Internet Publikation für Allgemeine und Integrative Psychotherapie
IP-GIPT DAS=23.04.2006 Internet-Erstausgabe, letzte Änderung 23.6.6
Impressum: Diplom-PsychologInnen Irmgard Rathsmann-Sponsel und Dr. phil. Rudolf Sponsel
Stubenlohstr. 20     D-91052 Erlangen * Mail:sekretariat@sgipt.org.
Anfang_Thurstone: Multiple-Factor Analysis Chap. 2_ Überblick  _ Relativ Aktuelles  _ Rel. Beständiges  _ Titelblatt  _ Konzept  Archiv  _ Region _ Service iec-verlag _Zitierung & Copyright___Wichtige Hinweise zu Links und Empfehlungen
Willkommen in der Abteilung Wissenschaftstheorie, Methodologie und Statistisch-Mathematische Methoden in der Allgemeinen und Integrativen Psychologie, Psychodiagnostik und Psychotherapie, Bereich Faktorenanalyse, grundlegende Texte und Dokumente aus der Geschichte der Faktorenanalyse:
Fundamental Equations
Multiple-Factor Analysis

by L.L. Thurstone (1947, 51957). Multiple-Factor Analysis.
A Development and Expansion of The Vectors of Mind.
Chicago: The University of Chicago Press.

[aufbereitet für das Internet durch Rudolf Sponsel, Erlangen
mit einem kritischen Kommentar zum sog. "Kommunalitätsproblem"]


II. FUNDAMENTAL EQUATIONS  ................................................... 
Reference Abilities..................................................................................... 
The Factor Matrix and the Population Matrix   .......................................... 
Interpretation of the Test Coeffcients   .................................................... 
Common Factors and Unique Factors ....................................................... 
(15) Communality of test j ........................................................................ 
Specificity of test j .................................................................................... 
Uniqueness of test j .................................................................................. 
The Intercorrelations   ............................................................................... 
The Reliability Coefficient      ..................................................................... 
Summary of Terminology and Notation   ..............................................
68
68
71
71
73
74
75
75
76
83
85

p. 68: Reference abilities

p. 69:

p. 70:

p. 71: The Factor matrix and the population matrix
Interpretation of the test coefficients

p. 72:

p. 73: Common factors and unique factors

p. 74: (15) Communality of test j

p. 75: specificity of test j
uniqueness of test j

p. 76: complete factor matrix * reduced factorial matrix * The intercorrelations


p. 77:

p. 78:

p. 79:

p. 80:

p. 81 (Figure 7,8):

p. 82:

p. 83:  The reliability coefficient

p. 84:

p. 85: Summary of terminology and notation.

p. 86:

End of Chapter 2

_



Anmerkungen und Endnoten:
1) GIPT= General and Integrative Psychotherapy, internationale Bezeichnung für Allgemeine und Integrative Psychotherapie.
___
Communality. Ein Hauptziel der Faktorenanalytiker war immer Datenreduktion und damit war ihre traditionelle Fragestellung: wie kann ein Variablensatz von m Variablen auf  f < m Faktoren reduziert werden? Das geht exakt nur, wenn eine Korrelationsmatrix der Ordnung m einen Rang Rg < m hat, was empirisch ganz selten vorkommt (Ausnahme: Ökonomie > Belsley et al.), wenn keine Artefakte vorliegen (z.B. Summenwert als linear abhängige Variable in die Korrelationsmatrix einbezogen oder Anzahl der Variablen größer als die Anzahl der ProbandInnen). In diesem empirisch selten vorkommenden Fall wäre dann f = Rg. Von zentraler Bedeutung waren daher in der Faktorenanalyse immer, ob und wie Konstruktionen möglich sind, die eine Korrelationsmatrix C vom Rg=m aus f<m Faktoren ermöglichen. Aus heutiger Sicht (2006) ist die Frage, ob und wie sehr sich eine Korrelationsmatrix im Rang reduzieren läßt, einfach zu beantworten: Eine Korrelationsmatrix der Ordnung m kann genau um k Ränge auf  f = (m-k)>= 1 reduziert werden, wie sie Eigenwerte "nahe 0" aufweist (praktisch Eigenwerte < 0,20). Rangreduktion bei größeren Eigenwerten führt zu veränderten Datensätzen, d.h. eine Rangreduktion würde um den Preis erkauft, dass ganz andere Daten "repräsentiert" würden (Isometriesatz Hain 1994). Eine kuriose Variante in der Geschichte der Faktorenanalyse kam mit der Idee der "Kommunalität" auf, die zwar auf einer mathematischen Möglichkeit beruht, die aber nicht mehr interpretierbar ist. Das sog. Kommunalitätsproblem ist daher ein Scheinproblem, weil die Sachverhalte mathematisch klar und eindeutig sind: eine Korrelationsmatrix ist in dem Umfang approximativ rangreduzierbar als sie Eigenwerte nahe 0 enthält, sonst gibt es keine Lösung. Die Methode der Wahl ist mit den heutigen leistungsfähigen Computern und Programmen eine exakte Hauptkomponentenanalyse mit anschließender Varimax-Rotation zur vereinfachten und klaren Interpretation. Im allgemeinen führen Hauptdiagonaleingriffe bei der Korrelationsmatrix auch zum Verlust der semipositiven Definitheit (kein Eigenwert negativ) und damit eines notwendigen und wesentlichen Merkmals einer Korrelationsmatrix. Indefinite Matrizen sind keine Korrelationsmatrizen und repräsentieren imaginäre Datensätze, was nicht zulässig ist und sogar Datenfälschung bedeuten kann. Die Idee der Kommunalität gehört mit zu den seltsamsten und fragwürdigsten der Faktorenanalyse. Sie ist wohl aus der subjektiv empfundenen Not und Verlegenheit entstanden, keine angemessenen Datensätze für den damals vorherrschenden Daten-Reduktionsdrang erzeugen zu können, so dass man den Korrelationsmatrizen mit gewalttätigen, destruktiv-zerstörerischen Methoden zu Leibe rückte. Man erkannte damals gar nicht den extrem hohen Wert, den Fast-Kollinearität, wenn sie denn echt und kein Artefakt ist, für die Wissenschaft hat. So beschloß man vielfach Fast-Kollinearität, ohne dass dieser Beschluß durch kleine Eigenwerte <= 0,20 ("nahe 0") fundiert und begründet gewesen wäre.
___
Verlust semipositiver Definitheit durch Kommunalitätenmanipulationen. Nach einem Beispiel von Harmann, Harry H. (31970). Modern Factor Analysis. Chicago: The University of Chicago Press. Table 5.3 (p. 80) und 5.4 (p. 81): 8 physikalische Variablen. p. 81 zitiert die Kommunalitäten. Für einen Vergleich rechnen wir (1) die Matrix mit 1 in der Hauptdiagonale und (2) mit den angegebenen Kommunalitäten (p. 81) in der Hauptdiagonale. Zur besseren Vergleichbarkeit, werden die verschiedenen Auswertungen Eigenwerte, Hauptkomponentenanalyse und Varimax Rotation einander gegenübergestellt.

Die Ausgangsmatrizen und ihre Eigenwerte
        1.0000    0.8460    0.8050    0.8590    0.4730    0.3980    0.3010   0.3820
    0.8460    1.0000    0.8810    0.8260    0.3760    0.3260    0.2770   0.4150
    0.8050    0.8810  1.0000    0.8010    0.3800    0.3190    0.2370   0.3450
    0.8590    0.8260    0.8010    1.0000    0.4360    0.3290    0.3270   0.3650
    0.4730    0.3760    0.3800    0.4360    1.0000    0.7620    0.7300   0.6290
    0.3980    0.3260    0.3190    0.3290    0.7620   1.0000    0.5830   0.5770
    0.3010    0.2770    0.2370    0.3270    0.7300    0.5830    1.0000   0.5390
    0.3820    0.4150    0.3450    0.3650    0.6290    0.5770    0.5390   1.0000

Ausgangsmatrix mit den Kommunalitäten (p. 81) in der Hauptdiagonalen
    0.8420    0.8460    0.8050    0.8590    0.4730    0.3980    0.3010   0.3820
    0.8460    0.8810    0.8810    0.8260    0.3760    0.3260    0.2770   0.4150
    0.8050    0.8810    0.8170    0.8010    0.3800    0.3190    0.2370   0.3450
    0.8590    0.8260    0.8010    0.8150    0.4360    0.3290    0.3270   0.3650
    0.4730    0.3760    0.3800    0.4360    0.8720    0.7620    0.7300   0.6290
    0.3980    0.3260    0.3190    0.3290    0.7620   0.6470    0.5830   0.5770
    0.3010    0.2770    0.2370    0.3270    0.7300    0.5830    0.5840   0.5390
    0.3820    0.4150    0.3450    0.3650    0.6290    0.5770    0.5390   0.5020

Eigenvektoren mit Hauptdiagonale 1
    0.3976   -0.2797   -0.1014   -0.1075   -0.4084    0.1519   -0.6360   0.3841
    0.3893   -0.3314    0.1131    0.0681    0.3409    0.0721   -0.2785  -0.7226
    0.3762   -0.3446    0.0153   -0.0470    0.5412   -0.3924    0.2419   0.4816
    0.3884   -0.2971   -0.1450    0.1238   -0.4586    0.2509    0.6623  -0.1121
    0.3507    0.3942   -0.2133   -0.1145   -0.2957   -0.7201   -0.0263  -0.2373
    0.3119    0.4007   -0.0732   -0.7128    0.2195    0.4098    0.1120   0.0069
    0.2855    0.4359   -0.4209    0.6295    0.2572    0.2583   -0.0802   0.1254
    0.3102    0.3144    0.8530    0.2209   -0.1096    0.0407    0.0330   0.1169

Eigenwerte mit Hauptdiagonale 1    Die Korrelationsmatrix ist - wie es sich gehört - (semi) positiv definit
    4.6729         0         0         0         0         0         0     0
         0    1.7710         0         0         0         0         0     0
         0         0    0.4810         0         0         0         0     0
         0         0         0    0.4214         0         0         0     0
         0         0         0         0    0.2332         0         0     0
         0         0         0         0         0    0.1867         0     0
         0         0         0         0         0         0    0.1373     0
         0         0         0         0         0         0         0  0.0965
 
Kommentar: Wie man sieht erfüllen 3 Eigenwerte das Kriterium <= 0,20. Damit kann diese Matrix tatsächlich auf Rang 5, evtl. sogar auf Rang 4 vermindert werden. ohne dass irgendwelche Manipulationen an der Hauptdiagonale nötig wären

Faktorladungen mit Hauptdiagonale 1:  F = V * SQRT(D)
    0.8594   -0.3723   -0.0703   -0.0698   -0.1972    0.0656   -0.2357   0.1193
    0.8416   -0.4410    0.0785    0.0442    0.1646    0.0312   -0.1032  -0.2244
    0.8131   -0.4586    0.0106   -0.0305    0.2614   -0.1695    0.0896   0.1496
    0.8396   -0.3953   -0.1006    0.0804   -0.2215    0.1084    0.2454  -0.0348
    0.7580    0.5247   -0.1479   -0.0743   -0.1428   -0.3111   -0.0097  -0.0737
    0.6742    0.5333   -0.0508   -0.4627    0.1060    0.1771    0.0415   0.0021
    0.6172    0.5801   -0.2919    0.4087    0.1242    0.1116   -0.0297   0.0389
    0.6706    0.4185    0.5916    0.1434   -0.0529    0.0176    0.0122   0.0363

Varimaxrotierte Faktorenladungen mit Hauptdiagonale 1:
    0.8646    0.1022    0.1162   -0.1767   -0.4150   -0.1398    0.0734  -0.0107
    0.9391    0.1007    0.1868   -0.1007    0.0444   -0.0300   -0.0551  -0.2389
    0.9411    0.0666    0.1110   -0.1181    0.1262   -0.0848   -0.0863   0.2302
    0.8559    0.1547    0.1103   -0.0963   -0.0599   -0.1074    0.4548  -0.0034
    0.2281    0.4526    0.2917   -0.4673   -0.0423   -0.6602    0.0443   0.0034
    0.1693    0.2728    0.2476   -0.8994   -0.0296   -0.1594    0.0199  -0.0014
    0.1211    0.9195    0.2239   -0.2571   -0.0184   -0.1493    0.0318  -0.0045
    0.2056    0.2454    0.9022   -0.2555   -0.0215   -0.1309    0.0255  -0.0058

Vektoren der Matrix mit in die Hauptdiagonale eingesetzten Kommunalitäten
    0.4063   -0.2648   -0.3888    0.3040    0.4127    0.3556   -0.1150  -0.4596
    0.4015   -0.3330    0.4711   -0.1558    0.0435    0.4442   -0.2210   0.4833
    0.3829   -0.3321    0.2535    0.1544   -0.6375   -0.3016    0.0307  -0.3958
    0.3947   -0.2802   -0.4440   -0.3190    0.1567   -0.5149    0.2106   0.3645
    0.3544    0.4604   -0.3088    0.1194   -0.4256    0.4021    0.4043   0.2159
    0.2995    0.4031    0.1271    0.5873    0.1653   -0.3846   -0.3798   0.2593
    0.2697    0.4156   -0.0917   -0.6088   -0.0894   -0.0068   -0.5393  -0.2768
    0.2886    0.2881    0.4956   -0.1671    0.4247   -0.1025    0.5423  -0.2743

 Eigenwerte der Matrix mit in die Hauptdiagonale eingesetzten Kommunalitäten
4.4484       0         0         0         0         0         0        0
   0    1.5083         0         0         0         0         0        0
   0         0    0.1026         0         0         0         0        0
   0         0         0    0.0581         0         0         0        0
   0         0         0         0    0.0133         0         0        0
   0         0         0         0         0   -0.0393  !      0        0
   0         0         0         0         0         0   -0.0581 !      0
   0         0         0         0         0         0         0     -0.0732 !
 
Kommentar: Wie man sieht entgleist die Matrix fürchterlich. Sie verliert ihre semipositive Definitheit und wird indefinit. Drei Eigenwerte sind sehr drastisch negativ. Mit einer solchen Matrix kann überhaupt nicht mehr zuverlässig multivariat weitergearbeitet werden. Sie widerspricht allen mathematischen Erfordernissen einer Korrelationsmatrix, wie man im folgenden auch an den imaginären Folgen sieht: Es lassen sich gar keine Faktoren mehr bilden. 

Die Anwendung der Formel F=V*SQRT (D) gelingt nicht mehr im Reellen
   Columns 1 through 4
   0.8569   -0.3253   -0.1245    0.0733
   0.8469   -0.4090    0.1509   -0.0376
   0.8077   -0.4079    0.0812    0.0372
   0.8324   -0.3441   -0.1422   -0.0769
   0.7474    0.5654   -0.0989    0.0288
   0.6316    0.4951    0.0407    0.1416
   0.5688    0.5103   -0.0294   -0.1468
   0.6088    0.3538    0.1587   -0.0403

   Columns 5 through 8
   0.0476    0 + 0.0705i    0 - 0.0277i    0 - 0.1244i
   0.0050    0 + 0.0881i    0 - 0.0533i    0 + 0.1308i
  -0.0735    0 - 0.0598i    0 + 0.0074i    0 - 0.1071i
   0.0181    0 - 0.1021i    0 + 0.0508i    0 + 0.0986i
  -0.0491    0 + 0.0798i    0 + 0.0975i    0 + 0.0584i
   0.0191    0 - 0.0763i    0 - 0.0915i    0 + 0.0702i
  -0.0103    0 - 0.0014i    0 - 0.1300i    0 - 0.0749i
   0.0490    0 - 0.0203i    0 + 0.1307i    0 - 0.0742i

Entsprechend entgleist auch die Varimax-Rotation
  Columns 1 through 4
   0.8759             0.2726            -0.0979             0.0552
   0.9145             0.2094             0.1596             0.0045
   0.8852             0.1831             0.0482             0.0516
   0.8690             0.2441            -0.0866            -0.0978
   0.2380             0.9038            -0.1327             0.0072
   0.1873             0.7791            -0.0088             0.1546
   0.1302             0.7540            -0.0100            -0.1441
   0.2542             0.6597             0.1580             0.0081

Columns 5 through 8
   0.0949             0 + 0.1310i        0 - 0.0539i        0 - 0.0338i
  -0.0557             0 - 0.0004i        0 + 0.0611i        0 + 0.1548i
  -0.1001             0 + 0.0127i        0 - 0.0725i        0 - 0.0984i
   0.0774             0 - 0.1434i        0 + 0.0455i        0 - 0.0106i
   0.0041             0 + 0.0248i        0 + 0.1364i        0 + 0.0075i
   0.0061             0 - 0.0967i        0 - 0.0664i        0 + 0.0733i
   0.0124             0 + 0.0506i        0 - 0.1369i        0 + 0.0348i
  -0.0134             0 + 0.0179i        0 + 0.0542i        0 - 0.1406i
___
Summary of terminology and notation. Genau diese Gleichungen - mit dem kleinen typographischen Unterschied, dass Harmann uniqueness mit d2 statt wie Thurstone mit u2 bezeichnet - tauchen bei Harmann, 1970, p. 19, in (2.20) auf, ohne dass Thurstone explizit genannt wird, wobei aber zu berücksichtigen ist, daß Harman zusammen mit Holzinger 1941, also sechs Jahre vor Thurstone, ihr grundlegendes Werk zur Faktorenanalyse veröffentlichten (siehe).
___
Varimax-Rotation. Sie hat den großen Vorteil, dass die Faktoren(ladungen) zumindest in der Hauptsache gut interpretierbar sind. Aufpassen muss man allerdings bei Faktoren, die nur wenig zur Varianz beitragen. Sie werden durch den Varimax innewohnenden Algorithmus unangemessen aufgebläht, so dass man irrtümlich z.B. (oBdA) eine 3-Faktorenlösung vermutet, wo tatsächlich nur eine 2-Faktorenlösung gegeben ist. Dies wird in einer eigenen Arbeit noch näher ausgeführt und belegt.
___
mathematische Möglichkeit der "Rangreduktion" durch Hauptdiagonalmanipulation:

___
Auswirkungen der Fehleingabe 0.3820  für cor2_8 statt richtig = 0.4150 auf die Eigenwerte und Eigenvektoren:
  Eigenvektoren mit dem fehlerhaft eingegebenen Wert c2_8:
   -0.4065   -0.2627    0.3672   -0.3352    0.3342    0.3346    0.2610    -0.4953
   -0.3996   -0.3371   -0.4054    0.1601   -0.0316    0.4790   -0.0977     0.3949
   -0.3831   -0.3301   -0.3074   -0.1086   -0.5170   -0.3315    0.0270    -0.3591
   -0.3949   -0.2780    0.4479    0.2945    0.1866   -0.4941   -0.2660     0.4410
   -0.3549    0.4609    0.3189   -0.1529   -0.5135    0.4021    0.4048     0.2333
   -0.2999    0.4034   -0.1655   -0.5766    0.1476   -0.3401   -0.5959     0.2481
   -0.2701    0.4157    0.1346    0.6000   -0.0609    0.0008   -0.2926    -0.3429
   -0.2890    0.2884   -0.5084    0.2182    0.5441   -0.1651    0.4963    -0.2042

  Eigenwerte mit dem fehlerhaft eingegebenen Wert bei c2_8:
    4.4446         0         0         0         0         0         0        0
         0    1.5114         0         0         0         0         0        0
         0         0    0.0946         0         0         0         0        0
         0         0         0    0.0570         0         0         0        0
         0         0         0         0    0.0125         0         0        0
         0         0         0         0         0   -0.0369         0        0
         0         0         0         0         0         0   -0.0533        0
         0         0         0         0         0         0         0  -0.0699

Unterschiede und Auswirkungen des Eingabefehlers bei c2_8:

 Differenzen bei den Eigenwerten: Fehlerhafte  - Richtige
   -0.8128    0.0022    0.7559   -0.6393   -0.0785   -0.0210    0.3760   -0.0357
   -0.8011   -0.0041   -0.8766    0.3158   -0.0750    0.0348    0.1233   -0.0884
   -0.7661    0.0020   -0.5608   -0.2630    0.1205   -0.0300   -0.0037    0.0367
   -0.7896    0.0022    0.8918    0.6135    0.0298    0.0208   -0.4766    0.0765
   -0.7092    0.0005   0.6277   -0.2723   -0.0879    0.0000    0.0005    0.0173
   -0.5993    0.0003   -0.2926   -1.1639   -0.0177    0.0446   -0.2161   -0.0113
   -0.5398    0.0001    0.2264    1.2088    0.0285    0.0076    0.2468   -0.0662
   -0.5776    0.0003   -1.0040    0.3853    0.1194   -0.0627   -0.0460    0.0701

 Differenzen bei den Eigenwerten: Fehlerhafte - Richtige
   -0.0038         0         0         0         0         0         0        0
         0    0.0032         0         0         0         0         0        0
         0         0   -0.0079         0         0         0         0        0
         0         0         0   -0.0011         0         0         0        0
         0         0         0         0   -0.0008         0         0        0
         0         0         0         0         0    0.0024         0        0
         0         0         0         0         0         0    0.0048        0
         0         0         0         0         0         0         0   0.0033

Aufgrund der beachtlichen Unterschiede bei den Eigenvektoren bietet sich eine weitere Prüfung der Auswirkungen an, indem die varimaxrotierten Faktoren mit und ohne Eingabefehler verglichen werden:

Varimaxrotierte Faktoren mit dem fehlerhaften Eingabewert:
Hinweis: Da die Vorzeichen für die Interpretation der Faktorenladungen keine Rolle spielen, sind nur die Betragsunterschiede von Interesse.
  Columns 1 through 4
  -0.8747     0.2744      0.0895      -0.0495
  -0.9154     0.2001     -0.1277      -0.0077
  -0.8839     0.1840     -0.0569      -0.0538
  -0.8677     0.2449      0.0697       0.1021
  -0.2388     0.9053      0.1354       0.0001
  -0.1881     0.7810      0.0080      -0.1484
  -0.1312     0.7538      0.0068       0.1486
  -0.2549     0.6599     -0.1641      -0.0060

  Columns 5 through 8
   0.0922     0 - 0.0166i      0 + 0.1491i      0 - 0.0490i
  -0.0647     0 + 0.1057i      0 - 0.0194i      0 + 0.0913i
  -0.0939     0 - 0.0722i      0 + 0.0221i      0 - 0.0861i
   0.0789     0 - 0.0089i      0 - 0.1595i      0 + 0.0293i
   0.0072     0 + 0.0136i      0 + 0.0585i      0 + 0.1221i
   0.0076     0 + 0.0498i      0 - 0.1511i      0 - 0.0467i
   0.0114     0 + 0.0227i      0 + 0.0191i      0 - 0.1091i
  -0.0175     0 - 0.1065i      0 + 0.0737i      0 + 0.0169i

Varimaxrotierte Faktoren mit dem richtigen Eingabewert:
  Columns 1 through 4
   0.8759     0.2726     -0.0979       0.0552
   0.9145     0.2094      0.1596       0.0045
   0.8852     0.1831      0.0482       0.0516
   0.8690     0.2441     -0.0866      -0.0978
   0.2380     0.9038     -0.1327       0.0072
   0.1873     0.7791     -0.0088       0.1546
   0.1302     0.7540     -0.0100      -0.1441
   0.2542     0.6597      0.1580       0.0081

  Columns 5 through 8
   0.0949     0 + 0.1310i     0 - 0.0539i      0 - 0.0338i
  -0.0557     0 - 0.0004i     0 + 0.0611i      0 + 0.1548i
  -0.1001     0 + 0.0127i     0 - 0.0725i      0 - 0.0984i
   0.0774     0 - 0.1434i     0 + 0.0455i      0 - 0.0106i
   0.0041     0 + 0.0248i     0 + 0.1364i      0 + 0.0075i
   0.0061     0 - 0.0967i     0 - 0.0664i      0 + 0.0733i
   0.0124     0 + 0.0506i     0 - 0.1369i      0 + 0.0348i
  -0.0134     0 + 0.0179i     0 + 0.0542i      0 - 0.1406i

 Differenzen in den Beträgen bei den varimaxrotierten Faktoren:
   -0.0012    0.0017   -0.0084   -0.0057   -0.0028   -0.1144   0.0953    0.0152
    0.0009   -0.0092   -0.0319    0.0032    0.0090    0.1053   -0.0417   -0.0636
   -0.0013    0.0010    0.0086    0.0021   -0.0062    0.0595   -0.0504   -0.0123
   -0.0013    0.0008   -0.0169    0.0043    0.0015   -0.1345  0.1140    0.0187
    0.0009    0.0014    0.0027   -0.0071    0.0031   -0.0112   -0.0779    0.1146
    0.0008    0.0019   -0.0008   -0.0062    0.0015   -0.0469 0.0848   -0.0266
    0.0010   -0.0002   -0.0032    0.0045   -0.0010   -0.0279   -0.1178 0.0743
    0.0008    0.0002    0.0061   -0.0021    0.0041    0.0886    0.0195   -0.1237
  Alle Beträge >= 0.05 fett hervorgehoben.
___



Änderungen wird gelegentlich überarbeitet, ergänzt und vertieft * Anregungen und Kritik willkommen
23.06.06    Ergänzender Hinweis zur Prioritätenfrage bei den Grundgleichungen.
17.05.06    Fehleintrag in der "Korrelations"-Matrix mit den Kommunalitäten korrigiert: Falsch: C(2,8)=0.3820, Richtig:  C(2,8)=0.4150. Die  Auswirkungen auf die Vektoren und Eigenwerte sind doch erstaunlich merklich, wenn auch in der Hauptsache für die Folgerungen und Interpretationen nicht entscheidend.
29.04.06    Überarbeitung Anmerkung "communality".


Querverweise
Standort: Multiple-Factor Analysis Chapter 2. : Fundamental Equations.
Kurzbiographie L.L. Thurstone.
Kommunalität. Zur Geschichte und Kritik einer Idee und ihrer fragwürdigen Operationalisierung. Von der multiplen Paradoxie wie willkürliche Definitionen unlösbare Scheinprobleme schaffen und lösen.
Überblick der Dokumentationen zur Handhabung der Faktorenanalyse
Kritik der Handhabung der Faktorenanalyse
Was für ein Typ Matrix entsteht durch Faktorenanalysen?
Überblick Numerisch Instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie
Zahlenmystik und numerologische Esoterik in Statistik und Testtheorie
Überblick Arbeiten zur Definitionslehre, Methodologie, Meßproblematik, Statistik und Wissenschaftstheorie
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Zitierung
Thurstone, L.L. (DAS). Multiple-Factor Analysis Chapter 2. : Fundamental Equations. IP-GIPT. Erlangen: http://www.sgipt.org/wisms/fa/thurs/mfa47_2.htm
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kontrolliert: irs 23.04.06