthonormalisation).

21.12.2006. Ergänzende Relativierung zur Interpretierbarkeit der indefiniten und damit Pseudokorrelationsmatrix
Es bestehen inzwischen große Zweifel, ob die indefinite Pseudokorrleationsmatrix interpretationsfähig ist.

 Table 3:  PESO-Analysis of the correlation matrix

Var.  RN Reduced Norm          ON Original Norm         Ratio RN/ON
 1    2.1186080323290788       2.1186080323290788         1.0000
 13   1.0830630275311198       1.1414902533297001         0.9488
 12   1.0688990982453775       1.2796874610809581         0.8352
 10   .89566410275237469       1.3368993970637328         0.6699
 11   .87263435136430641       1.3781509343086692         0.6331
 8    .72829442742515084       1.6174671548075548         0.4502
 6    .5198933852503035        1.8568252464596398         0.2799
 5    .50466376705114477       1.9727899014746841         0.2558
 9    .38749960154371265       1.6328502677286861         0.2373
 7    .33804356960980048       1.8269373267907007         0.1850
 3    .27300931252094519       1.9755758642348769         0.1381
 4    .11747153111497607       2.0115416961068529         0.0583
 2    .010887210195374477      2.1077713335900289         0.0051

 products of:
    1.6753770848438221D-5    844.16208542332548       1.9846627961307499D-8

Bemerkung: wie man sieht, ergibt das Produkt der reduzierten Normen den Betrag der Determinante. Das Produkt der Ratios ergibt die HADAMARD Konditionszahl (oben nicht angeführt).

Bezüglich der gewählten Schranke in PESO („quivalent >= einem multiplen Korrelationskoeffizienten von .99499) findet PESO "relations" (HAINscher Terminus für Fast-Kollinearität), hier eine:

                         Table 4:   Relation

        1    -0.3146527856      8     0.1316158518
        2     1.0000000000      9     0.0183634921
        3    -0.4556784876      10    0.1700240126
        4     0.1663107489      11   -0.5511173581
        5     0.0554053195      12   -0.0898030079
        6    -0.4653680932      13    0.3019404255
        7    -0.0053392459
 

Praktische Probe: Multipliziert man die Originalmatrix mit diesem Vektor, ergibt sich entsprechend der gewählten Schranke eine Fast-Null. Die Beträge der Relationen sagen etwas über den Anteil, den die jeweilige Variable an der linearen Abhängigkeit hat. Man könnte die kleinsten Beträge als Eliminationsvorschläge interpretieren. Eliminiert man die Variablen 7, 9, 12 ergibt sich die Matrix:

               Table 5: Reduced Matrix (7,9,12)

      1    2    3    4    5    6    8    10   11   13   Multiple correlations
 1   1    .77  .67  .6   .69  .57  .5   .48  .38  .16    1.rest    .99353
 2   .77  1    .74  .61  .66  .59  .29  .16  .62  .07    2.rest    .99906
 3   .67  .74  1    .52  .72  .45  .34  .14  .22  .23    3.rest    .97033
 4   .6   .61  .52  1    .44  .76  .67  .29  .13 -.13    4.rest    .992
 5   .69  .66  .72  .44  1    .51  .4   .47  .23  .01    5.rest    .98908
 6   .57  .59  .45  .76  .51  1    .45  .25  .03  .11    6.rest    .9774
 8   .5   .29  .34  .67  .4   .45  1    .16  .08 -.05    8.rest    .99137
 10  .48  .16  .14  .29  .47  .25  .16  1    .26  .19    10.rest   .99288
 11  .38  .62  .22  .13  .23  .03  .08  .26  1    .29    11.rest   .99609
 13  .16  .07  .23 -.13  .01  .11 -.05  .19  .29  1      13.rest   .93259

Ergebnis: Die Entfernung der Vektoren 7,9,12 bewirkt eine gerade wieder positiv definite Matrix, jedoch mit vielen Fast-Kollinaritäten. Wie man sieht. haben bereits 6 multiple Korrelationskoeffizieten Werte > .99. Es ist klar, daß diese Matrix sehr schlecht konditioniert ist, wie die folgende Matrix-Analyse auch zeigt:

Table 6: Matrix analysis criteria of the reduced matrix

Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_   HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
10 -1  -    4645  .000005694  1.28 D-18   330.4   1D-3(1) .043(1)

Wir versuchen nun, die indefinite Matrix mit Hilfe von THURSTONE's centroid-Methode zu "therapieren", d.h. die negativen Eigenwerte wegzubekommen, um anschließend zu prüfen, was von den Kollinearitäten übrig bleibt.


5.  "Centroid-Therapie" nach THURSTONEs Centroid-Methode

                         Table 7:  13. RESIDUAL MATRIX

-.0016 .0114-.0200-.0169 .0098-.0123 .0093 .0171 .0092-.0069-.0159 .0047 .0133
 .0114-.0020 .0341-.0002-.0168 .0206-.0246-.0054 .0014-.0275 .0087 .0055-.0326
-.0200 .0341-.0035 .0087-.0045-.0437-.0084-.0210 .0138-.0304 .0059-.0192 .0395
-.0169-.0002 .0087-.0174-.0443 .0384 .0032 .0533-.0030 .0549-.0327-.0052-.0719
 .0098-.0168-.0045-.0443-.0154 .0201 .0242 .0347-.0133 .0233 .0198 .0309-.0278
-.0123 .0206-.0437 .0384 .0201-.0038-.0418-.0134 .0383-.0100-.0363-.0183-.0070
 .0093-.0246-.0084 .0032 .0242-.0418-.0042-.0264-.0029-.0263 .0209-.0310 .0418
 .0171-.0054-.0210 .0533 .0347-.0134-.0264-.0163-.0007-.0018 .0047-.0280 .0180
 .0092 .0014 .0138-.0030-.0133 .0383-.0029-.0007-.0021-.0079-.0013 .0099-.0143
-.0069-.0275-.0304 .0549 .0233-.0100-.0263-.0018-.0079-.0103 .0254-.0347 .0155
-.0159 .0087 .0059-.0327 .0198-.0363 .0209 .0047-.0013 .0254-.0083 .0091 .0347
 .0047 .0055-.0192-.0052 .0309-.0183-.0310-.0280 .0099-.0347 .0091-.0076 .0242
 .0133-.0326 .0395-.0719-.0278-.0070 .0418 .0180-.0143 .0155 .0347 .0242-.0132

Jetzt wir führen eine Standardmatrixanalyse durch und entdecken zu unser völligen Überraschung, daß die "Centroid-Therapie" trotz des hohen erfolgreich negativen Eigenwertes mit  ~-.07 von der Originalmatrix erfolgreich war und daß die centroid-therapierte Matrix wenigstens wieder positiv definit ist, obwohl sie immer noch sehr schlecht konditioniert, d.h. sehr numerisch instabil ist, wenn auch nicht mehr so schlimm  wie vorher. Der entscheidende Vorteil ist jedoch, daß nunmehr ein klares Bild der kollinearen Struktur gewonnen werden kann.

                 Table 8: Centroid-cured matrix

Original input data with  2-digit-accuracy and read with  2-digit-accuracy (for control here the analyzed original matrix):

 1    .76  .69  .62  .68  .58  .56  .48  .51  .49  .4   .2   .15
 .76  1    .71  .61  .68  .57  .55  .3   .52  .19  .61  .3   .1
 .69  .71  1    .51  .72  .49  .62  .36  .51  .17  .21  .21  .19
 .62  .61  .51  1    .48  .72  .47  .62  .4   .24  .16  .58 -.06
 .68  .68  .72  .48  1    .49  .63  .37  .35  .45  .21  .16  .04
 .58  .57  .49  .72  .49  1    .45  .46  .43  .26  .07  .28  .12
 .56  .55  .62  .47  .63  .45  1    .48  .47  .11  .24 -.02  .18
 .48  .3   .36  .62  .37  .46  .48  1    .34  .16  .08  .08 -.07
 .51  .52  .51  .4   .35  .43  .47  .34  1   -.06 -.01  0   -.12
 .49  .19  .17  .24  .45  .26 .11  .16 -.06  1    .23  .09  .17
 .4   .61  .21  .16  .21  .07  .24  .08 -.01  .23  1    .15  .26
 .2   .3   .21  .58  .16  .28 -.02  .08  0    .09  .15  1    .03
 .15  .1   .19 -.06  .04  .12  .18 -.07 -.12  .17  .26  .03  1
 

Table 9: Centroid cured matrix analysis criteria

Or_MD_NumS_ Condit_ Determ_ HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
13 -1  -    148.8   .00007525  0.0000007     52    .026(0) .266(0)

 i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky
  1.  5.64638   1         2.  1.55102   .6499       3.  1.3104   .6651
  4.  1.04562   .7543     5.  .87813    .634        6.  .76073   .6654
  7.  .58635    .7248     8.  .41204    .7076       9.  .31787   .7784
  10. .18913    .6723     11. .15321    .4617       12. .11117   .6337
  13. .03795    .8032
Cholesky decomposition successful, thus the matrix is (semi) positive definite.
 

Table 10:  Multiple correlations of centroid cured matrix

       r1.rest= .89232      r5.rest= .91033        r9.rest = .77994
       r2.rest= .96400      r6.rest= .81196        r10.rest= .80758
       r3.rest= .84951      r7.rest= .82456        r11.rest= .89483
       r4.rest= .93215      r8.rest= .79282        r12.rest= .78257
                                                   r13.rest= .59575


6. Ergebnis der Centroid-Therapie

Die Analyse der multiplen Korrelationskoeffizienten von der "centroid-kurierten" Matrix zeigt ganz klar, daß die starken kollinearen Strukturen der originalen indefiniten Matrix verschwunden sind. Dies bedeutet ohne Zweifel, daß die oben zunächst aufgestellte Kollinearitäts- Hypothese nicht bestätigt werden kann. Dies unterstreicht die Wichtigkeit von Therapiemethoden, und zeigt wie indefinitie Korrelationsmatrizen kollineare Strukturen simulieren, die in Wirklichkeit nicht aufrechterhalten werden können. Die Bedeutung der Thurstone'schen Centroid Faktorenanalyse als eine wirkungsvolle Therapie-Methode für indefinite Korrelationsmatrizen wird hier sehr deutlich. Auch wenn sie nicht immer so gut wie die Methode von KNOL & BERGE sein mag,  so ist ist die doch sehr einfach und schnell.

21.12.2006. Ergänzende Relativierung zur Interpretierbarkeit der indefiniten und damit Pseudokorrelationsmatrix
Es bestehen inzwischen große Zweifel, ob die indefinite Pseudokorrleationsmatrix interpretationsfähig ist.
 


7. Literature
 

  • FADDEJEW & FADDEJEWA "Numerische Methoden der Linearen Algebra",   dt. Berlin 1973.
  • HAIN, Bernhard (1994) "Some Notes on Correlation Matrices", in: SPONSEL (1994)
  • HART, B., SPEARMAN, C. (1912-1913) "GENERAL ABILITY, ITS EXISTENCE AND NATURE"   The British Journal of Psychology, V, p.54, Table I
  • KNOL,D.L., TEN BERGE J.M.F. (1989)  "Least-Squares Approximation Of An Improper Correlation Matrix By A Proper One", Psychometrika 54,1,53-61,
  • SPONSEL, Rudolf (1994) "Ill-Conditioned Matrices and Collinearity  in Psychology", (Loose-leaf-collection; German and English), Erlangen:  IEC-Verlag.
  • THURSTONE, L.L. (1947) "Multiple Factor Analysis", Chicago.

  •  
    Weitere und nähere Erläuterungen zur Matrixanalyse: 
    Numerische Laien hier    und      Professionell Interessierte hier
     _


    Glossar, Anmerkungen und Endnoten
    GIPT= General and Integrative Psychotherapy, internationale Bezeichnung für Allgemeine und Integrative Psychotherapie.
    ___
    FN01  Sponsel, Rudolf & Hain, Bernhard (1994). Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie.  Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology. Deutsch-Englisch. Übersetzt von Agnes Mehl. Kapitel 6 von Dr. Bernhard Hain: Bemerkungen über Korrelationsmatrizen. Erlangen: IEC-Verlag [ISSN-0944-5072  ISBN 3-923389-03-5]. Aktueller Preis: www.iec-verlag.de.
    ___



    Änderungen * Kleine Fehler- oder Layoutkorrekturen werden nicht etxra aufgeführt.
    21.12.06    Ergänzende Relativierung zur Interpretierbarkeit der indefiniten und damit Pseudokorrelationsmatrix.
    12.09.04    Link zur Attenuitäts-Korrektur.
    29.04.04    Links zur Thurstone-Fachbiographie und zu einer extrem entgleisten Matrix einer Schülerin von ihm.


    Querverweise:
    Standort: Kollinearitätsanalyse und Therapie der indefiniten Spearman- & Hart- Matrix (1913).
    *
    Numerisch instabile Korrelations-Matrizen bei Spearman (Analyse von 38 Korrelationsmatrizen).
    Für NichtmethodikerInnen: worauf kommt es an bei Korrelationsmatrizen.
    Für professionell Interessierte: Abkürzungen, Definition, Erklärung und Bedeutung zur
    Standard- (Korrelations)- Matrix- Analyse (SMA).
    Gesamtzusammenfassung: "Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie".
    Hintergrund und Entstehungsgeschichte der Arbeit "Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie".
    *
    Suchen in der IP-GIPT, z.B. mit Hilfe von "google": <suchbegriff> site:www.sgipt.org
    z.B. Numerisch instabile Matrizen site:www.sgipt.org. * Spearman site:www.sgipt.org
    *
    Dienstleistungs-Info.
    *

    Zitierung
    Sponsel, Rudolf  (DAS). Kollinearitätsanalyse und Therapie der indefiniten Spearman- & Hart- Matrix (1913). Aus der Abteilung Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie - Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology -   Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie.  IP-GIPT. Erlangen: http://www.sgipt.org/wisms/nis/sma/speahartd.htm
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