Einleitung. Für mathematische Laien, zu denen ich mich zähle, ergeben sich eine ganze Reihe von Unklarheiten, Paradoxien und Widersprüchlichkeiten in Bezug auf das Zählen, den Begriff "abzählbar", für die elementaren Zahlbegriffe, die Anzahlen und damit auch mit dem Begriff der Mächtigkeit. Die Irrungen und Wirrungen, denen die natürliche Intuition und Anschauung seit Cantors Arbeiten zu den Unterscheidungen im "Unendlichen" ("transfinite Zahlen") ausgesetzt waren und sind, hängen nun sehr eng zusammen mit der begrifflichen Vieldeutigkeit [Homonym/e: 1, 2, 3, 4, 5] der Worte "alle", "gleich", "gleich viele", "gleichmächtig", "zählen", "Anzahl" und "unendlich" im Zusammenhang mit dem von vielen als genial gerühmten diagonalen Abzählverfahren. Hierbei hat die Auseinandersetzung um den Sinn und Unsinn des Begriffs "unendlich" eine lange allgemeine Geistesgeschichte und auch in der Mathematikgeschichte ging es um den Begriff "unendlich" hoch her, wobei die Auseinandersetzung selbst heute noch nicht abgeschlossen ist, faktisch haben sich aber weitgehend die Transfiniten durchgesetzt (wichtiger Hinweis). Die Probleme, die sich für mathematische Laien ergeben, sollen nun am Beispiel des Cantor'schen diagonalen Abzählverfahrens zur Analyse der Mächtigkeit erörtert werden. Zur Klärung und hier verwendeten Bedeutung der Begriffe siehe bitte Glossar: Begriffe zur Mengenlehre und Umfeld.

Diagonalverfahren I: Der Cantor'sche Beweis der Gleichmächtigkeit der natürlichen und rationalen Zahlen
Was wird mit dem Diagonalverfahren wirklich bewiesen? Und was wird womöglich nicht bewiesen? Was ist umstritten? Zur Beantwortung dieser Fragen ist es zunächst einmal hilfreich und nützlich, das diagonale Abzählverfahren Cantors zu verstehen:

Problemanalyse des Verfahrens: Die ganzen negativen Zahlen kann man sich neben den positiven angeschrieben denken und Doppelte können gestrichen werden. (1) Es gibt einen Anfang. (2) Es gibt eine Abzählregel (Folgen in Richtung der Pfeile). (3) Es gibt aber kein Ende, nicht in den Zeilen und nicht in den Spalten. Aus (3) ergibt sich daher die Frage, wie Cantor und seine AnhängerInnen dazu kommen, zu behaupten, die rationalen Zahlen ließen sich abzählen, obwohl doch das Schema schon überdeutlich zum Ausdruck bringt, daß das gerade nicht geht, und zwar wenigstens N * N nicht, nämlich weder in den Zeilen noch in den Spalten:

    Die erste Zeile liefert allePU Brüche mit Nenner 1.
    Die zweite Zeile liefert allePU Brüche mit Nenner 2.
    Die dritte Zeile liefert allePU Brüche mit Nenner 3.
    Die i-te Zeile liefert allePUBrüche mit Nenner i.
    Die n-te Zeile liefert allePU Brüche mit Nenner n.
    Der letzte Eintrag in einer Zeile kann nie erreicht werden, weil sie potentiell unendlich ist.

    Die erste Spalte liefert allePU Brüche mit Zähler 1.
    Die zweite Spalte liefert allePU Brüche mit Zähler 2.
    Die dritte Spalte liefert allePU Brüche mit Zähler 3.
    Die i-te Spalte liefert allePU Brüche mit Zähler i.
    Die n-te Spalte liefert allePU Brüche mit Zähler n.
    Der letzte Eintrag in einer Spalte kann nie erreicht werden, weil sie potentiell unendlich ist.

Ergebnis Cantors Diagonales Verfahren (DV-I):
Die Abzählungsanordnung macht auch deutlich, daß keine größte und kleinste rationale Zahl an den Grenzen der natürlichen Zahlen angegeben werden kann. Hier bleiben überall Lücken. Betrachten wir oBdA die rationalen Zahlen für das Intervall 1 bis 2 je einschließlich: Es gibt keine kleinste rationale Zahl nahe 1 weder von oben noch von unten. Und es gibt keine größte rationale Zahl "nahe" 2, weder von oben noch von unten. Wie viele rationale Zahlen gibt es im Intervall 1 bis 2 je ausschließlich?  Eine Nummer kann immer nur im Endlichen angegeben werden, das aber beliebig ausgedehnt und fortgesetzt werden kann: Zu jedem Zeilen- und Spalteneintrag gibt es potentiell unendlich viele Nachfolger. Cantors DV-I zählt die rationalen Zahlen nur an, aber es kommt nicht wirklich durch. Ähnlich wie in der Infinitesimalrechnung kann das Cantor-Verfahren DV-I beliebig genau - im Endlichen - an die Grenzen der natürlichen Zahlen gelangen. Beim effektiven bijektiven Abbilden, Zählen und Rechnen muß es abbrechen wie überall sonst auch.

Dies wirft die Frage auf: sind die natürlichen Zahlen eigentlich selbst überhaupt abzählbar und was heißt das?
Auch hier kann man jede natürliche Zahl n mit sich selbst nur im Endlichen zählen und unendlich ist bekanntlich keine Zahl. Kritisch und bei Lichte betrachtet, sind also selbst die natürlichen Zahlen schon gar nicht abzählbar, weil sie nämlich kein Ende haben. Konkretes Zählen gibt es nur im Endlichen.Wann immer gerechnet wird, es geht nur mit einer konkreten Zahl und die ist immer endlich.

Was heißt das nun für Unterscheidungsbestrebungen im Unendlichen ?
Ist es möglich, im Unendlichen quantitativ zu unterscheiden? Natürlich, Cantor hat es ja vorgemacht und eine transfinite Mathematik begründet, wenn auch durch einen äußerst fragwürdigen Beschluß, nämlich bis zum Ende und ins Unendliche hinein zählen zu können (Hilbert sprach salopp vom "einfach hinüberzählen"). So beweist Cantor die Abzählbarkeit nicht, er beschließt sie, setzt sie also letztlich per definitionem oder axiomatisch fest: Wenn man bis in die Unendlichkeit hineinzählen könnte, dann könnte man auch unendliche Entwicklungen abzählen. Tatsächlich kann man immer nur endlich abbilden, zählen und rechnen.

Die Mächtigkeits-Absurdität des Cantor'schen Beschlusses
Dieser Beschluß - ein Verfahren, das man weniger der Mathematik als der Jurisprudenz zurechnet - Cantors und seiner AnhängerInnen könnte fatal sein, weil er nämlich wenigstens einige Absurditäten und Paradoxien, wenn nicht sogar handfeste Antinomien / Widersprüche mit sich bringen könnte, z.B. ergibt sich ja aus der elementaren Arithmetik, daß es viel, viel mehr rationale Zahlen als natürliche Zahlen gibt, ja zwischen zwei beliebigen natürlichen Zahlen liegen unendlich viele rationale Zahlen. (a) Die Mächtigkeit der rationalen Zahlen IQ ist also "unendlich-fach" größer als die der natürlichen Zahlen IN. (b) Nach Cantor ergibt sich aber, daß die rationalen Zahlen und die natürlichen Zahlen gleichmächtig sind. (a) und (b) können aber nicht zugleich wahr sein. Zu dieser Absurdität  Beispiele aus der Literatur:

Zahlenbereiche
Die Zahlen werden von den natürlichen Zahlen zu den ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen Zug um Zug erweitert, so daß Gleichungen, die in einem weniger reichen Bereich nicht lösbar waren, nunmehr lösbar werden. Die Gleichung x = 1-2, x aus IN  ist für den Bereich der natürlichen Zahlen nicht lösbar, aber nach Erweiterung auf die ganzen Zahlen, die auch negative Zahlen zulassen: x = -1.  Die Gleichung 3x = 2 ist wiederum im Bereich der ganzen Zahlen nicht lösbar und führt zur Erweiterung auf die rationalen Zahlen IQ, den Brüchen und hier zu der Lösung x = 2/3.
 

Übersicht über die Zahlbereiche nach Scholl & Drews (1997), S. 87 Nach Bild 1.49 Die Autoren bemerken: "Wir sehen, daß die vorhergehende Menge jeweils in der folgenden enthalten ist. Das Bild 1.49 soll dies noch einmal verdeutlichen" * Quelle:  Scholl, Wolfgang & Drews, Rainer (1997). Falken Handbuch Mathematik. Niedernhausen /Ts.: Falken.

* Quelle: Athen, Hermann & Bruhn, Jörn (1976). Rechnen und Mathematik. Gütersloh: Bertelsmann. Auch Mosaik: München.

Basieux: "Dennoch ist die Menge der Brüche Q offensichtlich 'umfangreicher' ... "

Anmerkung: Obwohl man nach Hilbert ins Unendliche "einfach hinüberzählen" kann, haben gleiche Mächtigkeiten im Endlichen gegenüber dem Unendlichen nach Basieux einen ganz anderen Sinn.

Abzählbar unendlich. Begriff Cantors. Eine unendliche Menge U heißt abzählbar, wenn es eine bijektive Abbildung auf die natürlichen Zahlen N gibt. Dazu sagt man auch: wenn die Menge U numerierbar ist, d.h. im Prinzip gezählt werden kann. Problematisch ist allerdings, ob man, wie Hilbert meinte, einfach ins Unendliche hinüberzählen kann. Die Beweisverfahren sind seit dem Grundlagenstreit in der Mathematik umstritten [tertium non datur], aber auch im Zusammenhang mit dem Unendlichen. So gesteht sogar Fraenkel ein gewisses Unbehagen zum "Mausefallenbeweis" zu Cantors Diagonalverfahren II ein, wo Cantor "mausefallisch" beweist, daß es keine vollständige Liste aller0 reellen Zahlen geben kann. [Wikipedia]
Aktual unendlich.
Aleph. Mächtigkeit im Unendlichen nach Cantor. Aleph₀ =: kleinste Mächtigkeit im Unendlichen nach Cantor, z.B. die Mächtigkeit der unendlichen Mengen der natürlichen, ganzen, rationalen oder der algebraischen Zahlen. Aleph₁, eine Mächtigkeit höherer Stufe, z.B. die Mächtigkeit der reellen Zahlen oder der Potenzmenge P(IN) nach Cantor.
Alle.
    (0) nicht näher spezifiziert: Alle0.
    (1) endlich viele n:  AlleN.
    (2) Potentiell unendlich viele: AllePU mit  Anfang,A1,A2,...,PU.
    (3) AlleAU Aktual unendlich viele Anfang,A1,A2,...,AU.
Anmerkung: Die Bedeutung von alle ist möglicherweise für nicht wenige indirekte Beweise sehr entscheidend. Sicher für Cantors DV-II und z.B. für die Metapher Hilberts unendliches Hotel. David Hilbert [1,] hat eine Geschichte erfunden, um die Mathematik des Unendlichen verständlich zu machen. Er erzählt von einem Hotel mit unendlich vielen Zimmern, die alle belegt sind. Und er fragt listig: Wie kann man in diesem unendlichen Hotel einen neuen Gast unterbringen? Hilberts Lösungsvorschlag lautet: der Gast in Zimmer 1 rückt nach 2, der von 2 nach 3 usw. Damit wird illustriert, daß das Unendliche hier kein Ende hat und immer noch erweitert werden kann. Der Trick besteht also darin, am Anfang Platz zu schaffen, denn am Ende, das wir nicht kennen, geht es ja nicht. Ich habe mir diese Geschichte durch den Kopf gehen lassen und bin dabei auf folgende Schwierigkeiten gestoßen: (1) Wenn tatsächlich alle belegt sind, dann kann es kein freies Zimmer geben. Darauf könnte man erwidern: es wird ja kein Zimmer frei gemacht, es wird ein neues erzeugt, was aber auch nicht stimmen kann, weil dann das Weiterrücken keinen Sinn machte. Der Sinn der Geschichte ist: im unendlichen Hotel sind praktisch unendlich viele freie Zimmer immer schon da.
Anzahl. Die Anzahl gibt eine Antwort auf die Frage: wie viele, liefert also das Ergebnis einer Zählung. Der Begriff "gleiche Anzahl" führt manchmal zur Verwirrung, weil hier nicht gesagt wird, wie viele. Man kann gleiche oder verschiedene Anzahlen auch durch Mächtigkeitsvergleiche, ohne richtig zu zählen, herausfinden, wenn etwa für jedes Schaf, das den Stall verläßt ein Knopf in eine Schale gelegt wird und für jedes Schaf bei der Rückkehr ein Knopf aus der Schale genommen wird. Geht die Mächtigkeitszählung auf, sind gleich viele Schafe zurückkehrt wie hinausgegangen. Fehlen Knöpfe, sind mehr Schafe zurückgekehrt als ausgesandt wurden. Bleiben Knöpfe übrig, sind Schafe verloren gegangen.
bijektiv. (Zweiseitig). umkehrbar eindeutig oder eineindeutige Beziehung. Drei Personen und drei Stühle können einander umkehrbar eindeutig zugeordnet werden. M1={1,2,3,4} und  M2={a,b,c,d} können einander umkehrbar eindeutig zugeordnet werden: 1-a, 2-b, 3-c, 4-d.

bijektive Abbildungen ins Unendliche hinein. Kann man wirklich einfach ins Unendliche hinüberzählen, wie Hilbert meinte?

Element und Menge. Unterscheidbare Objekte ("Elemente") unserer Wahrnehmung oder unseres Denkens können zu einem Ganzen zusammengefaßt werden. Beispiele: die Teller im Küchenschrank, die Bleistifte im Büro, die Zimmer einer Wohnung, die Handtücher im Wäscheschrank, die Anzahl der Moleküle in einem Stoff, die natürlichen  Zahlen von 1 bis 10, die natürlichen Zahlen 1,2,3, usw. , wobei es das "usw." in sich hat, was wir unter dem Stichwort "unendlich" besprechen. Eine Menge ist unabhängig von der Ordnung der Elemente in ihr. M1={a,b,c} ~ M2={b,a,c}. Auch gleiche Elemente zählen nicht: M1={a,a,b,c} ~ M2={a,c,b} oder  M3={1,1,1,1,1,1} ~ M4={1}. Mit der Mengenlehre werden also viele Entwicklungen oder Zeichenfolgen gar nicht erfaßt, z.B. keine Kopien oder Wiederholungen.
gleich. [gleichen] grundlegender und wichtiger Grundbegriff in Alltag, Wissenschaft, Mathematik und Logik. Allgemein kann man definieren: zwei Sachverhalte oder Objekte heißen gleich, wenn es zwischen ihnen bezüglich des Vergleichskriteriums keinen Unterschied gibt.
gleichmächtig. Haben zwei Mengen A und B gleich viele Elemente - wobei Kopien nicht berücksichtigt werden - so heißen sie gleichmächtig. "Gleich viele" bedeutet hierbei die Anzahl. Dies heißt auch "Kardinalität". Und so spricht man davon, daß Anzahlen durch Kardinalzahlen ausgedrückt werden. card{Apfel, Birne, Ei} = card{a,b,x}= card {Buch, Reifen, Löffel} = 3.  Stellt man sich eine unendliche Menge der natürlichen Zahlen vor, so kann deren Mächtigkeit selbst keine Zahl aus IN sein, denn dann wäre sie ja endlich. Es kann also überhaupt keine bekannte Zahl sein. Cantor schuf für die Mächtigkeit der unendlichen Menge der natürlichen Zahlen das Symbol Aleph₀ (Erster Buchstabe des hebräischen Alphabets). Für die transfinite Anzahl der Menge der unendlichen natürlichen Zahlen schreibt man nach Cantor: card(IN)=Aleph₀.
ist/sind.
Kardinalzahl. Anzahl. Mehrdeutige Verwendung in der Mathematik. Durch einen Mächtigkeitsvergleich mittels bijektiver Abbildung kann man z.B. zu der Aussage gelangen, daß zwei Mengen M1 und M2 gleichmächtig sind oder nicht, also die gleiche Anzahl von Elementen oder Teilmengen aufweisen oder nicht, aber man weiß dann noch nicht wie viele. Bijektiv abbilden und zählen sind daher nicht gleichbedeutend.
Leere Menge. Sie entspricht ungefähr dem alltäglichen "nichts" oder der 0 bei den Zahlen. Sie wird durch das Zeichen "{}" symbolisiert.
Menge. Cantor definierte 1895: "Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen. In Zeichen drücken wir das so aus: M = {m}." Hier hört sich der Mengenbegriff einigermaßen klar an. Er ist es aber nicht, wenn wir uns ansehen, was die Mathematik daraus gemacht hat. Es fehlt ein klares Wohlunterscheidbarkeitskriterium. Sofern z.B. "Punktmengen" gebildet werden, fragt man sich natürlich, wie denn z.B. zwei Punkte auf der Zahlengeraden unterscheidbar sein sollen, die ihrer Natur nach ja potentiell unendlich klein sind. Der weitaus größte Bereich der Anordnungen von Elementen wird ausgeschlossen, wenn Wiederholungen oder Kopien nicht als verschieden angesehen werden. Denn in der Mengenlehre gilt: {1,2,3} = {1,2,3,1,2,3, ...} oder {1}={1,1,1}.
Mengensystem. Mengen unterer Stufe können zu einer Menge höherer Stufe zusammengefaßt werden. Während eine Menge Elemente enthält, enthält ein Mengensystem Mengen. Dies muß man scharf unterscheiden, weil man sonst leicht in logische Widersprüche geraten kann (die Menge aller Mengen, die sich  nicht selbst als Element enthält).
Mächtigkeit. (1) Haben zwei Mengen die gleiche Anzahl von Elementen, so heißen sie gleichmächtig. (2) Gibt es eine umkehrbar eindeutige Abbildung der Elemente zweier Mengen A und B, so heißen sie ebenfalls gleichmächtig. Umkehrbar eindeutige Abbildungen heißen auch eineindeutig oder bijektiv (zweiseitig).  M1={Vater,Sohn,Mutter,Schwester}, M2={a,b,c,d}. M1 und M2 sind gleichmächtig, weil sie gleich viele Elemente enthalten. Gleichmächtig schreibt man manchmal auch so: M1 ~ M2. Die Mächtigkeit erlaubt drei quantitative Abstufungen: gleich, mehr, weniger. Sind vier Stühle und fünf Personen in einem Raum, so ist die Anzahl der Personen mächtiger als die der Stühle. Sind unter den fünf Personen zwei Kinder und zwei Männer, so sind die zwei Kinder und die zwei Männer gleichmächtig.
Naleph. "Naleph" ist ein Kunstwort, indem das "N" sowohl für "Naiv" als auch für die natürlichen Zahlen steht und Aleph, die Bezeichnung für den ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets, den Cantor als Größe für seine kleinste unendliche Größe verwandte. Inhaltlich kann "Naleph" als Basiseinheit einer unendlichen Größe für die natürlichen Zahlen definiert werden. Im naiven und natürlichen transfiniten System könnten dann die intuitiv natürlichen transfiniten Gleichungen gelten card(N_ungerade) = card_N(gerade) = Naleph/2; card(IZ) =2 Naleph. Für die rationalen Zahlen ergäbe sich in  naiver Interpretation der diagonalen Abzählung der rationalen Zahlen nach Cantor die Mächtigkeit card(IQ)=2*Naleph², also das 2 * das Quadrat von Naleph, weil man naiv 2  mal - positiv und negativ - Naleph Zeilen und Naleph Spalten braucht, um die potentiell unendlichen rationalen Zahlen abzuzählen. Für die reellen Zahlen sollte bereits für eine einzige unendlich-stellige reelle Zahle ein Naleph benötigt werden. Eine einzige unendlich-stellige reelle ist im naiven transfiniten System der Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtig.
Ordinalzahl. Ordnungszahl: Erster, Zweiter, Dritter, ..., i-ter, ..., n-ter.
Potenzmenge P(M). Bildet man alle möglichen Teilmengen einer Menge M mit der leeren Menge und der Menge M selbst, so heißt diese Menge die Potenzmenge der Menge M. Sei M={Stuhl, Sofa, Tisch}, so ist die Potenzmenge P(M) = { {}, {Stuhl}, {Sofa}, {Tisch}, {Stuhl,Sofa}, {Stuhl,Tisch}, {Sofa,Tisch}, {Stuhl,Sofa,Tisch} }. Hat eine Menge M insgesamt k Elemente, so hat die Potenzmenge P(M)=2^k Teilmengen, im Beispiel also 2³ = 8.
Teilmenge. Vom Mengen kann man Teilmengen bilden. M={1,2,3}. M₁₂={1,2}, M₁={1}, M₂={2} usw.  Siehe Potenzmenge. Die Menge aller Frauen ist eine Teilmenge der Menge aller Menschen; die Menge der geraden natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge allerPU natürlichen Zahlen. Eine Menge M1 ist eine Teilmenge von M, wenn alle Elemente aus M1 auch in M enthalten sind.
Transfinit. trans =: jenseits, über. Fin, finit =: Grenze. Das Gebiet des Unendlichen, wobei mit Hilfe der transfiniten Zahlen quantitative  Unterscheidungen im Unendlichen möglich gemacht werden sollen. Die beiden wichtigsten von Cantor geschaffenen transfiniten Größen sind Aleph₀ und Aleph₁. Eine andere naive und natürliche Interpretation: Naleph.
Überabzählbar unendlich. [wikipedia]
Unendlich hat zwei Hauptbedeutungen: potentiell unendlich (PU) und aktual unendlich (AU). Potentiell unendlich (PU) heißt eine Entwicklung, wenn sie (1) einen Anfang, (2) eine Fortsetzungsregel und (3) kein Ende hat. Aktual unendlich (AU) heißt eine Entwicklung, wenn sie (1) einen Anfang, (2) eine Fortsetzungsregel und (3) ein gedachtes Ende hat. So kann man sich z.B. die natürlichen Zahlen 1,2,3,...,PU oder 1,2,3,...,AU vorstellen, wobei aber auch bei AU keine letzte Zahl angegeben werden kann.  Nach und seit Dedekind (1887) heißt  in der Mathematik, die das aktual Unendliche anerkennt, ein System von Dingen unendlich, wenn es sich umkehrbar eindeutig auf ein echtes Teilsystem abbilden läßt.
Unterscheidungen im Unendlichen. Gegen das mathematische Interesse, im Unendlichen auch quantitativ zu unterscheiden, kann im Grundsatz nicht argumentiert werden, da die Mathematik ja mit vielerlei Unendlichkeiten zu tun und daher ein verständliches natürliches Interesse an seiner Handhabung hat. Wohl aber, wie und unter welchen Voraussetzungen solche Unterscheidungen im Unendlichen beschaffen und konstruiert sein sollten. Wie immer man es auch anpackt, zu Beginn wird immer eine elementare Definition einer Basiseinheit 'des' Unendlichen stehen müssen. Aus meiner  naiven und mathematisch laienhaften Perspektive bietet sich hier als Basiseinheit "Naleph" als Einheitsgröße allerAU  natürlichen Zahlen an.
    Aus meiner naiven und laienhaften Perspektive erscheint mir problematisch, Unendliches als etwas Ganzes, Abgeschlossenes zu denken, ein  Widerspruch in sich selbst. Dem liegt aber psychologisch vielleicht nur die Gewöhnung und Akzeptanz eines potentiell Unendlichen zugrunde. Ob eine differenzierte Mathematik des Unendlichen wissenschaftlich sinnvoll ist, muß man den MathematikerInnen überlassen: die meisten sagen heute mit Hilbert, daß sie Cantors Paradiese nicht mehr missen möchten. Was man mit einer differenzierten Mathematik des Unendlichen praktisch machen kann, wird die Erfahrung zeigen und es muß nicht spekulativ-ideologisch gestritten werden. Ob die Mathematik sich aber in eine Richtung entwickeln muß, die dem viel geschmähten gesunden Menschenverstand, dem natürlichen Schließen und der intuitiven Anschauung so radikal entgegensteht, mag zumindest aus der Laienperspektive bezweifelt werden.
Zählen kann man als bijektive Abbildung auf die Menge (Indexmenge) der natürlichen Zahlen bezeichnen. Zählen führt im Unterschied zu einer bloß bijektiven Abildung zu einer Zahl, die die Größe der Menge durch eine konkrete Anzahl angibt.
Zahlen. Man sieht den Ziffern gewöhnlich nicht an, welche Zahlen sie repräsentieren sollen. In der Mathematik ist es daher sinnvollerweise üblich, genau anzugeben, von welchen Zahlen man spricht. Hierbei verwendet man oft Kurzkennzeichnungen: natürliche Zahlen =: IN, ganze Zahlen =: IZ, rationale Zahlen =: IQ, reelle Zahlen =: IR, komplexe Zahlen =: IC. Die natürlichen Zahlen sind aber auch noch mehrdeutig, indem mit ihnen Ordinal- oder Kardinalzahlen gemeint sein können. Das muß man dann jeweils entsprechend kennzeichnen.
Zeichen. Beispiele. Die Elemente (Teilmengen) von Mengen werden meist in geschweifte " {} " Klammern gesetzt, um zu kennzeichnen, daß über Mengen gesprochen wird. Die Element-Mengen-Relation wird meist mit dem griechischen Eta angegeben: x e  M.  Die Teilmengen-Mengen-Relation: A enthalten in B: A Ì B. Hierzu finden sich viele Beispiele im Netz, in Lexika, Schul- und Lehrbüchern.